例2-6试用长除法求的z反变换ppt课件

1、 例例2-6 2-6 试用长除法求试用长除法求的的z z反变换。反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)441,)41)(4()(2zzzzzX*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。15141441)()41(15164144)()4(41241zzzzXzAzzXzA414)41)(4()(21zAzAzzzzzX)41416(1514115141516)(4115/1415/16)(zzzzzzzzzXzzzzX 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z - 4 Z

2、 24 Z 4 Z - Z Z Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116. Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1256-3.0,)41(1511,)4(151)()641641441664(151)(23212345nnnxzzzzzzzzzXnn进而得：得4-4 Z4-4 Z变换的根本性质和定理变换的根本性质和定理假设假设那么有：那么有：yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ, )()(,

3、)()(*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.1.线性线性),min(),max(),()()()(yxyxRRzRRzbYzaXnbynaxZ例2-7知 ,求其z变换。)()cos()(0nunnx1,111121)()cos(1,11)(1,11)(,11)()(21)()cos(11011100000000000zzezenunZezzenueZezzenueZazaznuaZnueenunjjjjnjjjnjnnjnj因此，解：2. 2. 序列的移位序列的移位xxmRzRzXzmnxZ;)()(假设那么有：xxRzRzXnxZ, )()(例2-8 求序列x(n)=u(n)

4、-u(n-3)的z变换。1,111)(1,11)3(1,1)(22223zzzzzzzznxZzzzzzznuZzzznuZ3. Z3. Z域尺度变换域尺度变换( (乘以指数序列乘以指数序列) )xxnRazRaazXnxaZ;)()(xxRzRzXnxZ, )()(假设，那么证明：xxxxnnnnnnRazRaRazRazXaznxznxanxaZ即;)()()()(4. 4. 序列的线性加权序列的线性加权(Z(Z域求导数域求导数) )假设xxRzRzXnxZ, )()(，那么xxRzRzXdzdznnxZ, )()(证明：dzzdXznnxZznnxzznnxzdzdnxznxdzddzz

5、dXznxzXnnnnnnnnnn)()()()()()()()(,)()(11即，对其两端求导得5. 5. 共轭序列共轭序列的共轭序列。为其中，)()(;)()(*nxnxRzRzXnxZxx假设xxRzRzXnxZ, )()(，那么证明：;)()()()()(*xxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ，6. 翻褶序列xxRzRzXnxZ11;)1()(假设xxRzRzXnxZ, )()(，那么证明：xxxxnnnnnnRzRRzRzXznxznxznxnxZ11)1()()()()(11即，。，则对于因果序列)(lim)0()(zXxnxz7. 7. 初值定理初值定理证明：) 0

6、 ()(lim,) 2 () 1 () 0 ()()()()(210 xzXzxzxxznxznunxzXznnnn显然8. 终值定理11)(Re)()1(lim)(lim1)()()(zznzXszXznxznxZzXnx阶极点，则有处有一单位圆上在单位圆内，且只允许的极点，且对于因果序列证明：（接下页）得：为因果序列这一特性可利用nmmnnnnnzmxmxznxnxzXznxznxnxzXznxnxZ11)()1(lim)()1()()1()()()1()()1()()1( 又由于只允许X(z)在z=1处能够有一阶极点，故因子z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取

7、z 1的极限。 z1)(lim)() 1(lim)(lim)1(lim)() 1()0 () 1 ( 0) 0 (lim1 )() 1(lim)() 1(lim111nxzXznxnxnxnxxxxmxmxzXznznnnnmmnz9. 9. 有限项累加特性有限项累加特性nmxxRzzXzzmxZRznxZzXnx0 1 ,max),(1)(,),()()(则，且对于因果序列证明：，交换求和次序，得的取值范围分别为可知，令, 0,)()()(),()(0000 nmmnmnzmxmxZnyZmxnynnmnnmnm 1 ,max),(1)(1111)()()()()()(00110210000

8、 xmmmmmmmmnnnnnmnmRzzXzzzmxzzzmxzzzmxzmxzmxmxZ10.10.序列的卷积和序列的卷积和( (时域卷积定理时域卷积定理) ) ,min,max)()()()(,)()(,)()()()()()()(hxhxnnxxmRRzRRzHzXnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXmnhmxnhnxny则有：，而且如果证明：,min,max),()()()()( )()( )()()()()()()(hxhxmmlmlmnnmnnmnnRRzRRzHzXzHzmxzzlhmxzmnhmxzmnhmxznhnxnhnxZ例2-9.),()()(),1()()()

9、,()(1abnhnxnynuabnubnhnuanxnnn求已知)()()()()(.)()()()()()(;,)()(;,)()(11nubzYZnhnxnybzzYzHzXbzzbzazazzzHzXzYbzbzazbzabzzbzzazbzznhZzHazazznxZzXn的收敛域扩大，为的零点相消，的极点与解：11.11.序列相乘序列相乘(Z(Z域卷积定理域卷积定理) )其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封锁围线。 证明从略nxnxccnnxxRRzRRdvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXnhn

10、xny;)()(21)()(21)()(),()(;),()(),()()(11则有：，且如果例2-10).()()(),1()(),()(1nhnxZzYnubnhnuanxnn求已知;,)(21121)()()(;,1)()(;,)()(ccabzdvbvzavvjdvbvzavvjnhnxZzYbzbznhZzHazazznxZzX解：，用留数可得：内只有一个极点因此围线重叠部分为，即为的收敛域，而的收敛域为avcbzvabzvbvzvzHavvX;)()(.,)(Re)(21)(abzabzabvzvbvzavvsdvbvzavvjzYavavc 12.帕塞瓦定理(parseval)其

11、中“*表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 证明从略dHxjnhnxcn1*)1()(21)()(.1;,)()(;,)()(nxnxhhxxRRRRRzRnhZzHRzRnxZzX且假设那么有:*几点阐明：。为实序列时，则当dHxjnhnxnhcn1)1()(21)()()(.1。则时，当围线取单位圆deHeXnhnxevvvjjnj)()(21)()(,/11. 2尔公式（定理）。频谱求得。这就是帕塞这表明序列的能量可用。时，则当djXnxnxnhn22)(21)()()(. 34-5 Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设 为延续信

12、号， 为其理想抽样信号，那么)(txa)( txa nnnsTanTsanstastnastaaaenTxenTxdtnTtenTxdtenTtnTxdtetxtxLsX)()()()()()()()(（nnsTaaaenTxtxLsX)()()(因此， 序列x(n)的z变换为 ，思索到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。)()(nTxnxannznxzX)()(sTez)()()(sXeXzXasTezsT即2.Z2.Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系( S( S、Z Z平面映射关系平面映射关系 S S平面用直角坐标表示为：平面用直角坐标表示为：

13、 Z Z平面用极坐标表示为：平面用极坐标表示为： 又由于又由于 所以有：所以有：因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对应。TerT,TjTjeerezsTez jrez js =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。j00(1).r与的关系)(Ter= 0，S平面的实轴， = 0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线， = 0T,Z:始于 原点的射线； S:宽 的程度条带， 整个z平面.0jImZReZT3TTT3TTT2),(2).与的关系=T),(j二二.Z.Z变换和傅氏变换的关系变换和傅氏变换的关系 延续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因此映