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文档简介

1、第二节 曲线与方程 三年三年1 1考考 高考指数高考指数: :内内 容容要要 求求A AB BC C曲线与方程曲线与方程 1.1.曲线与方程曲线与方程假设曲线假设曲线C C上点的坐标上点的坐标(x,y)(x,y)都是方程都是方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解,且以方程的解,且以方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解的解(x,y)(x,y)为坐标的点都在曲线为坐标的点都在曲线C C上,那么,方程上,那么,方程f(x,y)=0f(x,y)=0叫做叫做_,曲线,曲线C C叫做叫做_._.曲线曲线C C的方程的方程方程方程f(x,y)=0f(x,y)=0的曲线的曲线【即时运用】【即时运用】(1

2、)(1)思索:在方程的曲线与曲线的方程的定义中,假设只满足思索:在方程的曲线与曲线的方程的定义中,假设只满足“曲线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程是该曲曲线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程是该曲线的方程吗?线的方程吗?提示:不一定提示:不一定. . 由于假设由于假设“曲线上点的坐标都是这个方程的解曲线上点的坐标都是这个方程的解阐明这条曲线能够只是方程所表示曲线的一部分,而非整个阐明这条曲线能够只是方程所表示曲线的一部分,而非整个方程的曲线方程的曲线. .(2)(2)思索:在方程的曲线与曲线的方程的定义中,假设只满足思索:在方程的曲线与曲线的方程的定义中,假设只满足“以这个方程的

3、解为坐标的点都是曲线上的点,那么该曲线以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么该曲线是这个方程的曲线吗?是这个方程的曲线吗?提示:不一定提示:不一定. . 由于假设由于假设“以这个方程的解为坐标的点都是曲以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点阐明这个方程能够只是部分曲线的方程,而非整个线上的点阐明这个方程能够只是部分曲线的方程,而非整个曲线的方程曲线的方程. .(3)(3)方程方程x2+xy=xx2+xy=x所表示的曲线是所表示的曲线是_._.【解析】由于方程【解析】由于方程x2+xy=xx2+xy=x可化为:可化为:x(x+y-1)=0 x(x+y-1)=0,所以,所以x=0 x=0或或

4、x+y-1=0 x+y-1=0,它们表示两条直线,它们表示两条直线, ,因此方程因此方程x2+xy=xx2+xy=x表示的曲线为表示的曲线为两条直线两条直线. .答案:两条直线答案:两条直线2.2.求曲线方程的根本步骤求曲线方程的根本步骤建系建系设点设点列式列式化简化简证明证明建立适当的平面直角坐标系建立适当的平面直角坐标系轨迹上的恣意一点普通设为轨迹上的恣意一点普通设为P Px,yx,y列出或找出动点列出或找出动点P P满足的等式满足的等式将得到的等式转化为关于将得到的等式转化为关于x x、y y的方程的方程验证所求方程即为所求的轨迹方程验证所求方程即为所求的轨迹方程【即时运用】【即时运用】

5、(1)(1)知点知点A(-2,0)A(-2,0)、B(-3,0)B(-3,0),动点,动点P(x,y)P(x,y)满足满足那么点那么点P P的轨迹方程是的轨迹方程是_._.(2)(2)知知ABCABC的顶点的顶点B(0,0)B(0,0),C(5,0)C(5,0),ABAB边上的中线长边上的中线长|CD|=3,|CD|=3,那么顶点那么顶点A A的轨迹方程为的轨迹方程为_._.(3)(3)设动点设动点P P在直线在直线x=1x=1上,上,O O为坐标原点,以为坐标原点,以OPOP为直角边,为直角边,O O为为直角顶点作等腰直角三角形直角顶点作等腰直角三角形OPQOPQ,那么动点,那么动点Q Q的

