第一章1.11.1.21.1.3学习精品

1、四种命题四种命题间的相互关系目标定位1. 了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题.自主预习1. 四种命题的概念(1) 互逆命题：对丁两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个 命题叫做原命题的逆命题.(2) 互否命题：对丁两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题 .其中一个命题叫做原命题,另一个叫 做原命题的否命题.(3) 互为逆否命题：对丁两个命题，

2、其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题、另一个叫做原命题的逆否命题.2. 四种命题的真假性的判断原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.即时自测1. 思考题(1) 如何写出一个命题的否命题？提示：把条件和结论都进行否定.(2) 在四种命题中，真命题的个数可能为多少？提示：由丁互为逆否关系的命题同真同假，真命题可能有0个，2个或4个.2. 若x>y,则x2>y2的否命题是()A2222.右 x<y,贝 U x >yB.右 x>y，贝 U

3、x <yC.若 x<y,贝 U x2<y2D.若 x<y，贝U x2<y2解析 由四种命题的相互关系知否命题是：若x<y, 则 x2<y2.答案 C3. 命题 两条对角线相等的四边形是矩形”是命题 矩形是两条对角线相等的四边 形”的（）A. 逆命题B. 否命题C .逆否命题D .无关命题解析由四种命题的相互关系知应选 A.答案 A4. 若a+ g是有理数，则a是无理数”的逆否命题为是命题. （填真”或假”）解析a+寿是有理数，令a+寸5= b （b为有理数），则a= b-够（b为有理数），? a是无理数.?原命题与逆否命题均为真命题 .答案 若 a 不

4、是无理数，则 a+ 0 不是有理数 真 类型一四种命题的概念【例 1】 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： 实数的平方是非负数；若 x、y 都是奇数，贝 U x+ y 是偶数 .解（1）原命题是真命题 . 逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数. 真命题.否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数. 真命题.逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数. 真命题.（ 2）原命题是真命题 .逆命题：若 x+ y 是偶数，则 x、y 都是奇数，是假命题 . 否命题：若x、y不都是奇数，贝U x+ y不是偶数，是假命题. 逆否命题：若 x+ y 不是偶

5、数，则 x、 y 不都是奇数，是真命题 .规律方法 ( 1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题 .在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论.【训练 1】 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题 .(1) 如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2) 如果 x>10 ，那么 x>0;(3) 当 x= 2 时， x2 + x-6= 0. 解(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线 否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交

6、直线，那么直线不垂直于平面.逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线逆命题：如果x>0,那么x>10.否命题：如果 x< 10, 那么 x< 0. 逆否命题：如果 x< 0, 那么 xV 10.逆命题：如果x2 + X 6 = 0,那么x = 2. 否命题：如果xAZ那么x2 + x 6丈0. 逆否命题：如果x2 + x 6AQ那么xA2.类型二四种命题的关系【例 2下歹 U 命题： 若 xy= 1, 则 x、y 互为倒数”的逆命题； 四边相等的四边形是正方形”的否命题； 梯形不是平行四边形”的逆否命题； 若ac2>bc2,则a&

7、gt;b”的逆命题.其中是真命题的是 睇序号 ).解析 若 xy= 1, 则 x, y 互为倒数”的逆命题是 若 x, y 互为倒数，则 xy= 1 ”是, 真命题； 四边相等的四边形是正方形”的否命题是四边不都相等的四边形 不是正方形”，是真命题；梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命 题；若ac2>bc2,则a>的逆命题是 若a>b,则ac2>bc2”，是 假命题.所以真命题 是.答案规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它 们之间 的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握 .【训练 2有下列四个

8、命题： 若 x+ y= 0, 则 x, y 互为相反数”的否命题； 若a>b,则a2>b2”的逆否命题； 若 xv 3,则 x2-x 6>0”的否命题； 同位角相等”的逆命题 .其中真命题的个数是 .解析 若x+ yAQ则x, y不是相反数”，是真命题. 若 a2v b2,则 av b ”，取 a = 0, b = - 1, a 2v b2,但 a>b，故是假命题. 若 x> 3,则 x2-x-6<0”， 解不等式 x2x-6<0 可得一 2Wx<3, 而 x = 4> 一 3 不 是不等式的解，故是假命题 . 相等的角是同位角”是假命题

