抽象函数的周期类型

1、抽象函数的周期类（中一观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+(23x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出(23x) 的值域。解：由算术平方根的性质，知(23x)0，故3+(23x)3。函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=x(0x5)的值域。（答案：值域为：0，1，2，3，4，5）二反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x

2、+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(12y)/（y1）,其定义域为y1的实数,故函数y的值域为yy1,yR。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。（答案：函数的值域为yy<1或y>1）三配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=(x2+x+2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的

3、最值求。解：由x2+x+20,可知函数的定义域为x1，2。此时x2+x+2=（x1/2）29/40，9/40x2+x+23/2,函数的值域是0,3/2点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x5154x的值域.(答案:值域为yy3)四判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例4求函数y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为（y2）x2(y2)x+(y-3

4、)=0 （）当y2时,由=(y2)24（y2）x+(y3)0，解得：2x10/3当y=2时,方程()无解。函数的值域为2y10/3。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x23x+1)的值域。（答案：值域为y8或y>0）。五最值法对于闭区间a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。例5已知(

5、2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：3x2+x+10，上述分式不等式与不等式2x2-x-30同解，解之得1x3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1x3/2),z=-(x-2)2+4且x-1,3/2,函数z在区间-1,3/2上连续，故只需比较边界的大小。当x=-1时，z=5；当x=3/2时，z=15/4。函数z的值域为z5z15/4。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获

6、得函数的值域。练习：若x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ）A（，） B7， C0，） D5，）（答案：D）。六图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y=x+1+(x-2)2 的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为 2x+1 (x1)y= 3 (-1<x2)2x-1(x>2)它的图象如图所示。显然函数值y3,所以，函数值域3，。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方

7、法求函数的值域。七单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= 1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性

8、，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+4-x 的值域。(答案：y|y3)八换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例2求函数y=x-3+2x+1 的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设t=2x+1 （t0）,则x=1/2(t2-1)。于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为y|y7/2。点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题

9、的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=x-1 x的值域。（答案：y|y3/4九构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例3求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8 的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22 ,KC=(x+2)2+1 。由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。点评：对于形

10、如函数y=x2+a ±(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习：求函数y=x2+9 +(5-x)2+4的值域。（答案：y|y52）十比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数代换（配凑）法求解析式已知形如的表达式，求的表达式。如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，则函数=_（答：）；（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当时，=_（答：）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。2待定系数法求解析式已知所求函数的

11、类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。（答：）3运用方程的思想求解析式已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= _（答：）。(本文字数：401)函数的奇偶性知识点点拨及练习。1函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性

12、，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若为偶函数，则.如若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为_.（答：）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。如若为奇函数，则实数_（答：1）.定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， ，。判断与的奇偶性； 若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则_（答：为偶函数，为奇函数；）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.（答：0）

13、；2确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数的奇偶性_（答：奇函数）。利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性_.（答：偶函数）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。3具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数，为奇函数，其中，则的值是 1.反函数的定义 设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=(y)如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，

14、那么式子x=(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)=的定义域是-1，+，值域是0，+），它的反函数f-1(x)=x2-1, x0，定义域为0，+），值域是-1，+)。2反函数存在的条件按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数例

15、如：函数y=x2,xR，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数而y=x2, x1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数3函数与反函数图象间的关系函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上4反函数的几个简单命题 （1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数 (本文字数：599)0典型题目一：若函数f(x)的图象

16、过（0，1）点，则f-1(x+4)的图象必过点_分析：f(x)的图象过（0，1）点， f-1(x)的图象过（1，0）点，而f-1(x+4)的图象是把y=f-1(x)的图象向左平移4个单位而得到的，故f-1(x+4)的图象过(-3,0)点典型题目二:函数y=f(x+1)与函数y=f-1(x+1)的图象（ ） .A、关于直线y=x对称 B、关于直线y=x+1对称C、关于直线y=x-1对称 D、关于直线y=-x对称解答：y=f(x+1)与y=f-1(x+1)图象是分别将y=f(x), y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得， y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，y=x向左平移

17、一个单位而得y=x+1. 故选B.典型题目三:定义在R上的函数y=f(x)有反函数，则函数y=f(x+a)+b的图象与y=f-1(x+a)+b的图象间的关系是（）.A、关于直线y=x+a+b对称B、关于直线x=y+a+b对称C、关于直线y=x+a-b对称D、关于直线x=y+a-b对称解答:将y=x向左平移a个单位，向上平移b个单位得y=x+a+b，故选A.典型题目四：求下列函数的反函数：(1)y=x2+2x-2, x-3,-2;(2)y=.解：（1） y=(x+1)2-3, x-3,-2, -2y1且(x+1)2=y+3. x+1=-, y=-1-, 所求反函数y=-1-2x1.(2)若x0，

18、则y=x20, x=-.若x>0, 则 y=-x-1<-1, x=-y-1. 所求反函数y=.评注：求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域（2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).（3）将x、y交换位置得y=f-1(x)（4）求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，它们联合在一起构成原函数的反函数典型题目五：设y=f(x)是单调函数，求证：f(x)的反函数y=f-1(x)是单调函数，且其增减性与f(x)增减性一致证明：以y=f(x)为增函数时情况加以证明，用反证法设x1<x2, y1=f-1(x1), y2=f-1(x2), 证明y1<y2.反之若y1y2, 由于f(x)是增函数，f(y1)f(y2), 而f(y1)=x1, f(y2)=x2,