小学数学奥数基础教程(五年级)--15

1、小学数学奥数基础教程(五年级) -第15讲本教程共30讲孙子问题与逐步约束法在古书孙子算经中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是：有一堆物品，三个三个数剩两个，五个五个数剩三个，七个七个数剩两个。求这堆物品的个数。我们称这类问题为孙子问题。例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求满足条件的最小自然数。分析与解：这道例题就是孙子算经中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解答。那么，我们能不能通过先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢？我们试试看。满足“除以3余2”的数，有2，5，8，11，14，17

2、，在上面的数中再找满足“除以5余3”的数，可以找到8，8是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”两个条件的数，容易知道，8再加上3与5的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有8，23，38，53，68，在上面的数中再找满足“除以7余2”的数，可以找到23，23是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三个条件的数。23再加上或减去3，5，7的公倍数，仍然满足这三个条件，3，5，7=105，因为23105，所以满足这三个条件的最小自然数是23。在例1中，若找到的数大于3，5，7，则应当用找到的数减去3，5，7的倍数，使得差小于3，5，7，这个差即为所求的最小自然数。例

3、2 求满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然数。分析与解：与例1类似，先求出满足“除以5余1”的数，有6，11，16，21，26，31，36，在上面的数中，再找满足“除以7余3”的数，可以找到31。同时满足“除以5余1”、“除以7余3”的数，彼此之间相差5×7=35的倍数，有31，66，101，136，171，206，在上面的数中，再找满足“除以8余5”的数，可以找到101。因为1015，7，8=280，所以所求的最小自然数是101。在例1、例2中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部

4、三个约束条件的数。这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。例3 在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？解：满足“除以3余2”的数有5，8，11，14，17，20，23，再满足“除以7余3”的数有17，38，59，80，101，再满足“除以11余4”的数有59。因为阳3，7，11=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）÷231=438，所以在10000以内符合题意的数共有44个。例4 求满足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然数。分析与解：如果给所求的自然数加3，所得数能同时被6，8，9

5、整除，所以这个自然数是6，8，9-3=72-3=69。例5学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排下？分析与解：设需要大房间x间，小房间y间，则有7x+4y=66。这个方程有两个未知数，我们没有学过它的解法，但由4y和66都是偶数，推知7x也是偶数，从而x是偶数。当x=2时，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一个解。因为当x增大4，y减小7时，7x增大28，4y减小28，所以对于方程的一个解x=2，y=13，当x增大4，y减小7时，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一个解。所

6、以本题安排2个大房间、13个小房间或6个大房间、6个小房间都可以。就是说，方程7x+4y=66有无数个解。由于这类方程的解的不确定性，所以称这类方程为不定方程。根据实际问题列出的不定方程，往往需要求整数解或自然数解，这时的解有时有无限个，有时有有限个，有时可能是唯一的，甚至无解。例如：x-y=1有无限个解，因为只要x比y大1就是解；3x+2y=5只有x=1，y=1一个解；3x+2y=1没有解。例6 求不定方程5x+3y=68的所有整数解。解：容易看出，当y=1时，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1是一个解。因为x=13，y=1是一个解，当x减小3，y增大5时

7、，5x减少15，3y增大15，方程仍然成立，所以对于x=13，y=1，x每减小3，y每增大5，仍然是解。方程的所有整数解有5个：由例5、例6看出，只要找到不定方程的一个解，其余解可通过对这个解的加、减一定数值得到。限于我们学到的知识，寻找第一个解的方法更多的要依赖“拼凑”。  练习15 1.一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小自然数。2.有一堆苹果，3个3个数余1个，5个5个数余2个，6个6个数余4个。这堆苹果至少有多少个？3.在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然数是几？4.在5000以内，除以3余1，除以5余2，除以7余3

8、的自然数有多少个？5.有一个两位数，除以2与除以3都余1，除以4与除以5都余3，求这个数。6.用100元钱去买3元一个和7元一个的两种商品，钱正好用完，共有几种买法？7.五年级一班的43名同学去划船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少条？ 练习151.299。解：满足除以5余4的数有4，9，14，19，24，再满足除以8余3的数有19，59，99，139，179，219，259，299，339，再满足除以11余2的最小自然数是299。2.82个。3.907。提示：满足除以4余3，除以5余2，除以7余4的最小自然数是67。4，5，7=140，67+140×6=907。4.48个。提示：满足除以3余1，除以5余2，除以7余3的最小自然数是52。3，5，7=105，（5000-52