完整高中数学导数典型例题精讲详细版

1、导数知识点导数是一种特殊的极限limanbnab(3)lim包-b0(4)limcannnbnb、nf(x)在x处的导数(或变化率或微商)，,、.y.f(x)x)f(x0)f(X0)yx可0 x-.瞬时速度：s(t)lim-lims(一2凶.t0tt0t瞬时力口速度：av(t)lim-limv(tt)-v).t0tt0tf(x)在(a,b)的导数：f(x)y电竺limlimf(xx)f(x).dxdxx0 xx0 x函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x),f(x。)处的切线的斜率f(x),相应的切线方程是yyf(&)(x刈).几

2、种常见函数的导数(1)C0(C为常数).(2)(xn)nxn1(nQ).(3)(sinx)cosx.(cosx)sinx1x.1ex.xzx.x.(4)(lnx)一；(loga)-loga.(5)(e)e；(a)alna.xx导数的运算法则,/c、/c、uuvuv(1)(uv)uv.(2)(uv)uvuv.(3)(-)2(v0).vv复合函数的求导法则设函数u(x)在点x处有导数ux(x),函数yf(u)在点x处的对应点U处有导数yuf(u),则复合函数yf(x)在点x处有导数，且yxyuux?或写作fx(x)f(u)(x).【例题解析】厚德启智心怀天下导数经典例题精讲几个常用极限：眄彳0,l

3、iman0(|a|n11 1）；（）；（2 2）n nx x% %，叫7 7X0两个重要的极限：（1）limX0sinx1;(2)limxxe(e=2.718281845).函数极限的四则运算法则：若limf(x)a,limg(x)b,则xx0 x/(1)limfxxx0ab；(2)limfxgxxxab;(3)x吗数列极限的四则运算法则：若limanna,limbnb,则(1)limannnbhlimclimanca(c是常数)nn考点1导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念13例1.仁）是J）x2x1的导函数，则f（1）的值

4、是.3考查目的本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力解答过程Qf(x)x22,f(1)故填3.思路启迪：用求导来求得切线斜率_2f(x)xaxb0在1,1),(1,3内分别有一个实根,是16.例2.设函数f/Y、T(x)A.(-8,1)x_a，集合M=x|f(x)x1B.(0,1)C.(1,+8)0,P=x|f(x)0,若MRP,则实数a的取值范围是(D.1,+8)考查目的本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力解答过程由30,当a1时,1xa;当a1时,ax1.a1.综上可得M至P时，a考点2曲线的切线1.(1)关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)(2)

5、关于两曲线的公切线的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线典型例题1Q1例3.已知函数f(x)-x3-ax2bx在区间1,1),(1,3内各有一个极值点.322(I)求a4b的最大值;(II)当a24b8时，设函数yf(x)在点A(1,f(1)处的切线为l,若l在点A处穿过函数yf(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线yf(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧),求函数f(x)的表达式.2123.解答过程：(I)因为函数f(x)1ax2bx2在区间(1,3内分别有一个极值点，所以设两实根为x1,x2(x1x2)

6、,则x2x14a0Ja24b04,04bw16,且当x12,2b3时等号成立.故a4b的最大值(II)解法一：由f(1)ab知f(x)在点(1,f(1)处的切线l的方程是yf(1)f(x1),即一,、21y(1ab)x-a,32因为切线l在点A(1,f(x)处空过yf(x)的图象,所以g(x)f(x)(1ab)x1a在x21两边附近的函数值异号，则x1不是g(x)的极值点.而g(x)1ax2bx(12b)x31a，且2设h(x)x213ax2里，则22或当m1x1时，h(x)0,当1xm2时，h(x)0.所以a2,又由a24b8,得b例4.若曲线yx4的一条切线l与直线xA.4xy30B.C.

