2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业49《椭圆》（教师版）

1、课时作业49椭圆一、选择题1设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为(A)A4 B3C2 D5解析：由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.2曲线C1：1与曲线C2：1(k<9)的(D)A长轴长相等 B短轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析：因为c25916，c(25k)(9k)16，所以c1c2，所以两个曲线的焦距相等3已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线y21的离心率为(C)A. B.C.或 D.或解析：由题意知m236，解得m±6.当m6时，该圆锥曲线表示椭

2、圆，此时a，b1，c，则e；当m6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a1，b，c，则e.故选C.4已知点F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且F1PF260°，则|PF1|·|PF2|(A)A4 B6C8 D12解析：由|PF1|PF2|4，|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos60°|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|12，所以|PF1|·|PF2|4，故选A.5焦点在x轴上的椭圆方程为1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为

3、，则椭圆的离心率为(C)A. B.C. D.解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c·b(2a2c)·，得a2c，即e，故选C.6正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是(B)A. B.C. D.解析：设正方形的边长为2m，椭圆的焦点在正方形的内部，m>c.又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1(a>b>0)上，1>e2，整理得e43e21>0，e2<，0<e<.故选B.二、填空题7与圆C1：(x3)2y

4、21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为1.解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10>|C1C2|6，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为1.8已知椭圆1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是.解析：由椭圆的方程可知a2，由椭圆的定义可知，|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短

5、，则3，所以b23，即b.9椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是(3,0)或(3,0)解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|PF2|2a10.则m|PF1|·|PF2|225，当且仅当|PF1|PF2|5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.所以点P的坐标为(3,0)或(3,0)10已知椭圆1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是.解析：设直线xy50与椭圆1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(4,1)，所以x1x28，y1y22

6、.易知直线AB的斜率k1.由两式相减得，0，所以·，所以，于是椭圆的离心率e.三、解答题11已知椭圆C的两个焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OAOB时，求AOB的面积解：(1)设椭圆C的方程为1(a>b>0)，由题意可得解得故椭圆C的方程为y21.(2)直线OP的方程为yx，设直线AB的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2mxm210，由3m24(m21)>0，得m2<4，由OAOB，得&#

7、183;0，·x1x2y1y2x1x2x2mx1mx1x2m(x1x2)m2(m21)m·(m)m2m20，得m2.又|AB|·，O到直线AB的距离d.所以SAOB|AB|·d×××.12已知椭圆C：1，直线l：xy20与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合(1)求椭圆C的离心率；(2)当SOPQ2时，求椭圆C的方程；(3)过原点O作直线l的垂线，垂足为N.若|PN|BQ|，求的值解：(1)a23m，b2m，c22m，e2，故e.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将xy20代入椭圆C的方程并

8、整理得4x212x123m0，依题意，由(12)24×4×(123m)>0得m>1.且有|PQ|x1x2|·，原点到直线l的距离d，所以SOPQ|PQ|·d×·×2，解得m>1，故椭圆方程为1.(3)直线l的垂线为ON：yx，由解得交点N(1,1)因为|PN|BQ|，又x1x23，所以1，故的值为1.13如图，椭圆1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则F2MN的周长为(D)A20 B10C2 D4解析：由F1，H是线段

9、MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(c,0)，点N的横坐标为c，联立方程，得得N(c，)，H(0，)，M(2c，)把点M的坐标代入椭圆方程得1，化简得c2，又c2a24，a24，解得a25，a.由椭圆的定义知|NF2|NF1|MF2|MF1|2a，F2MN的周长为|NF2|MF2|MN|NF2|MF2|NF1|MF1|4a4，故选D.14已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON，求原点O到直线l的距离的取值范围解：(1)由题知e，2b2，又a2b2c

10、2，b1，a2，椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得得(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)>0，化简得m2<4k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOM·kON，则，即4y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)·4km·()4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得m2k2，由得0m2<，<k2，原点O到直线l的距离d，d

11、21，又<k2，0d2<，原点O到直线l的距离的取值范围是0，)15已知椭圆1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1PF2，则椭圆的离心率的平方为(B)A. B.C. D.解析：如图，由题意得，A(a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x2y2c2与线段AB的切点，连接OP，则OPAB，且OPc，即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的方程为yxb，整理得bxayab0，点O到直线AB的距离dc，两边同时平方整理得，a2b2c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a4b4，可得b4a2b2a40，两边同时除以a4，得()210，可得，则e211，故选B.16如图，记椭圆1，1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个命题：P到F1(4,0)，F2(4,0)，E1(0，4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值；曲线C关于直线yx，yx均对称；曲线C所围区域的面积必小于36；曲线C的总长度不大于6.其中正确命题的序号是.解析：对于，若点P在椭圆1上，P到F1(4,