“隐圆”最值问题

1、BMCDAEFD CBABEDCF A“隐圆”最值问题教学目标:让学生掌握各类隐藏圆的最值求法教学重难点:分析题目条件发现题目中的隐藏圆,并利用一般的几何最值求解方法来解决问题【例1】在平面直角坐标系中,直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点,点C 在y 轴的左边,且ACB = 90°,则点C 的横坐标x C 的取值范围是_.分析:在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x <3【练】(2013-2014·六中周练·16如图,已知Rt ABC 中,ACB =

2、 90°,AC = 3,BC = 4,点D 是AB 的中点,E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点,EDF = 90°,则EF 长度的最小值是_256_.分析:过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证FBD ECD 即可 求出最小值【例2】如图,在Rt ABC 中,ACB = 90°,D 是AC 的中点, M 是BD 的中点,将线段AD 绕A 点任意旋转(旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点,若AC = 4,BC = 3,那么在旋转 过程中,线段CM 长度的取值范围是_.分析:将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。

3、接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是3722c x 【练】已知ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,ACB =ADE = 90°,AC = 22,AD = 1,F 是BE 的中点,若将ADE 绕点A旋转一周,则线段AF 长度的取值范围是424222AC -+. 分析:同例题【例3】如图,已知边长为2的等边ABC,两顶点A、B分别在平面直角 坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连接OC,则OC长的最大值是(A.2B.1C.1 +3D.3分析:取AB中点M连接OM、CM。因为OM=1,CM=3,所以OC=1 +3【练1】如图

4、,在矩形ABCD中,AB = 2,BC =3,两顶点A、B分别在平面 直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连接OC,则OC长的最大值为_3_.分析:取AB中点M,方法同例题【练2】(2013·武汉中考·16如图,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点, 满足AE = DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,若正方形的边-_.长为2,则线段DH长度的最小值是_51分析:取AB中点M,方法同例题【例4】如图,XOY = 45°,一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动,其中AB = 10,那么点O到AB的距离的最大值为_

5、.分析:构造ABO的外接圆。点O可以在圆上任意动,利用垂径定理即可得到+O到AB的最大距离为:552【练1】(2013-2014·二中、七一九上期中·16已知线段AB = 4,在线段AB上取一点P,在AB的同侧作等边APC和等边BPD,则线段CD的最小值为_2_.分析:可构造一个以CD为斜边的水平的直角三角形,快速得到当AP=BP时最小,CD最小【练2】如果满足ABC = 60°,AC = 12,BC = k 的ABC 恰有一个,那么k 的取值范围是_012k <_.分析:画出ABC 的外接圆,观察动点B 在弧上面的运动即可【例5】已知A (2,0,B (4

6、,0是x 轴上的两点,点C 是y 轴上的动点,当ACB 最大时,则点C 的坐标为_.分析:画出ABC 的外接圆M 。要保证ACB 最大,即圆周角最大,只要圆心角最大即可。所以在等腰MAB 中只要半径最小即可,半径什么时候最小呢?只要圆与Y 轴相切即可所以得答案为:(0,22±【练】当你站在博物馆的展厅中时,你知道站在何处观赏最理想吗? 如图,设墙壁上的展品最高点P 距底面2.5米,最低点Q 距底面 2米,观察者的眼睛E 距底面1.6米,当视角PEQ 最大时,站 在此处观赏最理想,则此时E 到墙壁的距离为( B A .1米B .0.6米C .0.5米D .0.4米分析:只要PQE 的外

7、接圆与人眼所在的水平线相切即可,通过垂径定理可得答案是B【课外提升】1.(2010·河南如图,Rt ABC 中,C = 90°,ABC = 30°,AB = 6, 点D 在AB 边上,点E 是BC 边上一点(不与点B 、C 重合,且DA = DE ,则AD 的取值范围是( A .2 < AD < 3B .2 AD < 3C .2 AD 3 D .1 AD < 2ADCBOy xNMBQCP A 2.(2012·济南如图,矩形ABCD 中,AB = 2,AD = 1,当A 、B 两点 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动时,矩形ABCD 的形状不变,则 OD 的最大值为( A .2+ 1B .5C .1455 D .523.(2013-2014·黄陂区九上期中·10在ABC 中,ACB = 90°,ABC= 30°,将ABC 绕顶点C 顺时针旋转,旋转角为(0° < < 180° ,得 到MNC ,P 、Q 分别是AC