7、4xy30D.考查目的本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力解答过程与直线x4y80垂直的直线l为4xym0,即yx4在某一点的导数为1)处导数为4,此点的切线为4xy30.故选A.例5.过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+5=0相切的直线的方程为()2A.y=-3x或y=1xB.y=-3x或y=-lxC.y=-3x或y=-1xD.y=3x或y=1x3333考查目的本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力解答过程解法1:设切线的方程为ykx,kxy0.T7225乂x2y1-,圆心为2,1.22k1521.,3k8k30.k-,k3.k21-2311y一x,

8、或y3x.3故选A.,、2，/),、2/g(x)xaxb(1ab)xaxa1(x1)(x1a).1a都是g(x)的极值点.所以11a,即a2,又由a24b解法二：同解法一得g(x)f(x)(1a1328,得b1,故f(x)-xxx.321b)x二二a3212-(x1)x3(13a(2-a)因为切线l在点A(1,f(1)处穿过yf(x)的图象，所以g(x)在x1两边附近的函数值异号，于是存在当m1x1时，g(x)0,当1xm时，g(x)0;或当m1x1时，g(x)0,当1xm2时，g(x)0.当m1x1时，h(x)0,当1xm2时，h(x)0；由h(1)0知x1是h(x)的一个极值点，则h(1)

9、2113a20,1321,故f(x)-xxx.34y80垂直，则l的方程为(x4y504,而y4x3,所以yx4在(1,曲线C1在点Q(x2,x22a)的切线方程是y(x2a)y2x2xx22a若直线l是过点P点和Q点的公切线，则式和式都是l的方程，故得x11x2,x12x221,消去x2得方程，2x122x11a0若=442(1a)0,即a1时，解得x此时点P、Q重合.212，当时a，C1和C2有且只有一条公切线，由式得公切线方程为yx-24考点3导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其

10、进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题：1.1.函数的解析式；2.求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值(最值)；5.构造函数证明不等式.典型例题例7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A.1个B.2个C.3个D.4个考查目的本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力解答过程由图象可见，在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点.故选A

11、.例8.设函数f(x)2x33ax23bx8c在x(I)求a、b的值;思路启迪：利用函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值构造方程组求a、b的值.高中数学导数第4页共14页解法2:由解法1知切点坐标为(2,2)，312,22(x/Vxki故选(x2)22)2x2/Vx0,/Vx1(2,3x,y32)1一x.3,k2/Vx31(2,2)A.例6.已知两抛物线C1x22x,C2:yx2a,a取何值时C1,C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程思路启迪：先对C1:yx2X,C2a求导数.解答过程：函数yx22x曲线C1在点P(x1,x122x1)处的切线方程为,2y(X2x

12、1)2(x12)(x2(Xi1)x2x1(n)若对于任意的x0,3,都有f(x)2c成立，求c的取值范围.2x2(xx2)即1及x2时取得极值.2斛答过程：(I)f(x)6x6ax3b,因为函数f(x)在x1及x2取得极值，则有f(1)0,f(2)0.H66a3b0,即2412a3b0.解得a3,b4.(n)由(i)可知，f(x)2x39x212x8c,f(x)6x218x126(x1)(x2).当x(01)时，f(x)0;当x(1,2)时，f(x)0；当x(2,3)时，f(x)0.所以，当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c,又f(0)8c,f(3)98c.则当x0,3时，f(x)的最大

13、值为f(3)98c.因为对于任意的x0,3,有f(x)c2恒成立，所以98cc2,解得c1或c9,因此c的取值范围为(，1)U(9,).例9.函数y$2x4q右7的值域是.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。解答过程：由2x40得，x2,即函数的定义域为2,).x30112Vx3V2x4yj.,，2x42x32.2x4x3又24rx_3v2x4,2x-8,2.x32x4当x2时，y0,函数y2x4xx3在(2,)上是增函数，而f(2)1,例10.已知函数fx

14、4x33x2cosAcos,其中xR,为参数，且02.xxuxcoscos16(1)当时cos0,判断函数fx是否有极值；(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数的取值范围；(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数fx在区间2a1,a内都是增函数，求实数a的取值范围.考查目的本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法解答过程(I)当cos0时，f(x)4x3,则f(x)在(，)内是增函数，故无极值yv2x4Vx3的值域是1,).解不等式等基础知识，考查综合分析和解决由(错误!未找到引用源。)，参数时(_)(3_L)时，0cos6

15、,22,6必有2al-i,即 4348综上，解得a0或4也8所以a的取值范围是(,0)4_J3,1).例11.设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.考查目的本题考查了函数的导数求法，函数的极值的判定，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力解答过程由已知得函数f(x)的定义域为(1,)，且f(x)变(a1),x1(1)当1a0时，f(x)0,函数f(x)在(1,)上单调递减,(2)当a0时，由f(x)0,解得x1.af(x)、f(x)随x的变化情况如下表(n)f(x)12x26xcos,令f(x)0，得x0,x2cos2由(I),只需分下面两

