数学计算机专升本复习课ppt课件

1、试卷题型试卷题型一、选择题共10题，每题2分，共20分）二、填空题共5题，每题3分，共15分）三、计算题共7题，每题7分，共49分）四、证明题共1题，每题7分，共7分）考试时间：考试时间：2019年年1月月16日日9:0011:00五、综合题共1题，每题9分，共9分）复习课复习课第一章 函数与极限1. 函数基础知识，理解2. 极限(会求极限,不需证明)（1极限运算法则3. 无穷小定义及比较无穷小（2极限存在定理（3两个重要极限变形）4. 函数的连续性 （1判断连续性分段函数）、间断点（2闭区间上连续函数性质第二章 导数与微分 1. 导数的概念（1导数的定义、几何意义（2用定义判断分段函数的可导

2、性 2. 求导法则（1基本公式、四则运算法则与复合函数求导法则（2隐函数与参数方程确定的函数求导法则（3高阶导数 3. 微分概念 （3微分定义如何求微分）第三章 导数的应用掌握运用洛必达法则求未定式极限 1. 洛必达法则2. 函数性态的研究（1单调性判定应用）（3凹凸性与拐点（2函数极值、最值（4曲率曲率半径）第四章 不定积分4-1 不定积分的概念与性质4-2 不定积分的基本公式4-3 两种积分法第五章 定积分及其应用5-1 定积分的概念5-2 定积分的简单性质5-3 定积分的计算5-5 反常积分看例题、做习题看例题、做习题第六章 定积分的应用1. 平面图形的面积直角坐标）2. 立体体积旋转体

3、体积）第七章 微分方程1. 基本概念 （理解）2. 可分离变量的微分方程3. 齐次方程4. 一阶线性微分方程 5. 可降阶的二阶微分方程6. 二阶常系数齐次线性微分方程练习题练习题P49 1 2 3 P56 1 2 P65 2P70 6P75 10P87 10 13 14 16 17P98 6 7 8 11P103 1P111 1P123 3练习题练习题P138 1P152 3 5 8P163 1 4P207 2P212 P253 1 7P260 1P284 1 2 11 12 15P304 1 2P315 1 2P323 1 2P340 1P177 1 2 3P243 5 极限的四则运算法则

4、极限的四则运算法则定理定理则则设设,)(lim,)(limBxgAxf ;)()(lim)1(BAxgxf ;)()(lim)2(BAxgxf . 0,)()(lim)3( BBAxgxf其其中中极限的运算极限的运算定义定义以零为极限的函数以零为极限的函数(或数列或数列)称为无穷小称为无穷小.无穷小有如下性质：无穷小有如下性质：（1有限个无穷小的和、差、积以及常数与无穷小有限个无穷小的和、差、积以及常数与无穷小的乘积均为无穷小。的乘积均为无穷小。（2有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小。有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小。常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x,sinxx,)1ln(xx

5、 ,tanxx.111xnxn ,1exx ，221cos1xx ,arcsinxx,arctanxx);(, 0lim)1( o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果定义定义: :. 0, 且且穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;, 1lim 记记作作是是等等价价的的无无穷穷小小与与则则称称如如果果特特殊殊地地(3)lim(0,0),.kC Ckk 如如果果就就说说 是是 的的 阶阶无无穷穷小小1. 夹逼准则夹逼准则准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及 nz满满足足下下列列条

6、条件件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在, , 且且axnn lim. . 2.单调有界准则单调有界准则准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限. 详细：单调增加有上界，或单调减少有下界。详细：单调增加有上界，或单调减少有下界。; 1sinlim10 某某过过程程. e)1(lim210 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 定定义义 1 设设函函数数)(xfy 在在点点 0 x的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，如如果果 那那么么就就称称函函数数)(xfy 在在点点

7、0 x连连续续。 0)()(limlim0000 xfxxfyxx定定义义 2 设设函函数数)(xfy 在在点点 0 x的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，如如果果 那那么么就就称称函函数数)(xfy 在在点点0 x连连续续。 ，)()(lim00 xfxfxx 定理定理.)()(00既既左左连连续续又又右右连连续续处处在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf基本初等函数在其定义域内都是连续的基本初等函数在其定义域内都是连续的. .一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的. .初等函数求极限的方法：代入法初等函数求极限的方法：代入法.)()()(l