6、轨迹是的轨迹是_._.2PA PBx1 ,【解析】【解析】(1)(1)由题意得由题意得 =(-2-x,-y), =(-2-x,-y), =(-3-x,-y) =(-3-x,-y),所以所以 =(-2-x,-y)(-3-x,-y), =(-2-x,-y)(-3-x,-y),又由于又由于 =x2+1, =x2+1,所以所以(-2-x,-y)(-3-x,-y)=x2+1,(-2-x,-y)(-3-x,-y)=x2+1,化简得:化简得:y2+5x+5=0.y2+5x+5=0.PA PBPA PB PA PB (2)(2)设点设点A(x,y)A(x,y),由于,由于B(0,0)B(0,0),所以所以AB

7、AB的中点的中点D D又又C(5,0),|CD|=3C(5,0),|CD|=3,所以所以化简得:化简得:(x-10)2+y2=36.(x-10)2+y2=36.又又ABCABC中的三点中的三点A A、B B、C C不能共线,不能共线,所以去掉点所以去掉点(4,0)(4,0)和和(16,0).(16,0).x y(,),2 222xy(5)(0)3,22(3)(3)由题意由题意, ,设点设点P(1,a),Q(x,y),P(1,a),Q(x,y),OPQOPQ为等腰直角三角形为等腰直角三角形, ,且且OPOP为直角边为直角边, ,即即(1,a)(x,y)=x+ay=0 (1,a)(x,y)=x+a

8、y=0 由由, ,得得:y2=1:y2=1,x2=a2,x2=a2,aR,y2=1,aR,y2=1,即即Q Q的轨迹为两条平行直线的轨迹为两条平行直线. .OP OQ0 ,222OPOQ1axy ,即答案:答案:(1)y2+5x+5=0(1)y2+5x+5=0(2)(x-10)2+y2=36(2)(x-10)2+y2=36(除去点除去点(4,0)(4,0)和和(16,0)(16,0)(3)(3)两条平行直线两条平行直线 直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程【方法点睛】【方法点睛】1.1.直接法直接法假设动点运动的轨迹简单明确,易于表示成含假设动点运动的轨迹简单明确,易于表示成含x x、y y的等式

9、,从的等式,从而得到轨迹方程,这种方法称之为直接法而得到轨迹方程,这种方法称之为直接法. .2.2.运用直接法时应留意的问题运用直接法时应留意的问题(1)(1)在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补上脱漏的点或删除多余的点,这是不能程的同解性,此时就要补上脱漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的忽视的. .(2)(2)假设方程的化简过程是恒等变形,那么最后的验证可以省略假设方程的化简过程是恒等变形,那么最后的验证可以省略. . 【例【例1 1】知直角坐标平面上的点】知直角坐标平面上的点Q(2,0)Q(2,0)

10、和圆和圆C C:x2+y2=1,x2+y2=1,动点动点M M到圆到圆C C的切线长与的切线长与|MQ|MQ|的比等于常数的比等于常数(0)0),求动点,求动点M M的轨的轨迹方程迹方程. .【解题指南】可设出动点【解题指南】可设出动点M M的坐标,根据动点的坐标,根据动点M M到圆到圆C C的切线长的切线长与与|MQ|MQ|的比等于常数的比等于常数(0)0)即可得出方程即可得出方程. .【规范解答】设直线【规范解答】设直线MNMN切圆切圆C C于于N N点,那么动点点,那么动点M M的集合为:的集合为:P=M|MN|=|MQ|P=M|MN|=|MQ|,由于圆,由于圆C C的半径的半径|CN|

11、=1,|CN|=1,所以所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1,设点设点M M的坐标为的坐标为M(x,y)M(x,y),那么,那么化简整理得:化简整理得:(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0).0).2222xy1x2y ,【互动探求】本例中的条件不变,求动点【互动探求】本例中的条件不变,求动点M M的轨迹的轨迹. .【解析】由例题解析可知:曲线的方程为:【解析】由例题解析可知:曲线的方程为:(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(2-1)(x2+y2)-42x

