反比例函数讲义Word版

1、反比例函数1、反比例函数的概念及三种表达形式.一般地如果两个变量x，y之间的关系可以表示为（k是常数，k0）的形式，那么称y是x的反比例函数。（反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。）2、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质反比例函数k的符号k>0k<0图象 y O x y O x性质

2、x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义1 / 15过反比例函数图像上任一点P（x,y）作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别是M、N，则所得的矩形PM

3、ON的面积S=PMPN=。6、反比例函数中常用考点(1)反比例函数与一次函数的交点坐标是两个函数解析式联立组成方程组的解.(2) 反比例函数与正比例函数的交点坐标关于坐标原点对称.(3) 反比例函数与一次函数的交点所组成三角形面积的求法.7. 经典题解【例1】如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (k0）的图象交于M、N两点 求反比例函数和一次函数的解析式； 根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围【例2】（2011山东聊城，24，10分）如图，已知一次函数ykxb的图象交反比例函数（x>0）图象于点A、B，交x轴于点C（1）求m的取值范围；（2）若点A

4、的坐标是（2，4），且，求m的值和一次函数的解析式；【答案】（1）因反比例函数的图象在第四象限，所以42m0，解得m2；（2）因点A(2，4)在反比例函数图象上，所以4，解得m6，过点A、B分别作AMOC于点M，BNOC于点N，所以BNCAMC90°，又因为BCNAMC，所以BCNACM，所以，因为，所以，即，因为AM4，所以BN1，所以点B的纵坐标为1，因为点B在反比例函数的图象上，所以当y1时，x8，所以点B的坐标为（8，1），因为一次函数ykxb的图象过点A(2，4)，B(8，1)，所以，解得，所以一次函数的解析式为yx5【例3】. （2011四川成都，19,10分） 如图，已

5、知反比例函数的图象经过点（，8），直线经过该反比例函数图象上的点Q(4，) (1)求上述反比例函数和直线的函数表达式； (2)设该直线与轴、轴分别相交于A 、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求OPQ的面积【例4】. （2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l1的方程为y=x+l，直线l2的方程为y=x+5，且两直线相交于点P，过点P的双曲线与直线l1的另一交点为Q（3M）. （1）求双曲线的解析式 （2）根据图象直接写出不等式x+l的解集_x_y_Q_p_o_l2_l1图6【例5】. （2011四川内江，21，10分）如图，正比例函数与反比例函数相交于A、B点

6、，已知点A的坐标为（4，n），BDx轴于点D，且SBDO=4。过点A的一次函数与反比例函数的图像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）。（1）求正比例函数、反比例函数和一次函数的解析式；（2）结合图像，求出当时x的取值范围。xyOABCD一、选择题 1. （2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上。若点A的坐标为（2，2），则k的值为A1B3C4D1或32. （2011湖南怀化，5，3分）函数与函数在同一坐标系中的大致图像是 3. （2011贵州贵阳，10，3分）如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=k2x

7、的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若k2x，则x的取值范围是（第10题图） （A）-1x0 （B）-1x1 （C）x-1或0x1 （D）-1x0或x1 【答案】C4. （2011山东东营，10，3分）如图,直线和双曲线交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设AOC面积是S1、BOD面积是S2、POE面积是S3、则（ ）A. S1S2S3 B. S1>S2>S3 C. S1=S2>S3 D. S1=S2<S35. （2011江苏扬州，6,3分）某反比例函数的图象经过点（

8、-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ） A. （-3,2） B. （3,2） C. （2，3） D. （6,1）6. （2011四川南充市，7，3分） 小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y(km/h)和行车时间x(h)之间的函数图像是（ ） A B C D7. （2011浙江杭州，6，3）如图，函数和函数的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若，则x的取值范围是（ ）A BC D8. （2011浙江台州，9,4分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点M，N，已点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为1，根据图象信息可得关于x的方程=的解为（ ）A. 3,1 B.

9、3,3 C. 1,1 D.3，-19. （2011湖北宜昌，15，3分）如图，直线y=+2与双曲线y=在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为（ ） （第15题图）二、填空题1. （2011山东滨州，18，4分）若点A(m，2)在反比例函数的图像上，则当函数值y2时，自变量x的取值范围是_.【答案】x-2或x>02. （2011四川成都，25,4分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数满足：当时，y随x的增大而减小若该反比例函数的图象与直线都经过点P，且，则实数k=_.【答案】.3. （2011上海，11，4分）如果反比例函数（k是常数，k0）的图像经过点(1，2)，那么这个函

10、数的解析式是_【答案】4. （2011湖北黄石，15，3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则实数k的取值范围是 。【答案】k<-5. （2011内蒙古乌兰察布，17，4分）函数 , 的图象如图所示，则结论： 两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 ) 当时， 当 时， BC = 8 当 逐渐增大时，随着的增大而增大，随着 的增大而减小其中正确结论的序号是 .yy1xy2x第17题图【答案】6. （2010湖北孝感，15，3分） 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且ABx轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为 .【答案】27. （2

11、011湖北荆州，16，4分）如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，ABC90°，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB轴，将ABC沿AC翻折后得到ABC，B点落在OA上，则四边形OABC的面积是.【答案】2三、解答题1. （2011安徽，21，12分）如图，函数的图象与函数（）的图象交于A、B两点，与轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）（1）求函数的表达式和B点的坐标；（2）观察图象，比较当时，与的大小.ABOCxy当0x1或x2时，y1y22. （2011浙江省，18，8分）若反比例函数与一次函数的图象都经过点A（a,2）(1)求反比例函数的解析式；(2)

12、当反比例函数的值大于一次函数的值时，求自变量x的取值范围BOA3. （2011浙江义乌，22，10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点. 已知反比例函数y= （k>0）的图象经过点A(2，m)，过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为 .（1）求k和m的值；（2）点C（x，y）在反比例函数y= 的图象上，求当1x3时函数值y的取值范围；（3）过原点O的直线l与反比例函数y= 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值. 4. （2011四川宜宾,21,7分）如图，一次函数的图象与反比例函数（x0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当x

13、1时，一次函数值大于反比例函数值，当x1时，一次函数值小于反比例函数值（1）求一次函数的解析式；（2）设函数（x0）的图象与（x0）的图象关于y轴对称，在（x0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQx轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标（21题图）ABPCQyxO【答案】解：时，一次函数值大于反比例函数值，当时，一次函数值小于反比例函数值A点的横坐标是-1，A（-1,3）设一次函数解析式为，因直线过A、C则 解得一次函数的解析式为的图象与的图象关于y轴对称，B点是直线与y轴的交点，B（0,2）设P(n，)，S四边形BCQP=S梯形BOQP-SBOC=2，P（

14、，）5(2011重庆綦江，23，10分)如图，已知A（4，a），B（2，4）是一次函数ykxb的图象和反比例函数的图象的交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB的面积.6. （2011山东临沂，24，10分)如图，一次函数ykxb与反比例函数y的图象交于A（2，3），B（3，n）两点（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kxb的解集_；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，求SABC 7. （2011广东肇庆，23，8分）如图，一次函数的图象经过点B（，0），且与反比例函数（为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点（1，）求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当时，反比例函数的取值范围yOABx 8. （2011重庆市潼南,23,10分）如图, 在平面直角坐标系中，一次函数(k0)的图象与反比例函数(m0)的图象相交于A、B两点求：（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2