定积分的计算Word版

1、4 定积分的计算 由于定积分的计算基于求原函数（即不定积分）的计算，对应于不定积分的换元积分法和分部积分法，定积分也有相应的换元积分法和分部积分法，此时要注意积分上下限的处理。4.1 定积分换元法 定理4.1 设函数在区间上连续，函数满足： (1) 在区间上可导，且连续； (2) 当在区间上变化时，对应的函数在区间上变化，且，则有 。 (4.1)证由假设知上式两端的被积函数是连续的，因此，原函数存在。设是的一个原函数，用Newton-Leibniz公式，则。另一方面，。比较以上两式得式(4.1)。 注 (1) (4.1) 式称为定积分的换元公式，故称为定积分的换元法； (2) 应用公式(4.1

2、)时，换元要注意换积分限；换元后，不一定有，要注意上下限对应关系，；(3) 换元的公式(4.1)从右到左进行，即为凑微分方法； (4) 从结论(4.1)看到，在用换元积分法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，立即用相应的积分限代入，并求其差值就可以了。亦即不必作变量还原，再用原来积分限去计算定积分的值。这就是定积分换元法与不定积分换元法的区别。这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应采用与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，它与计算过程中所采用的变量符号无关。421 / 19(5) 如果定理的条件中对只假定可积，但要求严格单调，那么(4.1)式仍然正

3、确。例4.1 计算定积分。 解 代换：，则；时，满足定理条件，故 例4.2 计算定积分，其中。 解 例4.3 设是区间上连续的奇（或偶函数）函数，则 ， （ 。 ） 证 (1) 当时，；(2) 当时， 。注 (1) 此题的结论在今后定积分计算中可以直接应用简化计算偶、奇函数在对称区间上的定积分，如 。()； (2) 由此题我们可以体会到除了与不定积分换元法相同的计算作用外，定积分换元法在关于积分等式的一些证明题中具有奇妙的作用。 例4.4 设函数在区间上连续，求证： (1) ； (2) ； (3) 。 证 (1) (2) (3) 移项后可得：。例4.4可以作为一个重要结论来使用，如 。 注 该

4、定积分的被积函数的原函数不易求得，但利用换元法却方便的计算出了它的结果。 例4.5 若为连续的奇函数，证明是偶函数。 证 由条件，记，则 证得：是偶函数。 例4.6 设连续，求函数的导数。 解 所以，。 例4.7 求证：。 证 4.2 分部积分公式 定理4.2 若函数在区间a，b上有连续的导数，则有定积分分部积分公式：。 (4.2)证 是在a，b上的一个原函数， ，移项后即得。注 定积分分部积分法与不定积分分部积分法使用范围无差异，也就是说，在不定积分中需要用分部法的函数在定积分中仍要使用，它们仅在形式上有差异，即应用定积分分部法时，应注意积出部分要随时代入上、下限，以化简计算。 例4.8 计

5、算积分。 解 。例4.9 计算积分。 解 与不定积分中的情形一样，令，则有 。例4.10 计算积分。 解 令则，且当时，当时，所以。 例4.11 计算积分。 解 。 例4.12 计算积分。 解 。移项后可得：。 例4.13 计算积分。 解 。 例4.14 计算积分。 解 = ；解得 直接求得 ， 。于是， 当为偶数时， 有 ； 当为奇数时， 有 。从而有：； 以上可以作为重要结论来使用，如 ； ； 例4.15 计算积分，是自然数。 解 由公式，有 即 。 4.3 一题多解与综合例题 例4.16 计算定积分。 解 例4.17 计算定积分。 解 ，故或 例4.18 计算定积分。 解 即 ；或 ，而

6、 ，从而 。 例4.19 设函数是以为周期的连续函数，证明：与无关。 证 此值与无关；或 此值与无关；或，设，则，即对于任意的值，；特取，此值与无关。 例4.20 设在区间上连续，证明，。 证 。移项并整理后可得：。 例4.21 设连续，且，证明：。 证 。 注 解此类问题要注意条件与结论之间的关系，要使条件能够得到应用，就必须将问题朝着有利于条件的方向转化。 例4.22 设，求。 解 两边积分：； ； ；，所以 ； ；从而 。注 此题的关键在于认识到是常数。 例4.23 设在连续证明：。证明 右边 = 。4.4 Taylor公式的积分型余项设函数在点的某邻域内有阶连续导数，令，则 。其中即为

7、的泰勒公式的阶余项。由此可得，即为Taylor公式的积分型余项。 由于连续，在（或）上保持同号，故若应用推广的第一积分中值定理于积分型余项，可知，使得 。即为Lagrange型余项。如果直接利用积分第一中值定理与Taylor公式的积分型余项，则得 ，。由于 。因此又可把改写成 ，。特别当时，又有 ，。即上述两个公式称为Taylor公式的Cauchy型余项。4.5 积分第二中值定理 定理4.3(积分第二中值定理) 设在上可积。 (1) 若函数在上单调递减，且，则，使得 。 (2) 若函数在上单调递增，且，则，使得 。证 （1）根据条件必有界，设，又是可积函数，从而有 ，这里是在上的振幅。此外，又

8、知也是可积的，设。对于分割，它能表示成如下两个部分之和：。 对于，由于 ，因此有，从而当时，也必有极限，而且。为了估计，令。又知是上的连续函数，且有和。所以 。由于且单调递减，故。因此分别用的最小值与最大值代替上式中所有后，得到。从而又有 。 若，则由条件导致，此时满足题意的可取上的任意值。 若，则可把的结果改写成 。由连续函数的介值性，一定存在，使得，即。这就得到所要证明的结果。同理，可证得(2)成立。推论 设函数在上可积，函数在上单调，则，使得。【证明分析】 若函数在上单调递减，令，则对应用定理4.3即得；若函数在上单调递增，则对应用定理4.3即得。练习6.41 计算下列定积分(1) ；

9、(2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10) ；(11) ； (12) ；(13) ； (14) ；(15) ； (16) ；(17) ； (18) ； (19) ； (20) ； (21) ；(22) ； (23) ； (24) ； (25) ； (26) ； (27) ； (28) ； (29) ； (30) ； (31) ； (32) ； (33) ； (34) ； (35) ； (36) ； (37) ； (38) ； (39) ； (40) ； (41) ； (42) ； (43) ； (44) ； (45) ； (46) ； (4

10、7) ； (48) 。 2 已知 ， 求 。3 设函数 = 计算。 4 设函数连续且有。 求积分 。 5 设是区间 上连续的偶函数 。 试证明 ： 是 上的奇函数。6 证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有且只有一个为奇函数。7 设是周期函数且连续，周期为，证明： 其中是正整数。8 设在所示区间上是连续函数，证明： (1) ； (2) 。9 计算下列定积分 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 。10 计算下列积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) 。11 计算积分，其中。 12 建立的递推公式，并计算的值。 13 证明：。14 设在连续，且，求证： (1