江苏省2011年普通高校专转本统一考试高等数学试卷及答案

1、Authorzmathtrioncs&数学伯伯江苏省2011年普通高校专转本统一考试试卷高等数学试卷一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题卷的指定位置上1、当 xt 0 时，函数 f(X)= ex - x-1是两数 (x) = x2 的.A、高阶无穷小 E、低阶无穷小 C、同阶无穷小 D、等价无穷小评析：本题是考査无穷小阶的比较，两个无穷小Z间的关系通过作商的极限”町以得出相 X 1r 1W的关系，因为Ilin = liin= Inn= 一(常数)，所以半x t 0时函数/(x)5 x 2x io 2x

2、 2与函数g(x)为同阶无穷小，因此选C。这种题型还是比较常见的，关键是掌握无穷小阶的 比较的概念，即有三种关系：高阶、同阶(包括等价)、低阶。2、设换数/(X)在点 X。处可导，且lin/(V/f)y(Ao + /?) = 4 .则 / (x0) =.力TOhA、-4B、-2C、2D、4评析：本题是一道经典的关J：导数定义的考査题型，即通过导数的定义來构造极限。W为g 口。一 h): 口。+ h) 一2心。一心-戶。+叽_2八无)=4，所以 力 toh5-2hQr(x0)=-2,因此选 b。3、若点(1,-2) 曲线y =处一应的拐点，则oA、a = l,b = 3 E、ci = -3,b

3、= -1 C、a = 1,/? = -3 D、a = 4,b = 6评析：本题间接地考査了导数的应用，即利用已知极值点或拐点的仃关信息反求函数屮的参 数。对多项式函数y = ax3-bx2f显然满足二阶可导的，因此点(1,-2)-定是使得二阶 导数等于零的点，因为/ = 6ar-2/?,所以y (1) = 6乃=0, 乂点(1,-2)本身也是曲 线y二ax3 - bx2上的点，所以y=(i-b = -2,结介两个关V a,b的方程解得a = l,b = 3, 因此选A。4、设z = f(x,y)为由方程z -3yz+3x = 8所确定的函数.则11=0 =.dy -oA、Bx C、2D、22

4、2评析：本题考査二尤隐函数求偏导，利用的是构造三元函数F(兀,y,z)=z-3yz + 3x-8,则代7, F7,于是赛一务一話青=島:把“0,尸0代Qr 入到原方程中得Z=2.所以二0V、032_ 132 30 一亍因此选B。Authorzmathtrioncs&数学伯伯Authorzmathtrioncs&数学伯伯5、如果二觅积分| f(x,y)dxdy可化为一.次积分 Jy j /(x,y)dx,则积分域D可表示 D为A、(x,y)| 0 xl,x-l y 1B、(x,y)|l x2,x-l y 1C、(x,y)|0xl,x-ly0)D、(x,y)|lx2,0yx-l)Authorzma

5、thtrioncs&数学伯伯Authorzmathtrioncs&数学伯伯、2”D、2门+评析：本题考查舉级数的展开式，y 12+x2评析：本题与以往我们平时做的关交换一次枳分次序何所不同，但实际匕本质还是一样的.内为如果我们耍交换二次枳分次序就必须耍根据“四个上卜限画出枳分区域D,然后再交 换所谓的积分次序而本题考査的仅仅只是积分区域D的形式是什么样的。根据已知二次 积分认匸 (/(x,y)dx，它是Y空的，画出积分区域D如图从图上看，阴影部分即为(.r,)|lx2,0yx-l), W此选咲82+.v6、若丙数/(x) = -的幕级数展开式为/(x) =H(2vxv2),则系数匕=nO X1

6、-COJf3、设换数 D(.v) = f ln(l + t)dt,则 D(1) =oJo评析：本题考查变上限枳分求导，也是历年來的考查巫点，只是今年稍微仃所不同，首先本 题求的是二阶导数，其次求的是具体点的导数值，0 所以/(X)满足单调! + %递增:又/(0) = -20,所以由零点定理可知方程xln(l + x;)=2有 且仅冇一个小2的正实根。22、证明：当 x0 时，X2011 + 2010 201 lx评析：本题考查不等式证明，利用函数单调性(需耍分区间讨论)或者利用最值法，这里我 们用授值法解答设/(X) = X2O11 +2010-201 l.v,则/X，v) = 201 l.

7、v2010- 2011,令 f(x) = 0得驻点 兀=1,又厂(x)=20112010严9,所以厂(1)=201120100,因此由判定极值的第 二充分条件可知/(I) = 0为极小值，并由单峰原理可知/=0也为两数/(x)的最小值，即f(x) 0,也即原不等式成立。Author:mathtriones&数学伯伯五、综介题(木人题共2小题.每小题10分，共20分)严-x2-av-l.rare tan x xvO23、设 f(X)= 0(1) x= 0是函数/(x)的连续点？(2) x=0是两数/(x)的可去间断点？(3) x=0是函数/(x)的跳跃间断点？评析：本题考食函数在某点处的连续性及

8、间断点问题，历年来这种题型人都出现在选择或填 空题屮，今年改变了形式，出现在了综介题中，我们仍然可以从左右极限入于分别加以讨论, 并不难回答它提出的三个问题。=111D0 2x522严丫一1严1一1 . ae-2x-aAuthor:mathtriones&数学伯伯上而我们分别求出了左右极限，接卜來就可以分别就不同情况回答上而的三个问题了， 洗是第一个问题 ?要满足连续,则必须左极限等于右极限，而且还耍等F函数值.是能取“2；其次是第二个问题.人1町去间断点，则必须左极限等于右极限，但不能等丁函数值,利用上问的结果可知此时 = -1:最后一个问题，若耍满足是跳跃间断点, 则必须左极限不等J：右极

9、限，J：是冇2工彳，解得且2 224、设函数/(x)满足微分方程xf (x)-2f(x) = -S+ 1)x(其中a为正常数),JI /(I) = 1,2 由曲线y = /(x)(xl)与直线X=l,y = 0所围成的平面图形记为Do已知D的面积为。(1) 求函数/(X)的农达式:(2) 求平而图形D绕X轴旋转一周所形成的旋转体的体积匕；(3) 求平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积匕.评析：木题考査定积分的应用，是历年來综介题中必考的题熨，最近几年稍微加人了一些综 介性，比如本题对两数/(x)是间接给出的，即在求而积或体积之间先耍解一次微分方程才 可以，本题考查的足一阶线性微分方程。2先把原方程变形为标准的一阶线性微分方程得f (Q - /(X)= -( +1)X2- + C) = Cv2 + (a + l)xAuthor:mathtriones&数学伯伯Author:mathtriones&数学伯伯815代入 /(l) = 1 得 C = -a，即 f(x) = -cix + (a + l).v由方程一 av2 + (a + l)x=0可知它有两个根，即x=0和x=l+-,由此可画出上述平 a于是图形D的而积为S = -ar2 + (a + 1).yJ/a =字=| 彳 :解得 = 1,即