9、.答案 1类型三等价命题的应用 (互动探究 )【例 3】判断命题 巴知 a, x 为实数，若关丁 x 的不等式 x2+(2a+ 1)x+ a 2 + 2<0 的解 集不是空集，则a?1”的逆否命题的真假.思路探究探. 究点二一原命题和其逆否命题的真假性有何关系？ 提示：原命题和其逆否命题同真同假 .探究点二. 关丁 x 的不等式 x2+ (2a+ 1)x+ a 2 + 2< 0 的解集不是空集，应该满足 什么条件？解集是空集呢?提示：A> 0时，解集不是空集；*0时，解集是空集.解法一原命题的逆否命题：已知a, x为实数，若a<1,则关丁 x的不等式x2+(2a+ 1)

10、x+ a 2 + 2<0的解集为 空集.真假判断如下：抛物线y= x2 + (2a+ 1)x+ a 2 + 2开口向上，判别式 = (2a + 1)2 4(a2 + 2) = 4a 7,若 a<1,则 4a 7<0.即抛物线y= x2+ (2a + 1)x+ a 2 + 2与x轴无交点.所以关丁 x的不等式x2+(2a+ 1)x+ a 2 + 2< 0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.法二先判断原命题的真假.因为a, x为实数，且关丁 x的不等式x2+(2a+ 1)x+ a 2 + 2<0的解集不是空集，所以 = (2a + 1)24(a2 + 2)>0

11、,即 4a 7> 0,所以a> 1.所以原命题成立.乂因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真规律方法 由丁原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的命题 具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.【训练3】 判断命题 若m>0,贝U方程x2+ 2x-3m= 0有实数根”的逆否命题的 真假.解 m>0,12m>0, . . 12m+ 4>0.方程 x2 + 2x 3m= 0 的判别式 = 12m+ 4>0.原命题 若m>0,贝U方程x2 + 2x- 3m=

12、 0有实数根”为真.乂因原命题与它的逆否命题等价，所以若m>0,则方程x2 + 2x- 3m= 0有实数 根”的逆否命题也为真课堂小结1. 写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件 p 和结论 q；2)写出条件 p 的否定 p 和结论 q 的否定q；3)按照四种命题的结构写出所有命题 .2.每一个命题都有条件和结论组成，要分活条件和结论3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础 .1. 命题若a?A,则b? B ”勺否命题是(A.若 a?A，贝 U b?B B.若 a? A, WJb?BC.若b? B, 则 a?AD.若b?B，贝 U

13、a?A解析命题若p,则q”勺否命题是若八p,则八q”，与?”互为否定形式 .答案2. 命题 若AAB = A,则AU B= B”的逆否命题是(A.若AU B= B, WJ AAB = AB.若AnB4 ，贝 U AU B 相C.若AU B 相， WJ AnB4D.若AU B 相， WJ AAB = A解析注意AnB = A”的否定是AnB*'.答案3. 命题'若平面向量 a , b 共线，贝 U a , b 方向相同”的逆否命题是它是命题(填真”或假”)答案 若平面向量 a, b 的方向不相同，贝 U a, b 不共线 假4. 写出命题 当 x= 2 时， x2 3x+ 2 =

14、 0 的”逆命题、否命题、逆否命题，并判断它 们 的真假.解原命题：若 x= 2, 则 x2 3x+ 2 = 0, 真命题 .逆命题：若 x2 3x+ 2= 0, 则 x= 2, 假命题 .否命题：若xAZ则x2 3x+ 2AQ假命题.逆否命题：若x2 3x+ 2AQ则xAZ真命题.基础过关1.命题是（A.若 x2> 1,贝 U x> 1 或 xv 1命题 若 x2<1 ，则一 1<x<1 ”的逆否)C. 若 x>1 或 x< 1,贝 U x2>1D. 若 x> 1 或 xv 1, 贝 U x2> 1B. 若一 1<x<1

15、，则 x2<1的否定是 x? 1 或 x< - 1,解析 x2<1 的否定是 x2> 1, - 1<x< 1逆否命题是若 x> 1 或 xv 1, 则 x >1".答案 D2. 命题 若f(x)是奇函数，WJ f( x)是奇函数”的否命题是()A. 若f(x)是偶函数，M f(-x)是偶函数B. 若f(x)不是奇函数，贝U f(- x)不是奇函数C. 若f(-x)是奇函数，WJ f(x)是奇函数D. 若f( x)不是奇函数，贝U f(x)不是奇函数解析否命题是既否定题设乂否定结论 .因此否命题应为若函数f(x)不是奇函数，则f(- x)