8、im000定定义义区区间间 xxfxfxx可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x间断点间断点定理定理4(4(有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理) ) 在闭区间上在闭区间上连续的函数在该区间上有界且能取得最大值和最连续的函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值小值. .闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质.),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf 二、导数的定义二、导数的定义如如果果极极限限的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义在在点点设设函函数

9、数,)( 0 xxfy 定义定义，0ddxxxy 00)()(lim0 xxxfxfxx ,)(,)(,000 xxyxxfyxxfy 记记为为处处的的导导数数在在点点为为函函数数并并称称这这个个极极限限处处可可导导在在点点则则称称函函数数存存在在,d)(d0 xxxxf .)(0等等xf 1. 1. 函数在一点处的导数与导函数函数在一点处的导数与导函数.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式0000( )()()limxxf xf xfxxxxxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000导数定义形式一导数定义形式一导数定义形式二导数定义形式二令令xxx

10、0, ,得得到到导导数数定定义义的的第第二二种种形形式式： 右导数右导数:单侧导数单侧导数左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导 左左导导数数)(0 xf 和和右右 导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等. 三、导数的几何意义三、导数的几何意义oxy)(xfy T0 xM)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfy

11、xf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1. 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxxx1)(lne)e( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cotarc(11)(arccosxxxx 2. 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvx

12、uu 可导，那么可导，那么（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()(dddddd)()(),(xufxyxuuyxyxfyxuufy 或或导导数数为为的的则则复复合合函函数数而而设设例例解解0 xyyxyyeeee，xyyyx e e，e e01.xy 方程两边关于方程两边关于x x求导求导, ,得得 解得解得由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数( )( )xtyxyt 若若参参数数方方程程确确定定与与 间间的的函函数数关

13、关系系 , ,称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确定定的的函函数数. .，)()(tt txtyxydddddd 定义定义( )yf xx 设设函函数数在在点点 处处可可导导，则则称称( )fxx ( )( )yf xxdydf x 为为函函数数在在点点 处处的的微微分分，记记为为或或( )dydf x .d)(dxxfy ,d ,d.xxxxx 通通常常把把自自变变量量 的的增增量量称称为为自自变变量量的的微微分分记记作作即即).(ddxfxy 导数也称为导数也称为“微商微商”. 在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式

14、，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法洛必达法则是求函数极限的一种重要方法. . ，00. 00 00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x4 4. .洛洛必必达达法法则则可可多多次次使使用用； 5 5. .当当)()(limxgxf 不不存存在在时时, ,且且不不是是 , ,不不能能说说)()(limxgxf不不存存在在, ,只只能能说说此此时时使使用用洛洛必必达达法法则则失失败败, ,需需另另想想它它法法. . 说明：说明： 定理定理.),(,)(内内可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数babaxfy 上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内

15、内如果在如果在）（,)(0)(),(1 baxfyxfba .,)(0)(),()2( 上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在baxfyxfba 单调性判断定理单调性判断定理例例5 5证证当当时时 试试证证成成立立 ln(1)1,.ln1xxxxx设设 ( )ln,f xxx则则 ( )ln1.fxx在在上上连连续续 在在上上可可导导 且且 ( )1,),(0,),( )0, f xfx在在上上单单调调增增加加； 1,)即即 (1)ln(1)ln.xxxx利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式， (1)( )f xf x故故有有 ln(1).ln1xxxx有

16、且只有一个实根。有且只有一个实根。证明方程证明方程0arctan4 xx ，设设xxxfarctan4)( .1)1( ,4)0( ff .)(至至少少有有一一个个零零点点函函数数xf.)( 至多有一个零点至多有一个零点xf.)( 单单调调增增加加xf0111)(2 xxf又又由连续函数的零点存在定理知，由连续函数的零点存在定理知，有且只有一个实根。有且只有一个实根。0)( xf利用函数的单调性讨论方程的根。利用函数的单调性讨论方程的根。例例7 7证证定义定义函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为极值点的点称为极值点.注：极值是局部性

17、的概念注：极值是局部性的概念, ,极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大. . oxy0 xoxy0 x定理定理1(1(必要条件必要条件) )0 ()0.fx 导数等于零的点称为驻点导数等于零的点称为驻点. . 对可导函数来讲对可导函数来讲, ,极值点必为驻点极值点必为驻点, , 但驻点只是极值点的必要条件但驻点只是极值点的必要条件, ,不是充分条件不是充分条件. . 定理定理2(2(极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (1) (1) 若若),(00 xxx 时时, ,0)( xf, , ),(00 xxx时时, ,0)( xf, , 则则0 x为