12、+1+42=0,由于由于0,0,所以当所以当=1=1时,方程化为时,方程化为4x-5=0,4x-5=0,它表示一条直线它表示一条直线; ;当当11时,方程化为:时,方程化为: 它表示圆心为它表示圆心为 半径为半径为 的圆的圆. .2222222213(x)y11 ,222(,0),1 221 3|1| 【反思【反思感悟】感悟】1.1.从标题的求解可以看出,求轨迹的方程,其关从标题的求解可以看出,求轨迹的方程,其关键是建立平面直角坐标系后寻觅等量关系,从而得出方程;键是建立平面直角坐标系后寻觅等量关系,从而得出方程;2.2.求解轨迹方程时,一定要留意检验,以防产生增根或漏解求解轨迹方程时,一定要

13、留意检验,以防产生增根或漏解. .【变式训练】在平面直角坐标系【变式训练】在平面直角坐标系xOyxOy中,点中,点B B与点与点A(-1A(-1,1)1)关于关于原点原点O O对称,对称,P P是动点,且直线是动点,且直线APAP与与BPBP的斜率之积等于的斜率之积等于 ,求,求动点动点P P的轨迹方程的轨迹方程. .【解析】由于点【解析】由于点B B与点与点A(-1A(-1,1)1)关于原点关于原点O O对称,所以点对称,所以点B B的坐的坐标为标为(1(1,-1)-1),设点设点P P的坐标为的坐标为(x,y)(x,y),由题意得由题意得化简得化简得x2+3y2=4(xx2+3y2=4(x

14、1)1),故动点故动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为x2+3y2=4(xx2+3y2=4(x1).1).13y 1 y11,x1 x13 【变式备选】知椭圆【变式备选】知椭圆C C的中心为直角坐标系的中心为直角坐标系xOyxOy的原点,焦点的原点,焦点在在x x轴上,它的一个顶点到两个焦点的间隔分别是轴上,它的一个顶点到两个焦点的间隔分别是7 7和和1.1.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程;的方程;(2)(2)假设假设P P为椭圆为椭圆C C上的动点,上的动点,M M为过点为过点P P且垂直于且垂直于x x轴的直线上的轴的直线上的点,点, 求点求点M M的轨迹方程,并阐明轨迹是什么曲线的轨

15、迹方程,并阐明轨迹是什么曲线. .OPOM ,【解析】【解析】(1)(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为设椭圆长半轴长及半焦距分别为a a、c c,由知得由知得 解得解得a a4 4,c c3 3,所以椭圆,所以椭圆C C的方程为的方程为ac1,ac722xy1.167(2)(2)设设M(xM(x,y)y),其中,其中xx4,4.4,4.由知由知 及点及点P P在椭圆在椭圆C C上可得上可得整理得整理得(162(1629)x29)x2162y2162y2112112,其中,其中xx4,4.4,4. 时,化简得时,化简得9y2=112.9y2=112.所以点所以点M M的轨迹方程为的轨迹方程为y

16、y ( (4x4)4x4),轨迹是两条平行于,轨迹是两条平行于x x轴的线段轴的线段. .222OPOM 22229x112,16 xy 344 73 时,方程变形为时,方程变形为其中其中xx4,44,4;当当0 0 时,点时,点M M的轨迹为中心在原点、实轴在的轨迹为中心在原点、实轴在y y轴上的双轴上的双曲线满足曲线满足4x44x4的部分;的部分;当当 1 1时,点时,点M M的轨迹为中心在原点、长轴在的轨迹为中心在原点、长轴在x x轴上的椭轴上的椭圆满足圆满足4x44x4的部分;的部分;当当11时,点时,点M M的轨迹为中心在原点、长轴在的轨迹为中心在原点、长轴在x x轴上的椭圆满轴上的

