《空间向量与立体几何》单元测试题1

1、空间向量与立体几何单元测试1第卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在下列命题中：若、共线，则、所在的直线平行；若、所在的直线是异 面直线，则、一定不共面；若、三向量两两共面，则、三向量一定 也共面；已知三向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 其中正确命题的个数为 （ ）A0 B1 C2 D32在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、是 （ ）A有相同起点的向量 B等长向量 C共面向量 D不共面向量3若向量、（ ）A B C D以上三种情况都可能4已知（2，1，3），（1，4，2），（7，5

2、，），若、三向量共 面，则实数等于 （ ）A B C D 5直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 则 （ ）A+ B+ C+ D+6已知+，|2，|3，|，则向量与之间的夹角为（ ）A30° B45° C60° D以上都不对7若、均为非零向量，则是与共线的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件8已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的 中线长为 （ ）A2 B3 C4 D59已知（ ）A15B5C3D110已知，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为 （ ）A B

3、 C D第卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11若A(m1，n1,3)，B(2m,n,m2n)，C(m3,n3,9)三点共线，则m+n= 12已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若，则xyz 13在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则 14设|1，|2，2与3垂直，4，72， 则<,> 三、解答题（本大题满分76分）15(12分) 如图，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直16（12分）如图，在棱长为2的正方体

4、ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系 （1）写出A、B1、E、D1的坐标； （2）求AB1与D1E所成的角的余弦值 17（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、 PC的中点 （1）求证：EF平面PAD； （2）求证：EFCD； （3）若ÐPDA45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小 18（12分）在正方体中，如图、分别是 ，的中点， （1）求证：平面ADE； （2）cos 19（14分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点，作交PB于点F. （1）证明 平

5、面； （2）证明平面EFD； （3）求二面角的大小20（14分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的垂心G. （1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求点A1到平面AED的距离.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案ACBDDCABAC二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11 12 0 13 140° 三、解答题（本大题共6题，共76分）15(12分) 证

6、明： . 又，即. .又，即. 由+得：即.16(12分) 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) (2) (0, -2, 2)，(0, 1, 2) |2，|，·0242, cos á，ñ AB1与ED1所成的角的余弦值为17(12分) 证：如图，建立空间直角坐标系Axyz，设AB2a，BC2b，PA2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) E为AB的中点，F为PC的中点 E (a, 0, 0)，F (a, b,

7、c)(1) (0, b, c)，(0, 0, 2c)，(0, 2b, 0) () 与、共面又 E Ï 平面PAD EF平面PAD(2) (-2a, 0, 0 ) ·(-2a, 0, 0)·(0, b, c)0 CDEF(3) 若ÐPDA45°，则有2b2c，即 bc， (0, b, b)，(0, 0, 2b) cos á，ñ á，ñ 45° 平面AC， 是平面AC的法向量 EF与平面AC所成的角为：90°á，ñ 45°18(12分) 解：建立如图所示的直角

8、坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F（0，0）， 则（0，1），（1，0，0）， （0，1，）， 则0，0， ，. 平面ADE.（）（1，1，1），C（0，1，0），故（1，0，1），（1，），10， ， 则cos. . 19（14分）解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.依题意得底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，故点G的坐标为且. 这表明.而平面EDB且平面EDB，平面EDB。(2)证明：依题意得。又故 , 由已知，且所以平面EFD.(3)解：设点F的坐标为则从而所以由条件知，即 解得 。点F的坐标为 且,即，故是二面角的平面角.且 ,所以，二面角CPCD的大小为20(14分) 解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即A1BG是A1B与平面ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2）E（a，a，1） G（）.，解得a=1.A1B与平面ABD所成角是.