线性代数与空间解析几何-行列式ppt课件

1、2022-2-81第二节 n阶行列式的定义1. 问题的提出问题的提出2. 二阶、三阶行列式定义的规律二阶、三阶行列式定义的规律3. 排列的逆序数排列的逆序数4. n阶行列式的定义阶行列式的定义5. n阶行列式的计算阶行列式的计算6. 思考与解答思考与解答1、排列的逆序数、排列的逆序数4、上下三角行列式的求法、上下三角行列式的求法内容回顾内容回顾2、逆序数的计算、逆序数的计算3、n 阶行列式的定义阶行列式的定义)(21nqqq )(1 niiq个个数数后后边边的的比比它它小小的的数数字字的的 )(21nqqq nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnpppppppppaaa

2、21212121)()1( npppppppppnnnaaa21)(212121)1( 3 第一章第一章 行列式行列式2022-2-83第三节第三节 行列式的性质及计算行列式的性质及计算1. 行列式的性质行列式的性质2. 行列式的计算行列式的计算 4 第一章第一章 行列式行列式一、行列式的性质一、行列式的性质【性质1.1】 行列式与它的转置行列式相等. 行列式性质：行列式性质：DDT 即：即： 意义意义 ：行列式中的行与列具有同等的地位；：行列式中的行与列具有同等的地位；行列式的性质凡是对行列式的性质凡是对“行行成立的，对成立的，对“列列也同样成也同样成立。立。 211011321 112 1

3、10 123 5 第一章第一章 行列式行列式【性质1.2】 互换行列式的两行列），行列式变号. 例如例如: :123110112 2 2131101122 证明：证明：设行列式设行列式D1=det(bij)是由行列式是由行列式D=det(aij)；时时，即即当当kpkpabjik ,jik, 当当.,ipjpjpipabab （不妨设（不妨设i j），于是），于是njinnjinpjpipppppppppbbbbD12111)(1)1( njinnjinpipjpppppppppaaaa12111)()1( 交换交换i, j 两行得到的两行得到的,( (替代替代) )；时时，当当kpkpabj

4、ik ,jik, 当当.,ipjpjpipabab nnnnjnjjiniinnnnniniijnjjnnnnnjnjjiniinbbbbbbbbbbbbaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaD2121211121121212111211121212111211, 6 第一章第一章 行列式行列式【性质1.2】 互换行列式的两行列），行列式变号. 证明：证明：njinnjinpjpipppppppppbbbbD12111)(1)1( nijnnjinpjpipppppppppaaaa12111)()1( Daaaanijnnijnpjpippppppppp 12111)() 1( n

5、jinnjinpipjpppppppppaaaa12111)()1( )(，奇偶性相反，奇偶性相反与与对换对换jipp交交换换一一下下位位置置与与jiipjpaa( (替代替代) )；时时，当当kpkpabjik ,jik, 当当.,ipjpjpipabab 7 第一章第一章 行列式行列式【推论】如果行列式有两行列完全相同(对应元素相 同)，则此行列式为零. 证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD 为什么？为什么？0111432111例例如如： 8 第一章第一章 行列式行列式例如例如123110112 2 816241101121628 证明思想证明思想 ： 推论推论

6、：(1)行列式中某一行列的所有元素的公因行列式中某一行列的所有元素的公因子可以提到子可以提到 行列式符号的外面行列式符号的外面.(2)若行列式中有两行列成比例，则此行若行列式中有两行列成比例，则此行列式等于零列式等于零. (3)若行列式中某一行列的元素全为零，若行列式中某一行列的元素全为零，则此行列式等于零则此行列式等于零.【性质1.3】 行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一常数 ，等于用数 乘此行列式.kk8从定义出发证，过程略。从定义出发证，过程略。很简单哟！很简单哟！ 9 第一章第一章 行列式行列式nnnnininiiiinaaaaaaaaaaaa21221111211 nnnnini

7、inaaaaaaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaa212111211 【性质1.4】 若行列式的某一行列的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.即即 10 第一章第一章 行列式行列式【性质1.4】 若行列式的某一行列的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.例如例如015110112 110112 11)1(223 123110112 112110112 02 这并不是唯一的这并不是唯一的分拆方法！分拆方法！ 证明思想证明思想 ：从定义出发证，过程略。从定义出发证，过程略。 等价的说法等价的说法 ： 若两行列式除了某一行列的元若两行列式除了某一行列的