17、椭圆满足足-4x4-4x4的部分的部分. .342222xy111211216916 ,3434 定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程【方法点睛】【方法点睛】定义法定义法求轨迹方程时,假设动点与定点、定线间的等量关系满足圆、求轨迹方程时,假设动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,那么可直接根据定义先确定轨椭圆、双曲线、抛物线的定义,那么可直接根据定义先确定轨迹类型,再写出其方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法,迹类型,再写出其方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法,其关键是了解解析几何中有关曲线的定义其关键是了解解析几何中有关曲线的定义. .【提示】利用定义法求轨迹方程时,

18、还要看所求轨迹能否是完【提示】利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹能否是完好的圆、椭圆、双曲线、抛物线,假设不是完好的曲线,那么好的圆、椭圆、双曲线、抛物线,假设不是完好的曲线,那么应对其中的变量应对其中的变量x x或或y y进展限制进展限制. . 【例【例2 2】知动圆】知动圆P P与圆与圆C1:(x+5)2+y2=9C1:(x+5)2+y2=9和圆和圆C2:(x-5)2+y2=1C2:(x-5)2+y2=1都外都外切,求动圆圆心切,求动圆圆心P P的轨迹方程的轨迹方程. .【解题指南】设动圆【解题指南】设动圆P P的半径为的半径为r,r,由动圆由动圆P P与圆与圆C1C1、圆、圆C2C2

19、均外切均外切得出得出|C1P|=r+3|C1P|=r+3,|C2P|=r+1|C2P|=r+1,由此得到,由此得到|C1P|-|C2P|=2|C1P|-|C2P|=2,由双,由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程. .【规范解答】设动圆圆心【规范解答】设动圆圆心P P的坐标为的坐标为P(x,y)P(x,y),半径为,半径为r r,由于动圆由于动圆P P与圆与圆C1C1外切,所以外切,所以|C1P|=r+3|C1P|=r+3,又动圆又动圆P P与圆与圆C2C2外切,所以外切,所以|C2P|=r+1|C2P|=r+1,因此因此|C1P|-|C2P|=2|C1P

20、|-|C2P|=2,由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一,由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一支支( (右支右支).).由圆由圆C1:(x+5)2+y2=9C1:(x+5)2+y2=9和圆和圆C2:(x-5)2+y2=1C2:(x-5)2+y2=1可知:可知:C1(-5,0)C1(-5,0)、C2(5,0)C2(5,0),所以双曲线的实轴长为,所以双曲线的实轴长为2 2,焦距为,焦距为1010,所以所求轨迹,所以所求轨迹方程为方程为 (x1). (x1).22yx124【互动探求】在本例中:【互动探求】在本例中:假设动圆假设动圆P P与圆与圆C2C2内切,与圆内切,与圆C1C1外切,那么动圆圆

21、心外切,那么动圆圆心P P的轨的轨迹是什么?迹是什么?假设动圆假设动圆P P与圆与圆C1C1内切,与圆内切,与圆C2C2外切,那么动圆圆心外切,那么动圆圆心P P的轨的轨迹是什么?迹是什么?【解析】由于动圆【解析】由于动圆P P与圆与圆C1C1外切,所以外切,所以|C1P|=r+3|C1P|=r+3,又动圆,又动圆P P与圆与圆C2C2内切,所以内切,所以|C2P|=r-1|C2P|=r-1;因此因此|C1P|-|C2P|=4|C1P|-|C2P|=4,由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的,由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的右支右支. .由于动圆由于动圆P P与圆与圆C2C2外切,所以外切,所以

22、|C2P|=r+1|C2P|=r+1,又动圆,又动圆P P与圆与圆C1C1内内切,所以切,所以|C1P|=r-3|C1P|=r-3,因此因此|C1P|-|C2P|=-4|C1P|-|C2P|=-4,由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的,由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的左支左支. .【反思【反思感悟】感悟】1.1.本例是求轨迹方程,它的特点是利用题设条本例是求轨迹方程,它的特点是利用题设条件,找到符合某种曲线的定义,即得出点的轨迹,进而求出轨件,找到符合某种曲线的定义,即得出点的轨迹,进而求出轨迹方程;迹方程;2.2.利用定义求轨迹或轨迹方程时,一定要留意曲线定义的内涵利用定义求轨迹或轨迹方程时

