巧用图象面积解决物理问题

1、巧用图象面积解决物理问题巧用图象面积解决物理问题浙江省富阳市第二中学方明霞物理图像能形象、直观地表达物理规律、描述物理过程、反映物理量间的函数关系。用图象法解题可以避免繁杂的中间运算过程，具有简明、快捷、准确等优点，特别是当莫些物理量发生变化，用常规的解析法无法解决时，图象法可以帮助我们快而有效地解决问题。在物理图象的学习和应用中，我们可以从坐标、斜率、截距、面积、交点、拐点等方面分析不同的图象所代表的物理意义。本文仅从“面积”由发，阐释图象的妙用。在物理教学中，我们会经常碰到这样的函数关系：y y=ab=ab, ,其中一个物理量 a a 为恒量，在以ab b 为坐标的函数图象中，图线与坐标轴

2、围成的矩形面积代表 y y 的大小。而当 a a 也发生变化时，用一般解析式解决往往比较复杂。在以 abab 为坐标的函数图象中，利用“微元”的思想方法，将图线分割成无限小段，每一小段图线都可近似为 a a 恒定，这一小段图线围成的面积近似为矩形，表示这一小块 y y 的大小，将所有小块叠加起来，不难发现图线与坐标轴围成的面积依然代表 y y 的大小。以下是笔者整理的部分图象“面积”的巧用。一、1/v-x1/v-x 图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示时间匀速直线运动中，1 1 与乂、v v 成反比。反比例函数在数学处理上往往比正比例函数复杂，因此我们通常将其转化为正比例函数,在 x-1/vx

3、-1/v 图象上，利用“微元”思想，我们不难发现 1/v-x1/v-x 图线与坐标轴围成的“面积”表示时间。例 1 1. .一只老鼠从洞口爬由后沿一直线运动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比，当其到达距洞口为 x1x1的 A A 点时速度为 v v1,1,若B B 点离洞口的距离为x2(x2>x1x2(x2>x1),),求老鼠由 A A运动到B B 所需的时间。解析：老鼠从洞口沿直线爬由，已知爬由的速度与通过的距离成反比，则不能通过匀速运动、匀变速运动公式直接求解，但通过 1/v-1/v-x x 图象， 我们可以很简洁地得到图中阴影部分的面积即是老鼠由 A A 运

4、动到 B B 所需的时间。二、v-tv-t 图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示位移例 2.2.在电场强度为 E E 的匀强电场中，有一条与电场线平行的几何线，如图中虚线所示。几何线上有两个静止的小球 A A 和 B B（均可看作质点），两小球的质量均为 m,Am,A 球带电荷量+Q,B+Q,B 球不带电。开始时两球相距 L,L,在电场力的作用下，A A 球开始沿直线运动，并与 B B 球发生正碰，碰撞中 A A、B B 两球的总动能无损失。已知在各次碰撞过程中，A A、B B 两球间无电量转移，且不考虑重力及两球间的万有引力，试问:在第一次碰撞以后 A A、B B 两球再次不断地碰撞的时间间

5、隔会相等吗？如果相等，请计算该时间间隔 T,T,如果不相等，请说明理由。解析：在第一次碰撞前，A A 球在电场力作用下以加速度向右匀加速运动，B B 球保持静止。A A 球第一次与 B B 碰撞前的速度为，A A 球与 B B 球碰撞过程动量守恒：A A、B B 两球的总动能无损失：可求得：一即 A A、B B 两球碰后交换速度。第一次碰后，B B 球以向右做匀速直线运动，而 A A 球又以加速度向右做匀加速运动，当 A A、B B 向右发生的位移相等时发生第二次碰撞，第二次碰撞 A A、B B 速度又发生交换，碰后 B B 球以 A A 碰前速度向右做匀速直线运动，而 A A 球以 B B

6、碰前的速度为初速度，仍以为加速度向右做匀加速运动，以后不断重复这样的过程，以此类推。由于这样进行的过程比较复杂，用函数表达式较难解答。若将上述过程用 v-tv-t 图象表示由来，则如图所示，由于两次碰撞间 A A、B B 发生的位移相等， 由图线的对称关系可知图中阴影和斜线表示的三角形面积均相等，所以在第一次碰撞以后的过程中，A A、B B 两球再次不断碰撞的时间间隔相等，为 T T=2t1=2=2t1=2。例 3.3.如图所示， 甲、 乙两光滑斜面的高度和斜面的总长度都相同，只是乙斜面由两部分组成，将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计拐角处的机械能损失，试分析两球中谁先落地。解析：若

7、用公式求解此题，很难建立简单的函数解析式。若用v-tv-t 图象分析，由于甲、乙两光滑斜面的高度相同，不计拐角处的机械能损失，根据机械能守恒定律可得两球落地时速度大小相同。由于斜面的倾斜程度不同，对两小球进行受力分析可知，乙图中，小球在前部分的加速度大于甲，后部分的加速度小于甲。由于甲、乙两光滑斜面的总长度相同，在 v-tv-t 图象上，应使两条图线与 t t 轴围成的面积相等，则其 v-tv-t 图象应如图所示:由 v-tv-t 图象不难看由，t t 甲<t<t 乙，乙图中的小球先落地。三、F-tF-t 图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示冲量例 4.4.质点所受

8、的力 F F 随时间变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上。已知 t=0t=0 时质点的速度为零。在图示 t1t1、t2t2、t3t3 和 t4t4 各时刻中，哪一时刻质点的动能最大？A.A.t1t1B.B.t2t2C.C.t3t3D.D.t4t4解析：物体在 F F 作用下，加速度不断变化，用一般函数解析法无法求解速度随时间的变化情况。但在 F-tF-t 图象中,图线与坐标轴围成的“面积”表示冲量，且 F F 轴正方向的面积代表正方向的冲量，F F 轴负方向的面积代表负方向的冲量。初态速度为 0,0,由动量定理 Ft=mv2-Ft=mv2-mv1mv1 可知，t2t2 时刻图线与坐标轴围

9、成的正向面积最大，速度最大，相应有最大动能。四、F-xF-x 图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示功例 5.5.用锤子把铁钉打入木块中， 已知每次打击时锤子给予铁钉的动能相同，钉子进入木块时受到的阻力与进入的深度成正比。若第一次进入的深度为 2cm2cm, ,求第二次打击后再进入的深度。解析：钉子受到的阻力 FfFf=kx=kx,其函数图象如下：在 F-xF-x 图象中，图线与坐标轴围成的“面积”表示功。由动能定理 Fx=4EkFx=4Ek 可知，两次打击过程，它们在 F-xF-x 图象中,图线与坐标轴围成面积相同。即 2SAOAB2SAOAB= =SAOCDSAOCD由相似关系可得：SAOABSAOAB: :SAOCDSAOCD=0A2=0A2: :OC2=1OC2=1: :2 2所以 0A0A: :OC=1OC=1: :AC=(-1)OAAC=(-1)OA求得第二次再进入的深度为 2 2(-1)cm(-1)cm