8、元素之外其余元素均相同，则此两行列式之和等于素之外其余元素均相同，则此两行列式之和等于只把该行对应元素分别相加、其余各行列保只把该行对应元素分别相加、其余各行列保持不变所得的行列式之值。持不变所得的行列式之值。 11 第一章第一章 行列式行列式例例1111cos1sin11sin1cos1 1111cos111sin11 1101cos1sin1sin1cos 1001cossin1sincos11011sin11cos0 1sincos22 1001cossin1sincos0 12 第一章第一章 行列式行列式【性质1.5】 把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上去

9、，行列式不变. 证明：证明：jnjjiniiaaaaaa2121jnjjjninjijiaaakaakaakaa212211 jnjjiniiaaaaaa2121 jnjjjnjjaaakakaka2121 jnjjiniiaaaaaa2121 说明说明 ：n这实际上是性质这实际上是性质1.4与性质与性质1.3的推论的推论2的直接推论；的直接推论；n这条性质也将是我们化简计算行列式的主要依这条性质也将是我们化简计算行列式的主要依据，也被称为化简性质。据，也被称为化简性质。 ？ 13 第一章第一章 行列式行列式【性质1.5】 把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上去，行

10、列式不变. 842730121 (-2) 730121 1000730121 =30例如例如)2()1(8)2(24)2(12 = 运算符号运算符号 ：)(jijiccrr)(kckrii )(ijijkcckrr n交换行列式两行列），记作交换行列式两行列），记作n行列式第行列式第i行列乘以数行列乘以数k，记作，记作n以数以数k乘行列式第乘行列式第i行列加到第行列加到第j行列上，行列上，n记作记作:13)2(rr 14 第一章第一章 行列式行列式ijMija又记又记 ，ijjiijMA )1(称做元素称做元素 的代数余子式的代数余子式 在在n 阶行列式中，划去元素阶行列式中，划去元素 所在的

11、第所在的第i行与第行与第j列，列，剩下的元素按原来的相对位置所排成的剩下的元素按原来的相对位置所排成的n-1阶行列式，阶行列式，叫做原行列式中元素叫做原行列式中元素 的余子式，记作的余子式，记作 ； ijaija例如例如: :行列式行列式 中，中，12310112 x元素元素x x 的余子式为的余子式为 22M51312 代数余子式为代数余子式为5)1(222222 MA 注意注意 ：关关。该该元元素素所所在在的的行行、列列有有的的所所有有元元素素无无关关，只只与与列列元元素素本本身身、其其所所在在行行、余余子子式式及及代代数数余余子子式式与与元元素素ija 15 第一章第一章 行列式行列式

12、引理： 一个 n阶行列式 D，如果其第 i 行所有元素除 aij 外都为零，那末这行列式 D 就等于aij 与它的代数余子式 Aij 的乘积，即： ijijAaD ijijnnnjnijniAaaaaaaaa 1111100即即： 证明证明 ：先证先证 aij 位于第位于第n行第行第n列处的情形列处的情形: 此时此时nnnnpppppppppnnnnnnnaaaaaaaaaaD21212121)(, 12 , 11 , 111211) 1(00 只要只要 时，时，才可能不为才可能不为0. 0. npn 16 第一章第一章 行列式行列式 引理： 一个 n阶行列式 D，如果其第 i 行所有元素除

13、aij 外都为零，那末这行列式 D 就等于aij 与它的代数余子式 Aij 的乘积，即： ijijAaD 证明证明 ：nnnnpppppppppnnnnnnnaaaaaaaaaaD21212121)(, 12 , 11 , 111211) 1(00 nnpnppnpppnpppaaaannn121121121121)() 1( 121121121121)()1( nnnpnppppppppnnaaaa nnnnnnnnAaMa 17 第一章第一章 行列式行列式 再证一般情形再证一般情形: :此时此时 nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 nniiiirrrrrr 121100) 1

14、(1, 1, 11 , 1, 1, 11 , 11111ijnnnjnnijiinijiinjinaaaaaaaaaaaaa nnjjjjcccccc 1211ijnjnnjnjnnjinijijiijinijijiijnjjjninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa0000) 1(1,1,1, 1, 11, 11, 11 , 1, 1, 11, 11, 11 , 1111, 11, 111)()( ijijijjiijijijjninAaMaMa )1()1()()( 18 第一章第一章 行列式行列式证明证明 ： 由性质由性质1.4与上述引理可以很容易地推得该性质定理；与上述引理可以