16、种情况讨论.x(,0)0(0,cf-)2cos2容，)2f(x)+0-0+f(x)极大值极小值因此，函数f(x)在x8s处取得极小值f(cos)，且f(cos)1cos39222416要使f(2)0,必有1/2一cos(cos4-)0,可得0cos42由于0cos立，故或3-11.26226xcos(,)cos2cos(2,0)0(0,)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值因此，函数f(x)在x0处取得极小值f(0),且f(0)cos.16若f(0)0,则cos0.矛盾.所以当cos0时，f(x)的极小值不会大于零.综上，要使函数f(x)在()内的极小值大于零，参数的取值范围为(_、6，2(

17、3土).26(错误!未找到引用源。)解：由(错误!未找到引用源。)知，函数f(x)在区间()与(竺_,)内都是增函数。由题设，函数f(x)在(2a1,a)内是增函数，则a须满足不等式组2a1aa0史.要使不等式2a12lcos关于参数恒成立,2当cos0时，随x的变化f(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:错误!未找到引用源。当时cos0,随x的变化，f(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:x(1,-)a1a1J,)a1f(x)一0+f(x)极小值从上表可知f1(x)0,函数f(x)在(1,1)上单调递减当X(1,)时，f1(x)0,函数f(x)在(L)上单调递增.a，a,综上所述：当1a

18、0时，函数f(x)在(1,)上单调递减.当a0时，函数f(x)在(1,1)上单调递减，函数f(x)在(1,)上单调递增.aa例12 已知函数f(x)ax3bx2cx在点茂处取得极大值5,其导函数yf(x)的图(1,0),(2,0),如图所示.求：(I)x0的值；(D)a,b,c的值.考查目的本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定，闭区间上二次函数的最值，函数与方程的转化等基础知识的综合应用，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力解答过程解法一：(I)由图像可知，在，1上fix0,在1,2上f,x0,在2,上f,x0故f(x)在(-,1),(2,+)上递增，在(1,2)上递减，因此

19、fx在x1处取得极大值，所以x01(D)f(x)3ax22bxc,由f(1)=0,f(2)=0,f(1)=5,3a2bc0,解法二：(I)同解法考查目的本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力解答过程(I)f(x)=x2+(a2)x+ba卜3一x,当x(1,：)时，象经过点12a4babcc0,5,解得a2,b9,c12.(n)设f1(x)又f(x)3ax2所以am,b3m(x1)(x2bxc,3-m,c2m222)mx3mx2m,m3f(x)x33:一mx22|:2mx,由f(1)5,即m33-m2m25,得m6,所以a例13.2,b9,c12设x3是

20、函数f(I)求a与b的关系式x(用axbe3表小b),xxR的一个极值点.并求fx的单调区间；a225ex.若存在41,20,4使得f1g21成立，求a的取值范围.由f(3)=0,得一32+(a2)3+bae33=0,即得b=32a,则f(x)=x2+(a2)x32aae3x=-x2+(a-2)x-3-3ae3x=(x3)(x+a+1)e3x.令f(x)=0,得xi=3或x2=a1,由于x=3是极值点，所以x+a+1w0,那么aw4.当a3=xi,则在区间(一00,3)上，f(x)0,f(x)为增函数；在区间(一a1,+)上，f(x)4时，x23=x1，则在区间(一 8,a1)上，f(x)0,

21、f(x)为增函数；在区间(3,+)上，f(x)0时，f(x)在区间(0,3)上的单调递增，在区间(3,4)上单调递减，那么f(x)在区间0,4上的值域是min(f(0),f(4),f(3),而f(0)=(2a+3)e30,f(3)=a+6,那么f(x)在区间0,4上的值域是(2a+3)e3,a+6.又g(x)(a2生存在区间0,4上是增函数，且它在区间0,4上的值域是a2+学，(a2+空)e4,44由于(a2+25)(a+6)=a2a+l=(a)20,所以只须仅须442(a2+竺)一(a+6)0,解得0a_3.42故a的取值范围是(0,0).2132例14已知函数f(x)-ax3bx2(2b)