18、极大值点；为极大值点； ( (2 2) ) 若若),(00 xxx 时时, ,0)( xf, , ),(00 xxx时时, ,0)( xf, , 则则0 x为为极极小小值值点点； ( (3 3) ) 如如果果在在上上述述两两个个区区间间内内)(xf 同同号号, ,则则 0 x不不是是极极值值点点. . xyoxyo0 x0 x 一阶导数一阶导数变号法变号法定理定理3(3(极值存在的第二充分条件极值存在的第二充分条件) )设设函函数数)(xf在在它它的的驻驻点点0 x处处二二阶阶可可导导, ,则则 ( (1 1) ) 如如果果0)(0 xf, ,则则 0 x为为极极小小值值点点； ( (2 2)

19、 ) 如如果果0)(0 xf, ,则则 0 x为为极极大大值值点点； ( (3 3) ) 如如果果0)(0 xf, ,则则无无法法判判断断. . 称为称为“二阶导数非零法二阶导数非零法”xyo0 x xyo0 x 说明：说明：(1) (1) 此法只适用于驻点此法只适用于驻点, ,不能用于判断不可导点；不能用于判断不可导点； 求最值方法：求最值方法： ( (2 2) ) 求求出出端端点点的的函函数数值值)(),(bfaf； ( (3 3) ) 最最大大值值 )(),(),(,),(max1bfafxfxfMk 最最小小值值 )(),(),(,),(min1bfafxfxfmk . 设设函函数数)

20、(xf在在,ba上上连连续续，在在),(ba内内二二阶阶可可导导. . 定理定理( (1 1) ) 如如果果,0)( xf,),(bax 则则曲曲线线)(xfy 在在,ba上上是是凹凹的的； ( (2 2) ) 如如果果,0)( xf,),(bax 则则曲曲线线)(xfy 在在,ba上上是是凸凸的的； 凹凸性判断定理凹凸性判断定理曲率的计算公式曲率的计算公式,)(二二阶阶可可导导设设xfy .)1(232yy ddKs 1K 曲曲率率半半径径曲曲率率如如果果在在某某区区间间I内内)()(xfxF , ,则则称称I内内F(x)为为f (x)的的一一个个原原函函数数. . 定义定义若若)(xF是是

21、)(xf的的一一个个原原函函数数, ,则则称称CxF )(为为)(xf的的不不定定积积分分, , 记为记为.)()d(CxFxxf 定义定义 Ckxxk d)1(k是常数是常数););1(1d)2(1 Cxxx;lnd)3( Cxxx xxd11)4(2;arctanCx xxd11)5(2;arcsinCx xxdcos) 6(;sinCx xxdsin)7(;cosCx 基基本本积积分分表表 xxxdtansec)10(;secCx xxxdcotcsc)11(;cscCx xxde)12(;eCx xaxd)13(;lnCaax xx2cosd)8( xxdsec2;tanCx xx2s

22、ind)9( xxdcsc2;cotCx 基基本本积积分分表表基基本本积积分分表表(14)tandln sec;x xxC (15)cotdln csc;x xxC (16)secdln sectan;x xxxC (17)cscdln csccot;x xxxC 221(20)darcsin;xxCaax 22221(21)dln()xxxaCxa ；2211(19)dln;2xaxCxaaxa 2211(18)darctan;xxCaxaa 22221(22)dln.xxxaCxa )(xu xxxgd)()( uugd)( xxf)d(CuG )(.)(CxG xxud)(d 一般地，凑

23、微分法步骤如下：一般地，凑微分法步骤如下： xxfd)( )F uC d d ( )( )fuuu 1( ).FxC 第二类换元法第二类换元法凑微分凑微分分部积分法分部积分法 xvu d vud uvuvd.d xvuuv设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点，bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成 n个个小小区区间间， 各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i, 在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点 作作和和iinixfS

24、)(1 ， 二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义怎怎样样的的分分法法，也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，若若 iinixf )(lim10 存存在在， ，),(1iiiixx iinibaxfxxf )(limd)(10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量我我们们称称这这个个极极限限为为函函数数)(xf 在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和：积积分分区区间间,ba 在下面的性质中在下面的性质中, ,假定定积分都存在假定定积分都存在, ,且不考虑且不考虑积分上下限的大小积分上

