提高例题-相交线与平行线培优

1、七年级数学：相交线与平行线一、知识要点：1平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。2两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。3垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。4 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做 ;如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关 系的一对角叫做 :如果两个角都在两直线之

2、间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做 5.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么 .6平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成： 7.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线&平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： .两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成： .两条平

3、行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成： 。方法指导：平行线中要理解平行公理， 能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、 同旁内角，并会运用与“三线八角” 有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。、例题精讲 例 1.如图 ，直线 a 与 b 平行，/ 1 = (3x+70) ° , / 2=(5x+22)a求/ 3的度数。解：a/ b,/ 3 =Z 4 （两直线平行，内错角相等）/ 1 + / 3=7 2+ / 4= 180° （平角的定义）7 1 = 7 2（等式性质）则 3x+70 = 5x+22 解得 x=24即7 1= 14

4、2图，是几何计算常用的方法。/ 3 = 180 ° - / 1 = 38°评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组）GF图例 2.已知：如图（2）, AB / EF/ CD , EG 平分/ BEF，/ B+ / B- / D=24 °，求/ GEF 的度数。解： AB / EF / CD/ B= / BEF，/ DEF= / D （两直线平行，内错角相等） / B+ / BED+ / D =192。（已知）即/ B+ / BEF+ / DEF+ / D=192 ° 2 （/ B+ / D） =192° （等量代换）则/ B+ / D=96 &

5、#176; （等式性质）/ B- / D=24。（已知）/ B=60 ° （等式性质）即/ BEF=60 ° （等量代换）/ EG平分/ BEF （已知）/ GEF= - / BEF=30 ° （角平分线定义）2，求/ DEB的度数。例 3.如图（3）,已知 AB / CD，且/ B=40 °，/ D=70 解：过E作EF / AB/ AB / CD （已知） EF / CD （平行公理） / BEF= / B=40 °/ DEF= / D=70 ° （两直线平行,内错角相等）/ DEB= / DEF- / BEF/ DEB = /

6、D- / B=30 °评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。图（3） 例4.已知锐角三角形 ABC的三边长为a, b, c,而ha, hb, he分别为对应边上的高线长,求证：ha+hb+heV a+b+c分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段 证明：由垂线段最短知，haV c , hbV a, hcV b 以上三式相加得 ha+hb+hcv a+b+c1.以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。研究垂直关系应掌握好垂线的性质。2. 垂线段最短。例5.如图（4）,直线 AB与CD相交于 O, EF AB于F, GH CD于H,求证EF与G

7、H必相交。AHFE GDCOB分析：欲证EF与GH相交，直接证很困难，可考虑用反证 法。证明：假设EF与GH不相交。 EF、GH是两条不同的直线EF / GHEF ABGH AB又因GH CD 故AB / CD (垂直于同一直线的两直线平行 )图(4)这与已知AB和CD相交矛盾。所以EF与GH不平行，即EF与GH必相交评注：本题应用结论：(1) 垂直于同一条直线的两直线平行。(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例6.平面上n条直线两两相交且无 3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？ 解：2条直线产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加2个

8、交点，这时平面上 3条直线共有1+2=3个交占；八、第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上 4条直线共有1+2+3=6个 交点；、 1贝U n条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1)=n(n-1)2评注：此题是平面上 n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考， 从中发现规律。例7. 6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+仁15条直线，除去共线的 3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为 15-2=13条。另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的

9、3点最多有3 X 3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+仁13条一 1评注：一般地，平面上 n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)= n(n-1)2例8. 10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域?3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；同理：4条直线最多分成 2+2+3+4=11个不同区域；10条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56 个不同区域11推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+n=1+n(n

10、+1)=(n2+n+2)块不同22的区域思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域?例9.平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于n证明：平面上n条直线两两相交最多得对顶角n(n 1) x 2= n(n-1)对，即2n(n-1)个角2平面上任取一点 O,将这n条直线均平行移动过点 O, 成为交于一点O的n条直线，这n条直线将以O为顶点的圆周角分为 2n个(共n对)互不重叠的角:1、 2、2n由平行线的性质知，这2n个角中每一个都和原来n条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n个角均是原2n(n-1)个角中的角。n若这2n个角均大于18001+ 2+

11、3+ + 2n > 2nx=360n1+ 2+ 3+ 2n =360,产生矛盾故 1、2、3、2n中至少有一个小于180°n即原来的2n(n-1)中至少有一个角不小于1800n3条相交，因两直线相交只有3条直线交得的3个不同的交点。评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。例10. (a)请你在平面上画出 6条直线(没有三条共点)，使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。(b)能否在平面上画出 7条直线(任意3条都不共点)，使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。解：(a)在平面上任取一点 A。过

12、A作两直线 m1与n 1。在n1上取两点B, C,在 m1上取两点 D, G。过B作m2 / m1,过C作m3 / m1,过 D 作 n2 / n1,过 G 作 n3 / n1,这时 m2、m3、n2、n3 交得 E、 F、H、丨四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交， 所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交。(b)在平面上不能画出没有 3线共点的7条直线，使得 其中每条直线都恰与另外 3条直线相交。理由如下：假设平面上可以画出 7条直线，其中每一条都恰与其它个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另根据直线去计数这些交点，共有3X 7= 21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计

13、数一次，所以这 7条直线交点总数为=10.5个，因为交点个数应为整数，矛盾。2所以，满足题设条件的 7条直线是画不出来的。三、巩固练习1.平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线( )条A. 6 B. 7C. 8 D. 92平面上三条直线相互间的交点个数是()A . 3 B . 1 或 3 C. 1 或 2 或 3D .不一定是 1 , 2, 33. 平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有()A . 36 条 B . 33 条 C. 24 条 D . 21 条4. 已知平面中有n个点代B,C三个点在一条直线上，A,D, F, E

