微积分试卷及答案6套.

1、微积分试题 (A卷)一 .填空题 (每空 2分,共20分)1.已知 limf ( x)A,则对于0，总存在 >0，使得当x 1时，恒有 ?(x) A< 。2.已知 liman2bn 52 ，则 a =，b3n2n=。3.若当 xx0 时，与是等价无穷小量，则lim。x x04.若 f (x)在点 x = a处连续，则 lim f ( x)。xa5.f ( x)ln(arcsin x) 的连续区间是。6.设函数 y =?(x)在 x0 点可导，则f ( x03h) f ( x0 )limh_。h 07.曲线 y = x2 2x 5 上点 M 处的切线斜率为6，则点 M 的坐标为。8.

2、d ( xf ( x)dx)。9.设总收益函数和总成本函数分别为R24Q2Q2， C Q25 ，则当利润最大时产量 Q 是。二 .单项选择题 (每小题 2分,共 18 分)1.若数列 xn 在 a 的 邻域（ a-, a+ ）内有无穷多个点，则（）。(A) 数列 xn 必有极限，但不一定等于a(B) 数列 xn 极限存在，且一定等于 a(C) 数列 xn 的极限不一定存在(D) 数列 xn 的极限一定不存在2. 设 f ( x)arctg11 为函数 f ( x ) 的（）。则 xx1(A)可去间断点(B) 跳跃间断点(C) 无穷型间断点(D) 连续点3.lim (11 )3 x 1（）。xx

3、(A) 1(B)(C)e2(D) e3pp4.对需求函数 Qe5 ，需求价格弹性 Ed。当价格 p （）时，5需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。(A) 3(B) 5(C) 6(D) 105.假设 lim f ( x)0,lim g(x) 0； f ( x), g ( x) 在点 x0 的某邻域内 ( x0可以除外 ) 存xx0x x0在，又 a 是常数，则下列结论正确的是（(A)若 lim f ( x)a 或，则 lim f (x)x x0 g( x)x x0 g (x)(B)f (x)a 或f (x)若 lim，则 limxx0 g ( x)xx0 g (x)）。a 或a 或(C)若 li

4、mf ( x) 不存在，则lim f ( x) 不存在xx0 g ( x)xx0 g( x)(D) 以上都不对6.曲线 f ( x)x3ax2bxa 2 的拐点个数是（） 。(A)0(B)1(C) 2(D) 37.曲线 y4x1（）。( x2) 2(A)只有水平渐近线；(B) 只有垂直渐近线；(C)没有渐近线；(D) 既有水平渐近线，y又有垂直渐近线xo8.假设 f ( x) 连续，其导函数图形如右图所示，则f ( x) 具有 ()(A) 两个极大值一个极小值(B)两个极小值一个极大值(C) 两个极大值两个极小值(D)三个极大值一个极小值9.若 ?(x)的导函数是 x 2 ，则 ?(x)有一个

5、原函数为() 。(A) ln x ；(B)ln x；(C)x 1；(D) x 3三 计算题 ( 共 36 分)1 x1 x1 求极限 lim（6 分）x 0x12 求极限 lim (ln x) x（6 分）xsin 2xx0x3 设 f (x)x0 ，求 a ,b 的值，使 f (x) 在 (-a， + ) 上连续。 (61bx0xsinx分 )4 设 ex yxy1，求 y 及 y x 0 （ 6 分）5 求不定积分xe 2 x dx （ 6 分）6 求不定积分4x2 dx. （ 6 分）四利用导数知识列表分析函数y1(14 分)1 x2 的几何性质，求渐近线，并作图。五 设 f ( x)

6、在 0, 1上连续，在 ( 0, 1)内可导，且f (0) f (1) 0, f (1) 1，试证：1, 1)2(1) 至少存在一点，使f ( )；( 2(2) 至少存在一点(0, ) ，使 f ( ) 1；(3)对任意实数，必存在 x0(0,) ，使得 f ( x0 ) f (x0 )x0 1。 (12 分)微积分试题 (B 卷)一 .填空题 ( 每空 3分,共18分 )b10.f x b dxa.11.e 2x dx.012. 关于级数有如下结论： 若级数un un0n 1 若级数un un0n 1收敛，则1 发散.n 1 u n发散，则1 收敛.n 1 u n 若级数un 和vn 都发散

7、，则(un vn ) 必发散 .n 1n 1n 1 若级数un 收敛，vn 发散，则(un vn ) 必发散 .n 1n 1n 1 级数kun （ k为任意常数）与级数un 的敛散性相同 .n1n 1写出正确结论的序号.13. 设二元函数 z xex y( x 1) ln 1 y ，则dz (1, 0 ).14. 若 D 是由 x 轴、 y 轴及 2x + y 2 = 0 围成的区域，则dxdy.D15. 微分方程 xyy0满足初始条件y(1)3 的特解是.二 .单项选择题 (每小题 3分,共 24分 )设函数 f ( x)x1)(t2)dt ，则 f ( x) 在区间 -310.(t， 2

8、上的最大值为（） .0(A)2(B)10(C)1(D)43311.设 I1cosx 2y 2 d, I 2cos(x2y2 )d ,I 3cos(x2y 2 ) 2d，其中DDDD ( x, y) x 2y 21 ，则有（） .(A) I1I2I3(B)I3I2I1(C)I2I1I3(D)I3I1I212. 设 un0, n 1,2,3 ，若un 发散，( 1) n 1 un 收敛，则下列结论正确的是 ().n 1n 1(A)u2n 1收敛，u2n 发散(B)u2 n 收敛，u2 n 1 发散n 1n 1n1n1(C)(u2 n1u2n ) 收敛(D)(u2n1u2 n ) 收敛n 1n113

9、.函数 f ( x, y) 在点 P( x, y) 的某一邻域内有连续的偏导数，是 f ( x, y) 在该点可微的 ( )条件 .(A)充分非必要（ B）必要非充分（ C）充分必要（ D）既非充分又非必要14.下列微分方程中，不属于一阶线性微分方程的为（） .(A)xyyxcos ln x(B)xy ln xy3x(ln x1) ，ln x(C)(2 yx) yy2x(D)( x21) yxy2015.设级数an绝对收敛，则级数(11 ) n an（）.n 1n 1n(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)不能判定敛散性散16.设 F (x)x2esin t sin tdt ，则 F (

10、x)（） .x(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数17.设 uf ( xy, yz, tz) ，则uuuu（） .xyzt(A)2 f 1(B)2 f 2(C)2 f 3(D) 0四 .计算下列各题 ( 共 52 分)1.2cos xcos3x dx （ 5分）22. 求曲线22x,y0,x1,x3 所围成的平面图形的面积.y x（6分）3.已知二重积分x2 d ，其中 D 由 y 11 x 2 , x 1以及 y0围成 .D()请画出 D 的图形，并在极坐标系下将二重积分化为累次积分；（3 分）( )请在直角坐标系下分别用两种积分次序将二重积分化为二次积分；（4 分）( )

11、选择一种积分次序计算出二重积分的值.（4分）4. 设函数 uf x, y, z 有连续偏导数， 且 zx, y 是由方程 xezyeyzez 所确定的二元函数，求u ,u 及 du . （ 8 分）xy5. 求幂级数(1) n x2 nS(x). （ 8 分）2n的收敛域及和函数n 16.求二元函数f ( x, y)( x 2y)e2 y 的极值 . （ 8 分）7.求微分方程y 2 ye 2 x 的通解，及满足初始条件f (0) 1, f (0) 0 的特解 .(6分 )五 .假设函数f (x) 在 a, b 上连续 ,在 ( a, b) 内可导，且f (x) 0 ，记F ( x)1x0.（

12、6分）xf (t ) dt ，证明在 ( a, b) 内 F (x)a a微积分试卷(C)一 .填空题 ( 每空 2分,共20分)1.数列 xn 有界是数列 xn 收敛的条件。2.若y sin x2，则dy。3.函 数 yx类间断点，且为t, x 0 是 第a nx间断点。4.若 lim axb3 ，则 a =， b =。x 1 x15. 在 积 分 曲 线 族 2 xdx 中 ， 过 点 （ 0 ， 1 ） 的 曲 线 方 程是。6.函 数 f ( x)x 在 区 间 1,1上罗尔定理不成立的原因是。xe t dt ，则 F (x)7.已知 F (x)。08.某商品的需求函数为 Q 12P6

13、 时的需求价格弹性为， 则 当 p =2EQ。EP二.单项选择题( 每小题 2分, 共 12 分)1.若 lim3，则 lim（）。xx0x x0(A) 2(B)0(C)123(D)32.在 x1处连续但不可导的函数是（）。(A)y1(B) y x1(C) y ln( x21)x 1(D) y(x1) 23. 在区间（ - 1，1）内，关于函数 (A)f ( x)1 x2 连不正确的叙述为 （）。续(B) 有界(C) 有最大值，且有最小值(D) 有最大值，但无最小值4. 当x0 时，sin 2x是关于x 的（）。(A)同阶无穷小(B)低阶无穷小(C) 高阶无穷小(D) 等价无穷小55. 曲线

14、yx x3在区间（）内是凹弧。(A) (, 0)(B) (0,)(C)( ,)(D) 以上都不对x6. 函数 e 与 ex满足关系式（）。(A)exex(B)exex(C)exex(D) ex ex三计算题 ( 每小题 7 分, 共 42 分)x1求极限 lim x(e1) 。x 0 1 cos x2 求极限 lim 2nsinxn （ x 为不等于0 的常数）。n23 求极限 lim 12xx。x x4 已知 y 1xey ，求 y x 0 及 y x 0 。5 求不定积分sinxdx 。x6 求不定积分xln(x dx。1)四已知函数yx1分)x2，填表并描绘函数图形。 (14定义域yy单

15、调增区间单调减区间极值点极值凹区间凸区间拐 点渐近线图形 ：五证明题 ( 每小题 6 分, 共 12 分)1.设偶函数f ( x) 具有连续的二阶导函数，且f ( x)0 。证明： x0为 f ( x) 的极值点。2.就 k 的不同取值情况，确定方程xsin xk 在开区间（ 0,）内根的个数，并证明你22的结论。微积分试卷（ D卷）一、单项选择题 （本题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）：1. 函数 f ( x, y) 在 x, yx0 , y0 处的偏导数存在是在该处可微的（）条件。A.充分；B.必要；C. 充分必要；D. 无关的2. 函数ln x3y311z）处的全微分 dz（）。

16、在（ ，A dxdy ； B2 dxdy ；C3 dxdy ；D 3 dxdy 23. 设 D为： x2y 2R2 ，二重积分的值x2y 2 dxdy =（）。DA R2；B2 R2；C2 R3；D1 R4324. 微分方程 y4 y 5 ye xsin x 的特解形式为 ()。Aae xbsin x ；Bae xbcosxc sin x ；Caxe xbsin x ；Daxe xbcosx csin x 5. 下列级数中收敛的是（）。A(1)n；B1；C2n；Dsin 1 n 1nn 1 2n 1n 1 n2n 1n二、填空题 （本题共5 小题，每小题3 分，共 15 分）：1x2 arcs

17、in xdx。1.1 1 x22.f ( x)0x (t1)(t2)dt ，则在区间 -2， 3 上 f ( x) 在 x（ -1）处取得最大值。3.已知函数y(z=， z =。zxx) ，则0yx4.微分方程y '4x3 y 在初始条件y x 0 4 下的特解是 : y =。n105.幂级数n xn1的收敛半径是： R =。n 1 10三、计算下列各题（本题共5 小题，每小题8 分，共 40 分）：1. 已知 zf ( xy, xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求2 z 。x y2.已知 xlnz ，求z ， z 。zyxy223.改换二次积分dxsin y2 dy 的积分次序

18、并且计算该积分。0x4. 求微分方程y4 y3y0 在初始条件y x 06 ， y ' x 010 下的特解。5. 曲线C 的方程为 yf ( x) ，点 (3,2)是其一拐点，直线l1 , l2 分别是曲线 C 在点 (0,0) 与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)，设函数f ( x ) 具 有 三 阶 导 数 ， 计 算3x) f ( x)dx 。( x20四、 求幂级数( 1)n x2 n的和函数 s( x) 及其极值 （ 10 分）。n 12n五、解下列应用题（本题共2 小题，每小题 10 分，共 20 分）：311. 某企业生产某产品的产量Q x, y 100x 4y 4

19、 ，其中 x 为劳动力人数， y 为设备台数，该企业投入5000 万元生产该产品，设招聘一个劳动力需要15 万元，购买一台设备需要 25 万元，问该企业应招聘几个劳动力和购买几台设备时，使得产量达到最高？2. 已知某商品的需求量Q对价格P 的弹性2P2 ，而市场对该商品的最大需求量为10000件，即 Q (0)=10000,求需求函数Q ( P) 。微积分试卷（ E 卷）一、单项选择题（每小题3 分，共 18 分）1.设函数 fxx2 ;x11处可导，则（）ax b; x在 x1A. a0, b1B.a2, b1C. a3,b2D. a1,b 22.已知 fx在 x0 的某邻域内连续，且f0f

20、x，则在 x0 处0,lim2x0 1 cos xf x满足（）A. 不可导B. 可导C. 取极大值D.取极小值3.若广义积分dxk收敛，则（）2xln xA.k1B.k1C.k1D.k 114.limex1()x1A 0B.C.不存在D.以上都不对5.当 x0 时，1cos x 是关于 x2 的（） .A同阶无穷小 .B低阶无穷小 .C高阶无穷小 .D 等价无穷小 .6.函数 f ( x) 具有下列特征：f (0) 1,f (0)0 ，当 x0 时， f0, x0(x) 0, f ( x)00, x则 f ( x) 的图形为（）。yyyy1111oxoxoxox(A)(B)(C)(D)二、填

21、空（每小题3 分，共 18 分）sin x1.limx。x2.1x2 dx1。13. 已知 ff (x0 h)f (x0h)( x0 ) 存在，则 limh。h04设 yln( x1) ，那么 y (n ) ( x)。d0t25 dxx2 edt。6某商品的需求函数Q75 P2 ，则在 P 4 时，需求价格弹性为P 4，收入对价格的弹性是ER。EPP 4三、计算（前四小题每题5 分，后四小题每题6共44分）xarctantdt10limxx211x2 x2 limxxe3 x ln xdx14dxx6 )x(1yxy x 的导数 dy .5求由et dtcostdt 0 所决定的隐函数 y00

22、dxsin x6已知是 f ( x) 的原函数，求xf (x)dx 。7求由曲线yx3 与 x1, y0 所围成的平面图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积。8求曲线 yx2 与直线 ykx1所围平面图形的面积，问k 为何时，该面积最小？四、(A 类12 分)列表分析函数x2y函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出1x函数图形。解： (1)函数的定义域 D: (,1) (1,) ，无对称性；(2) yx 22x0 , 得 x12, x20x) 2(1(2x2)(1x) 22( x22x)(1x)2y1x 4(1 x) 3(3) 列表：x(- ，-2)- 2（- 2，- 1）（ - 1，0）0(

23、 0,+)y'00y"y, 极大值 -4 , , 极小值 0 ,y(4) 垂直渐近线： x1；斜渐近线： y x 1(5) 绘图，描几个点( 2, 4), (0,0), (1, 1 ), (2, 4)23ox(B 类 12 分 )列表分析函数yln(1x 2 ) 函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。解： 函数定义域 D:(-， + ) ，偶函数关于Y 轴对称； y2x0 , 得 x0x212(1 x 2 )2x 2x2(1x)(1 x)0 ,得 x11 , x 2 1yx 22(1x 2 ) 21 列表： ( 只讨论（ 0,+ ）部分 )yx0(0,1)1(1

24、,+ )y'0y"0y极小值,拐点 ,xo极小值 f (0) = 0 ；拐点（ 1,ln2） 该函数无渐近线； 绘图，描几个点： （ 0， 0），（ -1 ， ln2 ），（ 1， ln2 ）五、（B 类 8 分） 设 fx 连续，证明：xux00 f t dt du0 x u f u du证明：令F ( x)xuG( x)xu) f (u)du 只需证明 F ( x)G ( x) （ 3 分）0f (t )dt(x00F (x)xf (t )dt0G( x)xf (u)duxxuf (u)du00G ( x)xxf ( x)x0f (u)du xf (x)f (u)du0所

25、以 F (x)G (x)（8 分）（ A 类 8 分）设 f ( x) 在 a, b上连续在 (a ,b) 内可导且 f (x) 0F ( x)1x(a, b)xaf (t)dt , xa试证（ 1） F ( x) 在 (a ,b)内单调递减(2) 0F (x)f ( x)f (a)f (b)证（ 1）( x a) f (x)xf (t)dtF ( x)a( xa)2积分中值定理 (xa)f(x)f()(x a)（ a,x）(xa)2f(x)f()xa由 f ( x)0 知 f (x) 单调减 ,即在 ( a ,b)内当x 时有 f ( x)f( ) 又 (x a)0 可得F ( x)0 .即

26、 F (x) 在 (a ,b)内单调减 .( 2) 因 F ( x) f (x)1xf (t )dt f ( x)x a a积分中值定理 f(） f(x) 0又由 f ( x) 单调减知 , f(a)f ( )f(x)f(b) 于是有0F(x)f(x)f(a)f(b)微积分试卷（ F 卷）一、单项选择题（每小题3 分，共 18 分）1.设函数 fxx2 ;x11 处可导，则（axb; x在 x）1A.a0, b1B.a2, b1C. a3, b2D. a1,b22.当 x0 时，1cos x 是关于 x2 的（） .A同阶无穷小 .B低阶无穷小 .C高阶无穷小 .D等价无穷小 .3.若广义积分dx收敛