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文档简介

1、数形结合法在函数零点问题中的应用高三数学组2017年3月15日【教学目标】 函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点,因其综合性强,让很多同学感到困难。 本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究,来说明如何将数形结合思想运用于函数零点的问题中,使零点问题变得直观形象,从而有效地将问题解决。【教学思想、方法】数形结合分类讨论转化与化归函数与方程【考向洞察】1、针对题型(1) 确定零点的大致范围,多出现在选择题中;(2) 确定零点的个数问题,多出现在选择题中;(3) 利用已知零点的个数求参数的范围,多出现在选择题、填空题、解答题中均有可能出现。2、解决方案(1) 直接画出函数图像,观察图像得出结

2、论。(2) 不能直接画出函数图像的,可以等价地转化为两个函数图像的交点, 通过判断交点的个数得出函数零点的个数或要求的参数范围。【例题讲解】例 1、设函数 f ( x)1f ( x) ( D )x ln x ,则函数 y3A. 在区间 ( 1 ,1) , (1,e) 内均有零点 eB. 在区间 (1 ,1) , (1,e) 内均无零点 eC. 在区间 (1 ,1) 内有零点, (1,e) 内无零点e1D. 在区间 (,1) 内无零点, (1,e) 内有零点解 1: f '(x)11x 3 , f ( x) 在 ( 1 ,e) 单调递减,f ( 1 )11 0 ,3x3xee3e1, f

3、 (e)e1 0 ,由零点存在定理知,区间1,1)内无零点, (1,e) 内f (1)03(3e有零点。解 2:令 f (x)0,得1xln x ,作出函数 y1x 和 y ln x33的图象,如右图,显然在区间(1 ,1) 内无零点, (1,e) 内有零点。e1x2,x 0( ),则 y f ( x)x 的零点个数是 _2_。例 2、设 f (x)22x2, x0解:作出函数 yf ( x) 和 y x 的图象,如右图,由图可知直线y x 与函数 f (x) 的图象有两个交点,所以y f ( x) x 有 2 个零点。例 、已知函数x2ax, x0,F ( x)2 f ( x) x有 2 个

4、零点,则实数a 的3f ( x)ln( x 1),x0取值范围是 _。 (, 1221x解 1: x0 时, F (x)2 f ( x)x2ln( x1)x ,则 F '(x)x 11xF ( x)F ( x)F (0)1当 0x 1单调递增;当 x单调递减;而0, F ( x) maxF (1)0,1 ,F (4)2ln 540 ,此时有1 个零点;x0 时, F ( x) ,只有 1 个零点 ,则 2x22axx 的根为0 或正数,由 2x2(2a1)x0 解得 x0或 x12a,12a0 ,解得 a1。22解 2: 令 F ( x)0,得 f (x)x,作出 yf (x) 和 y

5、x2的图象2当 x 0 时, x2axx 恒成立,a1x ,a1222例 4、若函数 f ( x)kx 1,x00 时,函数 yf f ( x) 1 的零点个数为 ( D )ln x, x则当 k0A.1B.2C.3D.4解:令 f (x)t ,若 yf f (x)10 ,则f (t)1 则 f (x)t1 ( ,0) , f ( x)t 2(0,1)对于 f ( x)t1 存在两个零点;对于 f ( x)t2 存在两个零点;综上可知,函数 yf f ( x)1有 4个零点。例 5、设 f ( x)( x 2) 2 exae x , g ( x) 2ax 2 ( e 为自然对数的底数),若关于

6、 x 的方程 f (x)g( x) 有且仅有 6 个不同的实数解 ,则实数 a 的取值范围是( D )A. ( e2,)B. (e,)C. (1,e)D. (1, e2)2e12)2 exae x2e1解:由 f (x)g( x) 得 ( x2a x 2即 ( x 2)2 e2 x2a x 2 exa 0令2x() ,则2txeh xt2ata 0h( x)( x 2)ex , x 2,h '(x)( x 1)ex, x 2(2 x)ex , x 2(1 x)ex, x 2h( x) 的大致图象如右图:方程 t 22at a0 在 (0, e) 上有两个不同的解 t, t时可以满足题意124a24a0e20 t对a

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