14、四个点也在一条直线上,除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这 不同的直线，这时 n等于()(A) 9( B) 10(C) 115. 若平行直线 AB、CD与相交直线 EF、GHA . 4对 B . 8对n个点作一条直线，那么一共可以画出38条6. 如图，已知 FD / BE,则7A . 90°B . 135 °(D) 12相交成如图示的图形,C . 12 对 D . 16 对1 + 7 2- 7 3=(150 °C.)180 °则共得同旁内角D.第7题7.如图，已知 AB /&平面上有5个点，有交点9. 平面上3条直线最多可分平面为1 = 7

15、2,则/CD ,7每两点都连一条直线,E与7 F的大小关系5点之外这些直线最多还问除了原有的个部分。A10. 如图，已知 AB / CD / EF, PS GH 于 P, 7 FRG=110 则7 PSQ=11已知A、B是直线L外的两点，则线段 AB的垂直平分 线与直线的交点个数是C一ESl F第10题RHB12 .平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。13 .已知：如图， DE / CB，求证：7 AED= 7 A+ 7 B14 .已知：如图， AB / CD，求证：7 B+ 7 D+ 7 F= 7 E+ 7 GACB第13题F15. 如图，已知 CB AB , CE

16、平分/ BCD , DE平分/ CDA , / EDC+ / ECD =90 ° ,求证：DA AB16. 平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17. 平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面 分成多少块区域？18. 一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线， 最多确定多少条不同直线?19. 平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23 °。20. 平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办 到？画出图形。答案1.5个点中任取2点，可以作4+3+2+1 = 10条直线，在一直线上的 3个点

17、中任取2点，可作2+1 = 3条，共可作10-3+1 = 8 (条)故选 C2平面上3条直线可能平行或重合。故选D3. 对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9 条不重叠的线段对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12 条不重叠的线段。故共有21条不重叠的线段。故选 D4. 由n个点中每次选取两个点连直线，可以画出n(n 1)条直线，若ABC三点不在一条2 ''直线上，可以画出 3条直线，若 代d, e, F四点不在一条直线上，可以画出6条直线，也33 6238.整理得n2 n 9020,(n 10)

18、( n 90)0.n+9 >0 n 10,选 B。5直线EF、GH分别“截”平行直线 AB、CD，各得2对同旁内角，共4对；直线AB、CD分别“截”相交直线 EF、GH，各得6对同旁内角，共12对。因此图中共有同旁内角4+6= 16 对EB6.T FD / BE/ 2= / AGF/ AGC= / 1-/3/ 1+ / 2- / 3= / AGC+ / AGF=180 °选 B7.解：t AB / CD（已知）/ BAD= / CDA （两直线平行，内错角相等）/ 1 = / 2（已知）/ BAD+ / 1 = / CDA+ / 2 （等式性质） 即/ EAD= / FDA A

19、E / FD -Z E=Z F&解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 （个）又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+1 = 6个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉应为45-30 = 15个9.可分7个部分10.解/ AB / CD / EF./ APQ = / DQG= / FRG=110 °同理/ PSQ= / APS/ PSQ=Z APQ- / SPQ= / DQG- / SPQ=110° -90° =20°

20、11.0个、1个或无数个5X 6=30个交点，所以有交点的个数BQSGPl FR1）若线段AB的垂直平分线就是 L,则公共点的个数应是无数个；2） 若AB L,但L不是AB的垂直平分线，则此时 AB的垂直平分线与 L是平行的关系, 所以它们没有公共点，即公共点个数为0个； 3）若AB与L不垂直，那么 AB的垂直平分线与直线 L 一定相交，所以此时公共点的个数 为1个12. 4条直线两两相交最多有1+2+3 = 6个交点13. 证明：过E作EF / BA/ 2=Z A （两直线平行，内错角相等）DE / CB ,EF / BA/ 1 = / B （两个角的两边分别平行，这两个角相等）/ 1+ /

21、 2= / B+ / A （等式性质）即/ AED= / A+ / B14 证明：分别过点 E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ,贝U AB / EH / PF / GQ （平行公理）/ AB / EH/ABE =Z BEH （两直线平行，内错角相等）同理：/ HEF = Z EFP/ PFG=Z FGQ/ QGD = Z GDC/ ABE+ / EFP+ / PFG+ / GDC = Z BEH+ / HEF+/ FGQ+ / QGD （等式性质）即 / B+ / D+ / EFG= / BEF+ / GFD15 .证明：T DE 平分/ CDA CE 平分/ BCD EDC= / AD

22、E / ECD = / BCE (角平分线定义)/ CDA + / BCD= / EDC+ / ADE+ / ECD+ / BCE=2 (/ EDC+ / ECD )= 180°DA / CB又 CB ABDA AB16.两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有4个交点，三条直线最多有3个不同的交点，即最多交点个数为：2+4 X 3+3=1717. (1) 2个圆相交有交点 2X 1= 1个，第3个圆与前两个圆相交最多增加2 X 2= 4个交点，这时共有交点 2+2 X 2 = 6个第4个圆与前3个圆相交最多增加 2X 3= 6个交点，这时共有交点 2+2 X 2+2X 3= 12个 第5个圆与前4个圆相交最多增加 2X 4=8个交点 - 5个圆两两相交最多交点个数为：2+2X 2+2X 3+2X 4= 20(2) 2个圆相交将平面分成 2个区域3个圆相看作第3个圆与前2个圆相交，最多有 2 X 2 = 4个不同的交点，这 4个点