23、,一定要留意曲线定义的内涵及外延,有一点不符合定义就有能够得出另外的结论及外延,有一点不符合定义就有能够得出另外的结论. .【变式训练】知【变式训练】知A(- ,0)A(- ,0),B B是圆是圆F F:(x- )2+y2=4(F(x- )2+y2=4(F为圆心为圆心) )上一动点,线段上一动点,线段ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交BFBF于点于点P P,求动点,求动点P P的轨迹方的轨迹方程程. .1212【解析】如图,衔接【解析】如图,衔接PA.PA.依题意可知依题意可知|PA|=|PB|PA|=|PB|,|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2,|PA|+|PF|=|PB

24、|+|PF|=|BF|=2,PP点轨迹为以点轨迹为以A(- ,0),F( ,0)A(- ,0),F( ,0)为焦点,长半轴长为为焦点,长半轴长为1 1的椭圆的椭圆. .其方程可设为其方程可设为又又故故P P点的轨迹方程为点的轨迹方程为1212222xy1.1b22213c,a1,bac.24 224xy1.3【变式备选】如下图,知点【变式备选】如下图,知点C C的坐标的坐标是是(2(2,2)2),过点,过点C C的直线的直线CACA与与x x轴交于点轴交于点A,A,过点过点C C且与直线且与直线CACA垂直的直线垂直的直线CBCB与与y y轴交于轴交于点点B.B.设点设点M M是线段是线段AB

25、AB的中点,求点的中点,求点M M的轨迹的轨迹方程方程. .【解题指南】寻求动点【解题指南】寻求动点M M满足的几何条件,利用直接法或定义满足的几何条件,利用直接法或定义法;也可设出参数表示出点法;也可设出参数表示出点A A、B B的坐标,利用中点坐标公式得的坐标,利用中点坐标公式得M M的坐标再消参的坐标再消参. .【解析】方法一【解析】方法一( (直接法直接法) ):设:设M(xM(x,y)y),依题意,依题意A A点坐标为点坐标为(2x,0),B(2x,0),B点坐标为点坐标为(0(0,2y).2y).依题意知,依题意知,O O,A A,C C,B B四点共圆,故四点共圆,故|MA|=|

26、MC|MA|=|MC|,化简得化简得x+y-2=0.x+y-2=0.方法二方法二( (定义法定义法) ):依题意知,:依题意知,O O,A A,C C,B B四点共圆,故四点共圆,故|MA|=|MC|=|MO|,|MA|=|MC|=|MO|,即即:|MC|=|MO|,:|MC|=|MO|,所以动点所以动点M M的轨迹是线段的轨迹是线段OCOC的中垂线,的中垂线,故由点斜式方程得到:故由点斜式方程得到:x+y-2=0.x+y-2=0.2222x2xyx2y2,方法三方法三( (参数法参数法) ):设点设点M M的坐标为的坐标为(x,y).(x,y).假设直线假设直线CACA与与x x轴垂直轴垂直

27、, ,那么可得到那么可得到M M的坐标为的坐标为(1,1).(1,1).假设直线假设直线CACA不与不与x x轴垂直轴垂直, ,设直线设直线CACA的斜率为的斜率为k,k,那么那么直线直线CBCB的斜率为的斜率为故直线故直线CACA方程为方程为y=k(x-2)+2,y=k(x-2)+2,令令y=0y=0得得 那么那么A A点坐标为点坐标为(2- ,0)(2- ,0)直线直线CBCB的方程为的方程为y= (x-2)+2,y= (x-2)+2,令令x=0,x=0,得得y=2+ y=2+ ,1,k2x2,k2k1k2k那么那么B B点坐标为点坐标为(0,2+ ),(0,2+ ),由中点坐标公式得由中

