向量的点积与叉积（课堂PPT）

1、高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-101 1高等数学高等数学北京工商大学北京工商大学杨益民杨益民高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-102 2第二节第二节 数量积、向量积与混合积数量积、向量积与混合积一、两向量的数量积一、两向量的数量积ABF ABWFAB cos,F ABF AB |cos,a baba b 定义定义| ()()ababba b a 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-103 3数量积的若干性

2、质：数量积的若干性质：0)2( baab 2(1)|a aa |cos,a baba b 222(6)0,1i ji jj kijk (3) a bb a (4)(); ()abca ba cabca cb c (5) ()()(); () ()()ababa baba b 证明（第一个等式）证明（第一个等式）证明（第一个等式）证明（第一个等式）| ()()ababba 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-104 4,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设a b )(kajaiazyx )(kbjbibzyx xxyyzza ba ba b

3、 数量积的坐标表示：数量积的坐标表示：|cos,a baba b 222222cos,|xxyyzzxyzxyza ba baba ba ba baaabbb | ()()ababba 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-105 5222222PrPrxxyyzzaaxyzxxyyzzbbxyza ba ba ba bbj baaaaa ba ba ba baj abbbb 00 xxyyzzaba ba ba ba b 证明：证明：cacbbca )()()()(cacbcbca 0 cacbbca )()(高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主

4、讲杨益民2022-2-102022-2-106 6解：解：(2) Pr3bj a 3(1);4 例例3 证明三角函数的余弦定理：证明三角函数的余弦定理：2222coscabab 证明：证明： 如图如图ABCbac例例4 4 在在xoy平面上，求一单位向量，使它与平面上，求一单位向量，使它与aijk 垂直。垂直。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-107 7二、两向量的向量积二、两向量的向量积力矩力矩M 方向：向外（拧松）方向：向外（拧松）支点支点OA作用点作用点力力F 力臂力臂l大小：大小：sin,MFlF OAF OA 支点支点OA作用点作用点力力

5、F 力臂力臂l向内（拧紧）向内（拧紧）方向总是依方向总是依 成右手系，且垂直于成右手系，且垂直于 平面。平面。,OA F M ,OA F 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-108 8定义定义cab cab 模：模：|sin,cababa b 方向：方向：,ca b 。所所定定的的平平面面, ,a b c 。依依序序成成右右手手系系向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”。Sab a b cab 几何解释：几何解释：高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-109 9向量积的性质：向量积的性质：(1)0

6、aa )0sin0( ba)2(/0ab ab yzxxyzaaabbb(3)0;,;,iijjkkijkjkikijjikkjiikj 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-101010向量积满足下列运算规律向量积满足下列运算规律（1）abba （2）()abcacbc（3）()()()ababab 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ()()()yzzyzxxzxyyxa ba bia ba bja ba bk 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（

7、下）主讲杨益民2022-2-102022-2-1011 11向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示()()()yzzyzxxzxyyxxyzxyzaba ba bia ba bja ba b kijkaaabbb 记住：欲求同时垂直于记住：欲求同时垂直于 的向量，请用叉积吧！的向量，请用叉积吧！ab 、()0abc, ,a b c 共共面面称为称为 的的混合积混合积。, ,a b c 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-101212解：解：12ABCSABAC 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-

8、2-101313解：解：sin,mnm nm n 4 2 18 ()mnp 8 3 124 |cos,mnpmn p |cos0mnp ()mnp 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-101414例例9 9 设设 则则 共面。共面。 0,abbcca , ,a b c 证法一：证法一：0abbcca abcbac()acbac ,bac 又又,aaccac , ,a b c 共面。共面。证法二：证法二：0abbcca 的两端点乘的两端点乘c ()0abc , ,a b c 。共共面面高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102

9、022-2-101515()Pra ba bjc h S V |()|abc hc b a ab S=|a b|混合混合积的几何意义积的几何意义以为以为 边的平边的平行六面体的体积。行六面体的体积。, ,a b c 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-101616混合混合积的坐标表示积的坐标表示a b c ()abc xyzxyzxyzaaabbbccc ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx ()()()a b cabccabbca 利用行列式的行交换性质可得：利用行列式的行交换性质可得：轮换轮换高等数学（下）主

10、讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-101717解解:16VAB AC AD ADCB21212131313141414116xxyyzzxxyyzzxxyyzz注意：双重符号注意：双重符号| |，第一重表示行列式，第二重表，第一重表示行列式，第二重表示取绝对值。示取绝对值。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-101818解：解：)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 ()abc cba )(2 2cba . 4 0 0 0 高等数学

11、（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-101919作业：习题作业：习题821，3，7，9，10，1217，18，19作业：习题作业：习题81高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-102020思考题思考题已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(|bababa .高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-102121思考题解答思考题解答)(sin|,2222bababa )(cos1 |,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 高

12、等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-102222一一、 填填空空题题：1 1、 已已知知a= =3 3，b= =2 26 6，ba = =7 72 2, ,则则ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 已已知知（ba,）= =32 ，且且a= =1 1，b= =2 2，则则 2)(ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、ba 的的几几何何意意义义是是以以ba,为为其其邻邻边边的的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 三三向向 量量cba,的的 混混 合合 积积 cba 的的 几几

13、何何 意意 义义 是是_ _ _ _ _ _ _；5 5、 两两向向量量的的的的内内积积为为零零的的充充分分必必要要条条件件是是至至少少其其中中有有 一一个个向向量量为为_ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它们们互互相相 _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 两两向向量量的的外外积积为为零零的的充充分分必必要要条条件件是是至至少少其其中中有有一一 个个向向量量为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它们们互互相相_ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-1023237 7、设、

14、设kjia23 ，kjib 2 , , 则则ba = _ = _， ba = _ = _ _ , , ba3)2( = _ = _, , ba2 = _ = _，),cos(ba = = _ _ ；8 8、设、设a= =kji 32, ,kjib3 和和,2jic 则则 bcacba)()( =_ =_ ,_ , )()(cbba _ _ ,_ , cba )( = _ = _ ._ .二二、 已已 知知cba,为为 单单 位位 向向 量量 ， 且且 满满 足足0 cba，计计算算accbba . .三三、设设质质量量为为 1 10 00 0 千千克克的的物物体体从从点点)8,1,3(1M沿沿直直线线移移动动到到点点)2,4,1(2M计计算算重重力力所所作作的的功功（长长度度单单位位为为米米，重重力力方方向向为为Z轴轴负负方方向向）. .高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022-2-102022-2-102424练习题答案练习题答案一、一、1 1、30 ； 2 2、3 3； 3 3、平行四边形的面积；、平行四边形的面积； 4 4、以、以cba,为邻边的平行六面体的体积；为邻边的平行六面体的体积； 5 5、零向量、零向量, ,垂直；垂直；