16、不是奇函数”.答案 B3. 命题若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析 原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为若 a>-6,则 a> 3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题.答案 B4. 若 x, y 全为零， M xy= 0 ”的否命题为 .解析 由于 全为零”的否定为 不全为零”，所以 若 x, y 全为零,则 xy= 0”的否 命题为若 x, y 不全为零，则 xyu 0 ” .答案若x, y不全为零，贝U xyAO5. 下列命题中： 若一个四边形的四条边不相等

17、，则它不是正方形； 正方形的四条边相等； 若一个四边形的四条边相等，则它是正方形 .其中互为逆命题的有 ; 互为否命题的有 ; 互为逆否命题的有国序号 ).答案和和和6. 已知命题p:若ac> 0,则二次方程ax2 + bx+ c= 0没有实根”.(1) 写出命题 p 的否命题；(2) 判断命题 p 的否命题的真假，并证明你的结论 .解(1)命题p的否命题为：若ac<0 ,则二次方程ax2 + bx+ c= 0有实根.”(2)命题 p 的否命题是真命题 .证明如下：ac<0,二一ac>0? = b24ac>0?二次方程 ax2 + bx+ c= 0 有实根.?该命

18、题是真命题 .判断它7. 写出命题巴知a, b ? R,若a2>b2,则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并 们的真假.解 逆命题：已知 a, b? R, 若 a>b, 则 a2>b2;否命题：已知a, b? R，若a2< b2,则a< b;逆否命题：已知 a, b? R, 若 a< b, 则 a2< b2. ?原命题是假命题，逆否命题也是假命题 .? 逆命题是假命题，否命题也是假命题 .8. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假 .(1) 等高的两个三角形是全等三角形；(2) 弦的垂直平分线平分弦所对的弧 .解(1)逆命题：若

19、两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题； 否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题； 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题.(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假 命题；否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线， 则这条直线不平分弦所对的弧，是假 命 题； 逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线， 是 真 命题.能力提升9. 有下列四个命题，其中真命题有： 若 x+ y= 0, 则 x、 y 互为相反数”的逆命题； 全等三角形的面积相等”的否命题； 若 q< 1,则 x2 + 2x+

20、 q = 0 有实根”的逆命题； 不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题 .其中真命题的序号为 ()AB.C.D.解析命题：若x、y互为相反数，则x+ y= 0是真命题；命题：可考虑其 逆命题 商积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题是假命题；命题 ：若x2+ 2x+ q = 0 有实根， M q< 1 ”是真命题；命题 是假命题 .答案 C10. 下列四个命题： 若xy= 0,则x= 0,且y= 0的逆否命题：JE方形是矩 形”的否命题； 若ac2>bc2,则a>b”的逆命题；若m>2,则不等式x2 2x+ m>0 . 其中真命题的个数为 ()A.0 B

21、.1 C.2 D.3解析 命题的逆否命题是 若xAQ或yH则xy冬0'；为假命题；命题的否命题是 若一个四边形不是正方形，则它不是矩形 ”，为假命题；命题的逆命题是 若a>b,则ac2>bc2”，为假命题；命题为真命题，当 m>2时，方程x2 2x+ m= 0的判别式A<0,对应二次函数 图象开口向上且与 x 轴无交点，所以函数值恒大于 0.答案 B11. 已知原命题 两个无理数的积仍是无理数 ”，贝 U： 逆命题是乘积为无理数的两数都是无理数”； 否命题是 两个不都是无理数的积也不是无理数”； 逆否命题是乘积不是无理数的两个数都不是无理数 ”；其中所有正确叙述

22、的序号是 .教育资源解析原命题的逆命题、否命题叙述正确 . 逆否命题应为乘积不是无理数的两个数不都是无理数” 答案12. 已知： A 表示点， a, b, c 表示直线， g 6 表示平面，给出下列命题： a±g b? a, 若 b/ a, 则 b±a ； aX % 若 aX p ，贝 U a/ 6 ； a? a, bAa= A, c 为 b 在 a 上的射影，若 aXc, 则 aXb; a±% 若 b II a, c II a, 贝 U a±b, c±b. 其中逆命题为真的是 ( 填序号 ).解析 的逆命题： a±a, 若 a±b, cLb, 则 bII a, c/ a ，”而 b, c 可以在 a 内，故不正确 . 答案13. 判断命题：若 b<- 1, 则关于 x 的方程 x2 2bx+ b 2+ b = 0 有实根”的逆否命 题的 真假.解 法一( 利用原命题 ) 因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为 卜4b2 4(b2 + b)= 4b,因为b< 1,所以 京4>0,故此方程 有两个 不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.法二( 利用逆否命题 ) 原命题的逆否命题为 若关于 x 的方程 x2-2b