15、很容易地推得该性质定理；【性质1.6】 行列式等于它的任一行列的各元素与其代数余子式的乘积之和，即:niAaAaAaDininiiii, 2 , 1,2211 nnnniniinaaaaaaaaaD21211121100000000 4.1性性质质nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 引引理理niAaAaAaininiiii, 2 , 1,2211 19 第一章第一章 行列式行列式说明说明 ：n该性质定理又称为行列式的按行展开定理；该性质定理又称为行列式的按行展开定理；n 同理也有按列展开定

16、理：同理也有按列展开定理：njAaAaAaDnjnjjjjj, 2 , 1,2211 在实际应用中在实际应用中,常常选取零元素较多的一行或列常常选取零元素较多的一行或列,按该按该行或列施行展开行或列施行展开,达到降阶、简化计算的目的。达到降阶、简化计算的目的。意义意义 ： 实现了实现了n 阶行列式到阶行列式到n-1阶行列式的降阶转换；阶行列式的降阶转换；【性质1.6】 行列式等于它的任一行列的各元素与其代数余子式的乘积之和，即:niAaAaAaDininiiii, 2 , 1,2211 例例1207834127342)1(223 83121)1(133 11154 20 第一章第一章 行列式行

17、列式,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三阶行列式：三阶行列式：)312232211331233321123223332211()()(aaaaaaaaaaaaaaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 131312121111MaMaMa 131312121111AaAaAa 133113122112111111)1()1()1(MaMaMa 【性质1.6】 行列式等于它的任一行列的各元素与其代数余子式的乘积

18、之和，即:niAaAaAaDininiiii, 2 , 1,2211 21 第一章第一章 行列式行列式333231232221131211aaaaaaaaa232322222121AaAaAa 231322122111AaAaAa333231131211131211aaaaaaaaa0 131211232221,aaaaaa换换成成将将此此式式中中的的【性质【性质1.7】行列式的任一行列的各元素与另一行列】行列式的任一行列的各元素与另一行列对应元素的代数余子式的乘积之和等于对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即，即njijiAaAaAajninjiji, 2 , 1, 02211 njiji

19、AaAaAanjnijiji, 2 , 1, 02211 举例：举例： 22 第一章第一章 行列式行列式把行列式把行列式 按第按第 行展开有行展开有det()ijDa j证明：证明：j第第行行i第第 行行11111111niinjjjnjnjjnnnnaaaaDa Aa Aaaaa把行列式中的把行列式中的 换成换成 可得可得jka(1, )ikakn 1122ijijinjna Aa Aa A 1iinaa一样一样,ifij ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 命题得证命题得证 23 第一章第一章 行列式行列式【性质

20、【性质1.7】行列式的任一行列的各元素与另一行列】行列式的任一行列的各元素与另一行列对应元素的代数余子式的乘积之和等于对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即，即njijiAaAaAajninjiji, 2 , 1, 02211 njijiAaAaAanjnijiji, 2 , 1, 02211 说明：说明：该性质与按行展开定理合并可得公式：该性质与按行展开定理合并可得公式： jijiDAaAaAaAajninjijinkjkik当当当当022111 jijiDAaAaAaAanjnijijinkkjki当当当当022111自己乘自己的代数余子式自己乘自己的代数余子式等于原行列式；等于原行列式

21、；自己乘自己乘“别人的别人的的代数余子式的代数余子式等于等于0.0. 24 第一章第一章 行列式行列式【性质1.1】 行列式与它的转置行列式相等. 【性质1.2】 互换行列式的两行列），行列式变号. 【性质1.3】 行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一常数 k，等于用数 k乘此行列式.【性质1.5】 把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上去，行列式不变. 【性质1.4】 若行列式的某一行列的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.二二. .余子式与代数余子式、行列式展开定理余子式与代数余子式、行列式展开定理一一. .行列式的性质行列式的性质(1-5(1-5条

