空间立体几何建立直角坐标系

1、空间立体几何建立直角坐标系1. 2015 浙江如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，/ BAC= 90° AB=AC= 2, AiA= 4, Ai在底面ABC的射影为BC的中点，D是BiCi的中点。(1) 证明：AiD丄平面AiBC;(2) 求二面角Ai BD Bi的平面角的余弦值。解析：(i)证明：设E为BC的中点，连接AiE, AE, DE,由题意得AiE 丄平面ABC,所以AiE丄AE。因为AB = AC,所以AE丄BC。故AE丄平面AiBC。由D, E分别为BiCi, BC的中点，得DE / BiB且DE = BiB，从而DE / AiA且DE = AiA,所以AiAED

2、为平行四边形。故 AiD / AE。又因为AE丄平面AiBC,所以AiD丄平面AiBC。(2)方法一：作 AiF 丄 BD 且 AiF A BD = F，连接 BiF。由 AE= EB= 2,/ AiEA=Z AiEB= 90°得 AiB = AiA = 4。由 AiD = BiD, AiB= BiB, # AiDB » BiDB 全等。由AiF丄BD,得BiF丄BD，因此/ AiFBi为二面角Ai BD Bi的平面 角。由 AiD = 2, AiB= 4,/ DAiB= 90° 得BD = 3 2, AiF = BiF = 3,、i由余弦疋理得cos/AiFBi

3、 = 8。方法二：以CB的中点E为原点，分别以射线EA, EB为x, y轴的正半轴，建立空间直角坐标系 E xyz,如图所示由题意知各点坐标如下：Ai（O,O, 14），B（0, , 2, 0），D（ 2, 0，74）, Bi（ 22，74）。TTT因此AiB = （0， 2， 14），BD = （ 2， 2，14），DBi = （0， 2,0）。设平面AiBD的法向量为 m= （xi， yi， Zi），平面BiBD的法向量为n = （X2，y2，Z2）。Tm AiB= 0， 由Tm BD = 0，2yi 14zi = 0，2xi 2yi +14zi = 0，可取 m = （0，7，1）Tn

4、DBi = 0， 由Tn BD = 0，.2y2 = 0，2x2 , 2y2 +、寸 14z2= 0，可取 n = （ 7，0,1）于是|cosm，|m n| 1 nl = |m|n|=8。由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1 BD B1 的平1面角的余弦值为一£2. 2016兰州模拟如图，在四棱锥 P ABCD中，PC丄底面ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形，AB丄AD, AB/ CD , AB = 2AD = 2CD = 2, E 是 PB的中点。(1)求证：平面EAC丄平面PBC;若二面角P AC E的余弦值为冷：求直线FA与平面EAC所成角 的正弦值。解析：

5、(1)证明：v PC丄底面ABCD,. PC丄AC,T底面ABCD是直角梯形，且 AB= 2AD = 2CD = 2,AC= 2, BC= J2。 AB2= AC2+ BC2,. AC丄 BC,v PCA BC= C, AC丄平面PBC,v AC?平面 EAC,平面EAC丄平面PBC。建立如图所示的空间直角坐标系A xyz。设 PC= a,则 A(0,0,0), C(1,1,0),E 2，2, 2，P(1,1，a)，B(0,2,0)。 AC= (1,1,0), AE= 2,32,TTa2 , AP= (1,1, a), BC= (1,1,0)设平面EAC的法向量为v = (x, y, z),Tv C = 0,则Tv AE= 0,x+ y= o, x+ 3y+ az= 0,2令 x= 1,则 v = 1, 1, a,av BC丄平面PAC,T平面FAC的一个法向量为u= BC= (1 , 1,0), 设二面角P AC E的大小0,贝 y cos0=V u|V| |u|1X 1+1 X- 1 + 0X 22+a 3,