22、x13在xXI处取得极大值，在x*2处取得极小值，且0 x11x22.(1)证明a0;(2)若z=a+2b,求z的取值范围。解答过程求函数f(x)的导数f(x)ax22bx2b.所以f(x)a(xx1)(xx2)当xXI时，f(x)为增函数,f(x)0,由xXI(n)在题设下,0X1X22等价于f(0)02b0f(1)0即a2b2b0f(2)04a4b2b02b0化简得a3b20.4a5b20此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线:2b0,a3b20,4a5b20.(I)由函数f(x)在xXI处取得极大值，在xX2处取得极小值，知X,X2是f(x)0的两个根.解答过程设长方体的宽为1812

23、xh4.53x(m)4故长方体的体积为x(m),则长为2x(m),高为0 xv3.2所围成的ABC的内部，其三个顶点分别为:16z在这二点的值依次为一,6,8.7所以z的取值范围为,8.7小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性规划有机结合.考点4导数的实际应用建立函数模型，利用典型例题例15.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？2：1,问该长方体的长、宽、高考查目的本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力22V(x)2x(4.53x)9x6x3(m3)3(00;当1vx2时，

24、V(x)0时，f(0)为极大值C、b=0D、当a0且aw1)的单调区间.27 .在半彳至为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为时它的面积最大.三、解答题28.已知曲线C:y=x33x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y)(x0W0),求直线l的方程及切点坐标A.x+y=0或_x_+y=025C.x+y=0或_x_y=025B.xy=0或_x_+y=025D.xy=0或上一y=025C.一定是4.设函数29.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(pCN+),在0,1内的最大值.30 .证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数31.求函数的导数(1

25、)y=(x22x+3)e2x；(2)y=3；x.1x.有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度.求和Sn=12+22x+32x2+-+n2xn1,(xw0,nCN*).设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.已知a、b为实数，且bae,其中e为自然对数的底，求证：abba.设关于x的方程2x2ax2=0

26、的两根为“、(”0,当xC(0,b)x0 xx时，f(0)1或xv2,f(x)=10gae.(3x2+5x2)=(6x5)logae,33x25x2(3x1)(x2)若a1,则当x1时，1ogae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,，f(x)0,.,.函数f(x)在(1,+8)上是增函数，xv2时,33f(x)1时，f(x)0,，f(x)在(一8,2)上是增函数.答案：(8,2)416.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么h=AO+BO=R+jKV,解得x2=h(2Rh),于是内接三角形的面积为/IS=x-h=J(2Rhh2)hJ(2Rh3h4),1/-从而S1(2Rh3h

27、4)2(2Rh3h4),1,2,、l(2Rh3h4)2(6Rh24h3)h(3R2h)(2Rh)h3令S=0,解得h=_3R,由于不考虑不存在的情况，所在区间（0,2R）上列表如下:2h(0,3R)23R2d,2R)2S+0一S增函数最大值减函数由此表可知，当X=3R时，等腰三角形面积最大2l过原点，知k=y_(xw0),点(x0,y0)在曲线C上，Y0=x03-3x02+2x0,x0y_=XO23x0+2,y=3x26x+2,k=3x。26x0+2x0又k=_y0_,.3xo26xo+2=xo23xo+2,2xo23xo=0,xo=0或xo=_3.XO由xw0,知X0=3,2yo=(3)33

28、(3)2+2.3=3.-k=_yo=-1.2228XO41-l方程y=-lx切点(3,3).428.f(x)p2x(1x)p12(2p)x,令f(x)=0得，x=0,x=1,x=22p在0,1上，f(0)=0,f(1)=0,f(3)2p(X)max4(-p-)2p.2p.设双曲线上任一点P(xo,yo),2aky|xXO-,x0三、17.解：由4(p)p2.2p令y=0,则x=2x2aX020.解：(1)注意到y0,两端取对数，得lny=ln(x22x+3)+lne2x=ln(x22x+3)+2x,(x22x3)y-x22x3一2一、2(xx2)2x22x22x3一2一、2(xx2),2-(xx22x322(x2x2)x22x3.2x2x3)e.22x2(xx2)e.(2)两端取对数，得两边解X求导，得1=0.875(m/s).72259()215.解：(1)当x=1时，Sn=12+22+32+n2=1n(n+1)(2n+1)，当xw1时，1+2x+3x2+nxn-1=1(n6两边同乘以x，得x+2x2+3x2+nxn=x(nH1便之两边对x求