25、下限的大小性质性质1 1 bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）性质性质2 2 babaxxfkxxkfd)(d)(k为常数为常数)性质性质1,21,2合称线性性合称线性性. . 定积分的性质定积分的性质说明：不论说明：不论a, b, c的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.性质性质3 3 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(则则0d)( xxfba. . )(ba 性质性质4 4性质性质5 5如如果果在在区区间间 ,ba上上0)( xf， .d1abxba 推论推论1

26、 1若若, ),()(baxxgxf , , .d)(d)( babaxxgxxf则则推论推论2 2 babaxxfxxfd)(d)()(ba 设设M及及m分分别别是是函函数数)(xf在在区区间间 ,ba 上上的的最最大大值值及及最最小小值值, ,则则 性质性质6 6估值定理）估值定理）. )(d)()(abMxxfabmba 性质性质7 7定积分中值定理）定积分中值定理）设设)(xf在在,ba上上连连续续, ,则则存存在在, ba , ,使使 . )(d)(abfxxfba 定理定理1(1(微积分基本定理微积分基本定理) ) 设设函函数数)(xf在在,ba上上连连续续, , 构作积分上限函数

27、构作积分上限函数 ， xattfxd)()(,bax 则则)(x 在在,ba上上可可导导, ,且且 . )(d)(dd)(xfttfxxxa 定理定理3 (3 (微积分基本公式微积分基本公式) )设设函函数数)(xf在在,ba上上连连续续, ,)(xF是是)(xf的的任任意意一一个个原原函函数数, ,则则 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式. )()(d)(aFbFxxfba 定积分的分部积分法定积分的分部积分法定理定理 设设函函数数)(),(xvxu在在,ba上上连连续续可可导导, ,则则 .d)(d bababauvuvvu 假设假设 （1 1）)(xf在在,ba上连续；上连续； 定理定理（

28、2 2）函函数数)(tx 在在, 上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当）当 t 在区间在区间, 上变化时，上变化时，)(tx 的的值在值在,ba上变化，且上变化，且a )( 、b )( ， 则有则有 tttfxxfbad)()(d)(定积分的换元法定积分的换元法曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题ab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(xyo曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题.d)()( dcyyyA dcxyo)(yx )(yx 体积问题体积问题abox y)(xfy x2)()(xfxA d d2( )bxaVf xx 体积问题体积问题 dcy

29、yyVd)(2 x y)(yx cdox ydc设设函函数数)(xf在在区区间间), a上上有有定定义义, ,且且对对任任何何at , ,)(xf在在,ta上上可可积积, ,如如果果极极限限 一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分定义定义 tatxxfd)(lim记记作作 axxfd)(, ,即即 ， tataxxfxxfd)(limd)( bttbxxfxxfd)(limd)( aaxxfxxfxxfd)(d)(d)(以以后后为为了了方方便便, ,把把tatxF)(lim 直直接接记记为为 axF)(. . 类似地，类似地， tataxxfxxfd)(limd)(二、无界函数的广义积分二、

30、无界函数的广义积分如果函数如果函数)(xf在点在点a的任一邻域内都无界的任一邻域内都无界, ,则称点则称点a为为)(xf的的瑕点瑕点( (或或奇点奇点).). 定义定义设设函函数数)(xf在在,(ba上上连连续续, ,点点a为为)(xf的的瑕瑕点点, , 如果极限如果极限 btatxxfd)(lim即即.d)(limd)( btatbaxxfxxf类类似似地地, ,设设)(xf在在),ba上上连连续续, ,点点b为为瑕瑕点点, ,如如果果极极限限 tabtxxfd)(lim存在存在, ,则称广义积分收敛则称广义积分收敛, ,即即 .d)(limd)( tabtbaxxfxxf.d)(d)(d)

31、( bccabaxxfxxfxxf( )( )g y dyf x dx xxfyygd)(d)(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的某某个个原原函函数数, CxFyG )()(为微分方程的通解为微分方程的通解.两边积分两边积分,为可分离变量的方程为可分离变量的方程. . 称称那那么么齐次方程齐次方程)(ddxyfxy 形如形如的微分方程称为齐次方程的微分方程称为齐次方程. .2.2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式得代入原式得,ddddxuxuxy ),(ddufxuxu 1.1.定义定义分分离离变变量量得得 xxuufud)(d , , 两边积分即得通解两边积分即得通解. . 注意：须将注意：须将u代回代回. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy