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文档简介

1、 數論與代數實作 左太政 /國立高雄師範大學數學系 一、數論1.三角形數是形如的數，試證：必有無窮多個三角形數是整數的完全平方數。2.設,試證：必有無窮多個使得不是質數。3.n is perfect if the sum of the divisors of n is 2n. Suppose now n is an odd perfect number, show that n has at least 3 distinct prime factors.4.試求滿足的所有正整數。（Ans: =（2,2,2）5.試證：必有一個無窮正整數數列,使得 是一個整數的完全平方數，對於所有正整數均成立；並

2、求此數列的遞迴關係式。（Australian 2004,p.11, ）6.已知一數列滿足：試證：若為 的質因數，則亦是 的質因數。（Iran 2002-2003 p.2）7.Find all permutations of with the following property for every ：。（Iran 2002-2003 p.1）8.Find all real polynomials such that： implies that 。（Iran 2002-2003 p.3）9.試證：必不能表為三個正整數之完全平方數的和。並直接求出 的所有解。(初等數論: p.275)10.已知質數

3、,試證：不定方程式有解的必要條件為必為 之形式。二、代數Theorem 1: （Power Mean Inequality）Let be positive real numbers and be real numbers such that . Then. Equality holds if and only if , where.Theorem 2: （Maclaurins Symmetric Mean Inequality）Let be positive real numbers. We define to be the average of all products of of the

4、s, i.e. , ,. Then . Equality holds if and only if .練習題:1.設 為正實數，試證：。2.設為正實數，如果,試證：.3.設為相異正整數，試證：.4.設 為正實數，試證：.5.已知正實數 滿足，試證：。6.已知正實數 滿足，試證：。7.已知一三角形之三邊長分別為,試證：。8.設 為正實數，試證：。9.設 為正實數，試證：。10.設 為正實數，試證：。11.Let be the lengths of the sides of a triangle. Prove that and determine when equality holds.12.Let be a triangle and an interior point of

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