积分上限的函数及其导数ppt课件

1、二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 微积分的基本公式 第五章第五章 第二节1 在变速直线运动中在变速直线运动中, 已知位置函数已知位置函数 s (t) 与与速度函数速度函数 v (t) 之间有关系之间有关系:( )( )s tv t 物体在时间间隔物体在时间间隔T1, T2内经过的路程为内经过的路程为TTsv tt 21( )d一、引例一、引例这里这里s (t)是是v (t)原函数原函数.s Ts T21()()2二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数( )yf x xbaoy( )x xxx ( )

2、( )dxaxf tt 就是就是 f (x) 在在a, b上上的一个原函数的一个原函数, 即即定理定理1. 若若 f (x) C a, b, 则变上限函数则变上限函数d( )( )dd( )()xaxf ttxf xaxb 意义意义: 定理定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的证明了连续函数的原函数是存在的;3变限积分求导变限积分求导:( )f x ( )( )fxx ( )( ) ( )( )fxxfxx( )( )d( )d( )ddaxxaf ttf ttx d( )ddbxf ttx ( )d( )ddxaf ttx ( )( )d( )ddxxf ttx xaf t dt 4例例1

3、解解求求.cos02 xtdtdxd xtdtdxd02cos例例2解解求求.321 xtdtedxd这里这里dtext 321是是3x的函数的函数, , 因而是因而是x的复合函的复合函令令,3ux 则则 utdteu1,)(2根据复合函数求根据复合函数求有有数数, ,导公式导公式, ,.cos2x 5232xeu 623xex 321xtdtedxd23)(xu dxdudtedudut 126220d1)1d ;dxttx 324d12)d .d1xxtxt 练习练习. 求下列导数求下列导数7例例3解解.lim21cos02xdtextx 求求分析分析: : 这是这是00型未定式型未定式,

4、 , 应用洛必达法则应用洛必达法则. .dtedxdxt 1cos2)(coscos12 xdtedudxuut)(cos2cos xex,sin2cos xex dtedxdxt cos1221cos02limxdtextx 故故完完xexxx2sinlim2cos0 .21e 8三、牛顿莱布尼兹公式三、牛顿莱布尼兹公式( )d( )( )baf xxF bF a (牛顿牛顿 - 莱布尼兹公式莱布尼兹公式)(微积分基本公式微积分基本公式) 定理定理2. 设设F (x)是连续函数是连续函数 f(x)在在a, b (或或b, a)上的一个原函数上的一个原函数, 则则记作记作)(xFab9例例4解

5、解求求.102dxx 33x是是2x的一个原函数的一个原函数, , 由牛顿由牛顿-莱布尼茨公式得莱布尼茨公式得: :例例5 求求.112 dxx当当0 x时时, ,x1的一个原函数是的一个原函数是|,|ln xdxx 1212ln1ln . 2ln 解解dxx 1023031 .31 1033x 12|ln x10例例6解解计算计算.|12|10dxx 因为因为|12| x所以所以dxx 10|12|02/122/102)()(xxxx .21 完完 21, 1221,21xxxxdxxdxx 12/12/11)12()21(11练习练习解解求定积分求定积分.cos13/2/2dxx 完完dxx 3/2/2cos1 dxx 3/2/|sin| dxxxdx 3/002/sinsin 3/002/coscos xx .23 dxx 3/2/2sin 12yoxsinyx 例例7. 计算正弦曲线计算正弦曲线 y=sinx 在在0, 上与上与x轴所轴所 围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积. 解解:0dsinxxAxcos0112131. 微积分基本公式微积分基本公式( )dbaf xx 积分中值定理积分中值定理( )()Fba ( )( )F bF a微分中值定理微分中值定理( )()fba 牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式2. 变限积分求导