22、条);); 25 第一章第一章 行列式行列式行列式的计算一般有如下方法：行列式的计算一般有如下方法： 简单行列式用定义法直接计算；简单行列式用定义法直接计算； 低阶行列式用三角法计算；低阶行列式用三角法计算； 高阶行列式用三角法、降阶法和递推法计算。高阶行列式用三角法、降阶法和递推法计算。 三角法三角法 ： 根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为三角行列式逐步化为三角行列式(上三角行列式上三角行列式)，然后求得其值。，然后求得其值。 例例1 计算计算1121231011121121 如何将其化成上如何将其化成上三角形行列式呢？三角形行列式呢？一

23、种有效的方法步骤是：从第一一种有效的方法步骤是：从第一列开始，用主对角线上的非零元列开始，用主对角线上的非零元素将其下方的非零元素消去。素将其下方的非零元素消去。二、行列式的计算二、行列式的计算 nnnnnaaaaaaaaaa000000333223221131211nnaaa2211 26 第一章第一章 行列式行列式1121231011121121 1121 12)2(rr 3330 2310 14rr 0240 0001121 32rr 024333231 0023101121 233rr 9120 244rr 8140 009120023101121 341214rr 250 30)25

24、(12 解：解：顺序不能写错顺序不能写错注意：注意：尽尽可可能能的的避避免免分分数数。得得到到。；可可以以通通过过换换行行或或行行列列位位置置为为尽尽可可能能使使)2(1)1(iia 27 第一章第一章 行列式行列式 降阶法降阶法 ： 利用行列式按行列展开法则降阶，把利用行列式按行列展开法则降阶，把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需结它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需结合化简性质运用。合化简性质运用。例例1的解法的解法2：1121231011121121 1121 12)2(rr 3330 2310 14rr 0240 按按 列展开列展开0242313331 300123662

25、40 28 第一章第一章 行列式行列式例例2 计算计算212198991022011-1241112 D分析：分析：212121211-124111221211001001002001-1241112 解：解：212121001100210012001-1241112 D该行列式的第该行列式的第3行元素可拆成两数之和。利用性质行元素可拆成两数之和。利用性质1.4. 29 第一章第一章 行列式行列式212111121-1241112100 例例2 计算计算212198991022011-1241112 D31cc 212112111-4211211100 3110242022101211100

26、141312)1()1(rrrrrr .1800 30 第一章第一章 行列式行列式例例3 计算计算mxxxxmxxxxmxDnnnn 212121该行列式的特点是每行的和均相等该行列式的特点是每行的和均相等.分析：分析：mxxmxxmxmxxxmxDnniinniinniin 212121mxxxmxxxmxnnnnii 2221111）（ 31 第一章第一章 行列式行列式例例3 计算计算mxxxxmxxxxmxDnnnn 212121mxxxmxxxmxnnnnii 2221111）（mmxxmxnnii 0000121）（）（mxmniin 11)( 32 第一章第一章 行列式行列式练习：

27、练习： 计算计算解：解：31111311113111134 D原式原式311113111131666631111311113111116 111164,3,21 irri002002002000=48 33 第一章第一章 行列式行列式 34 第一章第一章 行列式行列式 35 第一章第一章 行列式行列式行列式的计算一般有如下方法：行列式的计算一般有如下方法： 简单行列式用定义法直接计算；简单行列式用定义法直接计算； 低阶行列式用三角法计算；低阶行列式用三角法计算； 高阶行列式用三角法、降阶法和递推法计算。高阶行列式用三角法、降阶法和递推法计算。 三角法三角法 ： 根据行列式的特点，利用行列式的性

28、质，把它根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为三角行列式逐步化为三角行列式(上三角行列式上三角行列式)，然后求得其值。，然后求得其值。 例例1 计算计算1121231011121121 如何将其化成上如何将其化成上三角形行列式呢？三角形行列式呢？一种有效的方法步骤是：从第一一种有效的方法步骤是：从第一列开始，用主对角线上的非零元列开始，用主对角线上的非零元素将其下方的非零元素消去。素将其下方的非零元素消去。二、行列式的计算二、行列式的计算 nnnnnaaaaaaaaaa000000333223221131211nnaaa2211 36 第一章第一章 行列式行列式11212310111

29、21121 1121 12)2(rr 3330 2310 14rr 0240 0001121 32rr 024333231 0023101121 233rr 9120 244rr 8140 009120023101121 341214rr 250 30)25(12 解：解：顺序不能写错顺序不能写错注意：注意：尽尽可可能能的的避避免免分分数数。得得到到。；可可以以通通过过换换行行或或行行列列位位置置为为尽尽可可能能使使)2(1)1(iia 37 第一章第一章 行列式行列式 降阶法降阶法 ： 利用行列式按行列展开法则降阶，把利用行列式按行列展开法则降阶，把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需

30、结它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需结合化简性质运用。合化简性质运用。例例1的解法的解法2：1121231011121121 1121 12)2(rr 3330 2310 14rr 0240 按按 列展开列展开0242313331 30012366240 38 第一章第一章 行列式行列式例例2 计算计算212198991022011-1241112 D分析：分析：212121211-124111221211001001002001-1241112 解：解：212121001100210012001-1241112 D该行列式的第该行列式的第3行元素可拆成两数之和。利用性质行元素可拆成两

31、数之和。利用性质1.4. 39 第一章第一章 行列式行列式212111121-1241112100 例例2 计算计算212198991022011-1241112 D31cc 212112111-4211211100 3110242022101211100 141312)1()1(rrrrrr .1800 40 第一章第一章 行列式行列式例例3 计算计算mxxxxmxxxxmxDnnnn 2121213110242022101211100 141312)1()1(rrrrrr .1800 该行列式的特点是每行的和均相等该行列式的特点是每行的和均相等.分析：分析： 41 第一章第一章 行列式行列

32、式例例3 计算计算134123211232114321xxxxxnnxxxnnxxnnxnnDn 分析：分析：能否利用主对角线的能否利用主对角线的1，分别将其下方的，分别将其下方的x 都消去？都消去？12xrr 1xrrn nxxxxnxnxxxnxnxxxnxnxxxn 132034120242310143322104321后续步骤很难进行！后续步骤很难进行！ 42 第一章第一章 行列式行列式例例3 计算计算134123211232114321xxxxxnnxxxnnxxnnxnnDn 分析：分析：能否利用下行中的能否利用下行中的x，将上行中的，将上行中的x 消去？且可以看消去？且可以看到相

33、邻两行之间数字均差到相邻两行之间数字均差1.,1 kkrr)1(1 nk1111000111100111110111111xxxxxxxxx 能否再将尽量多的能否再将尽量多的1 1 消去？消去？ 43 第一章第一章 行列式行列式1111000111100111110111111xxxxxxxxx ,1 kkrr)1(1 nk,1 kkcc2nk xxxxxxxxx 10000001000001000001000001此时再按第一列展开，两个非零元素的余子式都已此时再按第一列展开，两个非零元素的余子式都已是简单的行列式了。是简单的行列式了。 44 第一章第一章 行列式行列式 通过降阶法建立起行列

34、式与其同形的较低阶通过降阶法建立起行列式与其同形的较低阶的行列式的关系式的行列式的关系式-递推关系式，然后由递推关系式递推关系式，然后由递推关系式求解其值。求解其值。按第一列展开按第一列展开xxxxxxxxxxxxxxn000010001000)1(100000100010001)1(1 )1()1(nnnxx 递推法递推法 ：nnnxx1)1()1( 45 第一章第一章 行列式行列式例例3. 计算计算xaxaxaxaa000100010001000154321 分析分析: 对行列式的计算对行列式的计算,必须先找到行列式元素的变换规律。必须先找到行列式元素的变换规律。比如本例中，主对角元中除比

35、如本例中，主对角元中除 a1均为均为x,而主对角线斜上均而主对角线斜上均为为1，且再斜上均为，且再斜上均为0，故可按最后一行，故可按最后一行(列列)展开，降为展开，降为4阶行列再寻找规律阶行列再寻找规律解解:1000100010001)1(1555xxxaD xaxaxaax001001001)1(432110 44155)1()1(xDa 46 第一章第一章 行列式行列式解解:54axD 得出一递推公式得出一递推公式,依次递推依次递推,得得5435)(aaxDxD 5432axaDx 542323axaxaDx 而而xaaD2121 21axa 故故542332415axaxaxaxaD 例

36、例3. 计算计算xaxaxaxaa000100010001000154321 4151555)1()1(xDaD 434axDD 54322)(axaaxDx 47 第一章第一章 行列式行列式作业作业. 计算计算xaxaxaann0001000010001121 分析分析: 对对n阶行列式的计算阶行列式的计算,必须先找到行列式元素的变换规律。必须先找到行列式元素的变换规律。比如本例中，主对角元中除比如本例中，主对角元中除 a1均为均为x,而主对角线斜上均而主对角线斜上均为为1，且再斜上均为，且再斜上均为0，故可按最后一行，故可按最后一行(列列)展开，降为展开，降为n-1阶行列再寻找规律阶行列再

37、寻找规律解解:10001000010001)1(1 xxaDnnnxaaxaaxnnn0010001001)1(12212 111)1()1( nnnnxDannaxD 1 48 第一章第一章 行列式行列式例例3. 计算计算xaxaxaann0001000010001121 解解:111)1()1( nnnnnxDaDnnaxD 1得出一递推公式得出一递推公式,依次递推依次递推,得得nnnnaaxDxD )(12nnnaxaDx 122 nnnnnaxaxaxaDx 1443322而而xaaD2121 21axa 故故nnnnnnaxaxaxaxaD 1332211 49 第一章第一章 行列式

38、行列式例例4 计算计算nndcdcdcbababaD220000 解：解： 按第一行展开，有按第一行展开，有 12200000000 nnddcdcbabaaDnb21) 1( 1200000000 ncdcdcbaba)1(2)1(2112)1(2)()1( nnnnDbcadDbcadD祥略祥略 50 第一章第一章 行列式行列式例例5 证明范德蒙证明范德蒙Vandermonde行列式行列式 1112112222121)(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD333322224532453245321111)23()25( )35()24)(34)(54( )1(nijxxj

39、i ）积积所所有有的的可可能能的的差差的的乘乘 51 第一章第一章 行列式行列式例例5 证明范德蒙证明范德蒙Vandermonde行列式行列式 1112112222121)(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD用递推法结合数学归纳法用递推法结合数学归纳法. . 1212212)(11jijixxxxxxD当当n=2时，时， 结论成立结论成立. .假设结论对于假设结论对于n-1n-1阶范德蒙行列式成立，对于阶范德蒙行列式成立，对于n n阶行列式阶行列式 11111131112212212321221131211112131120001111 nnnnnnnnnnnnxxxxxx

40、xxxxxxxxxxxxrxrrxrrxrD211231132211212312321221131211000111121, nnnnnnnnnnniinxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnirxrD 52 第一章第一章 行列式行列式)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx 1211312)()()()(jinjijinjinxxxxxxxxxx)1(121323122211331221131

41、2)()()()()()( nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx按第一列展开按第一列展开n-1阶范德蒙德阶范德蒙德行列式行列式 53 第一章第一章 行列式行列式例例5 证明范德蒙证明范德蒙Vandermonde行列式行列式 1112112222121)(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD 说明说明 ： 高阶行列式的计算有着比较强的技巧，需要大家高阶行列式的计算有着比较强的技巧，需要大家在练习中不断总结、积累经验。在练习中不断总结、积累经验。 范德蒙范德蒙VandermondeVandermonde行列式的结论是个重要结论，以行列式的结论是个重要

42、结论，以后可以直接运用之；后可以直接运用之； 54 第一章第一章 行列式行列式311613161136111648)2221 (6 3111131111311113311113111131111162000020000201111614,3,2 rrii 55 第一章第一章 行列式行列式练习练习3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 .40 12rr 56 第一章第一章 行列式行列式.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列

43、列都都加加到到第第一一列列，得得将将第第1, 3 , 2 nxxxxxxxaaaaaaaaaaaaaDniinniinniinniin32121212111 .1111)(3222211xxxxaaaaaaaaaannnnii 练习练习 57 第一章第一章 行列式行列式 niiniiaxax11)()(nniiiiaxaaaaaxaaaxaxnicac 231221211111010010001)(1, 3 , 2.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 58 第一章第一章 行列式行列式 59 第一章第一章 行列式行列式【性质【性质1.7】行列式的任一行列的各元素与另一行列】行列式的任一行列的各元素与另一行列对应元素的代数余子式的乘积之和等于对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即，即njijiAaAaAajninjiji, 2 , 1, 02211 njijiAaAaAanjnijiji, 2 , 1, 02211 说明：说明： 由性质由性质1.6与性质与性质1.2的推论很容易推