28、点坐标公式得M M点的坐标为点的坐标为消去参数消去参数k k得到得到x+y-2=0 (x1),x+y-2=0 (x1),又点又点M(1M(1,1)1)在直线在直线x+y-2=0 x+y-2=0上,上,综上所述,所求轨迹方程为综上所述,所求轨迹方程为x+y-2=0.x+y-2=0.2k2201kx12k2201ky12k 相关点相关点( (代入代入) )法求轨迹方程法求轨迹方程【方法点睛】【方法点睛】相关点相关点( (代入代入) )法法动点所满足的条件不易得出或转化为等式,但构成轨迹的动点动点所满足的条件不易得出或转化为等式,但构成轨迹的动点P(x,y)P(x,y)却随另一动点却随另一动点Q(x

29、,y)Q(x,y)的运动而有规律地运动,而且的运动而有规律地运动,而且动点动点Q Q的轨迹方程为给定的或容易求得的,那么可先将的轨迹方程为给定的或容易求得的,那么可先将xx、yy表示成表示成x x、y y的式子,再代入的式子,再代入Q Q的轨迹方程,整理化简即得动的轨迹方程,整理化简即得动点点P P的轨迹方程的轨迹方程. .【提示】用代入法求轨迹方程是将【提示】用代入法求轨迹方程是将xx、yy表示成表示成x x、y y的式子,的式子,同时留意同时留意xx、yy的限制条件的限制条件. . 【例【例3 3】设】设F(1,0)F(1,0),点,点M M在在x x轴上,点轴上,点P P在在y y轴上,

30、且轴上,且 当点当点P P在在y y轴上运动时,求点轴上运动时,求点N N的轨迹方程的轨迹方程. .【解题指南】设点【解题指南】设点N N,M M,P P的坐标分别为的坐标分别为N(x,y)N(x,y),M(x,0)M(x,0),P(0,y),P(0,y),可由知条件得出可由知条件得出xx、yy与与x x、y y之间的关系,同时之间的关系,同时得到得到xx、yy满足的方程,用代入法即可求出轨迹方程满足的方程,用代入法即可求出轨迹方程. .MN2MP ,PMPF,【规范解答】设【规范解答】设M(x,0),P(0,y)M(x,0),P(0,y),N(x,y),N(x,y),由由 得得(x-x,y)

31、=2(-x,y),(x-x,y)=2(-x,y),所以所以又由于又由于 =(x,-y) =(x,-y), =(1,-y), =(1,-y),所以所以(x,-y)(1,-y)=0,(x,-y)(1,-y)=0,即即x+y2=0,x+y2=0,所以所以-x+ =0-x+ =0,即,即y2=4x.y2=4x.因此所求的轨迹方程为因此所求的轨迹方程为y2=4x.y2=4x.MN2MP ,xxxx2yx y2yy2 解得,PMPF, PMPF2y( )2【反思【反思感悟】感悟】1.1.解答此题的关键是从知条件中发现解答此题的关键是从知条件中发现xx、yy之间的关系式及之间的关系式及xx、yy与与x x、y y之间的关系;之间的关系;2.2.用代入法求轨迹方程,关键是发现相关点的轨迹方程,同时用代入法求轨迹方程,关键是发现相关点的轨迹方程,同时要留意验证应该删除的点或脱漏的点,以防增解或漏解要留意验证应该删除的点或脱漏的点,以防增解或漏解. .【变式训练】设线段【变式训练】设线段ABAB的两个端点的两个端点A A、B B分别在分别在x x轴、轴、y y轴上滑动,轴上滑动,且且|AB|=5|AB|=5, 求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程. .32OMOAOB55 ,【解析】设【解析】设M(x,y)M

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