函数的极值与最大值最小值2ppt课件

1、1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值（二）（二）一、最值的求法一、最值的求法二、应用举例二、应用举例三、小结三、小结 思考题思考题2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、最值的求法一、最值的求法最值问题：最值问题：在工农业生产、工程技术和科学实验中，常常会遇到在一在工农业生产、工程技术和科学实验中，常常会遇到在一定的条件下，怎样使定的条件下，怎样使“成本最低成本最低”、“利润最大利润最大”、“用用料最省料最省”、“效率最高效率最高等问题，这类问题一般可化为求等问题，这类问题一般可化

2、为求某一函数某一函数( (称为目标函数称为目标函数) )的最大值或最小值问题。的最大值或最小值问题。最值定义：最值定义：).()()(),()()()(,)(0000或或最最小小值值上上的的最最大大值值在在是是则则称称或或恒恒有有切切上上的的一一使使得得对对若若存存在在上上有有定定义义在在区区间间设设DxfxfxfxfxfxfxDDxDxf 函数的最大值与最小值统称为最值，使函数取得最函数的最大值与最小值统称为最值，使函数取得最值的点称为最值点。值的点称为最值点。最值与极值的区别：最值与极值的区别：极值是对极值点的某个邻域，最值是对整个定义区间。极值是对极值点的某个邻域，最值是对整个定义区间。

3、极值只能在区间内取，最值可在端点或区间内取得。极值只能在区间内取，最值可在端点或区间内取得。3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值存存在在导导数数为为零零的的点点，则则，且且至至多多有有有有限限个个，除除个个别别点点外外处处处处可可导导若若baxfbaCxf 从以上几段曲线可以看出：最值可以在开区间从以上几段曲线可以看出：最值可以在开区间(a,b)(a,b)内内点处取得，即极值点，也就是有限个驻点与导数不存在点处取得，即极值点，也就是有限个驻点与导数不存在的点，同时最值也可以在整个区间的

4、端点处取得。由此的点，同时最值也可以在整个区间的端点处取得。由此可按以下方法进行求最值。可按以下方法进行求最值。4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【闭区间上的连续函数求极值的步骤】【闭区间上的连续函数求极值的步骤】1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,【注意】在实际问题，如果开区间内只有一个极值【注意】在实际问题，如果开区间内只有一个极值, , 则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值) )3.比较比较2中诸值的大小中诸值的大小,哪个大哪个就是最大值哪个大哪个就

5、是最大值,哪个小哪个就是最小值哪个小哪个就是最小值;5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、应用举例二、应用举例【例【例1 1】【解】【解】 )2 , 1(234 , 21 , 323)(22xxxxxxxf. 4 , 3232与与最最小小值值上上的的最最大大值值在在求求函函数数 xxy )2 , 1(32)4 , 2()1 , 3(32)(xxxxxf驻点为驻点为23 x不可导点有两个为：不可导点有两个为：2 , 1 x6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ，最最大大值值20)3( f比较得比较得. 0)2()1( ff最小值最小值由于由于,

6、 20)3( f , 0)1( f , 41)23( f , 0)2( f , 6)4( fxyo12232 xxy【注意】【注意】xy 0 点不可导点不可导在在 xxxy 0 点可导点可导在在 x故故axy 点不可导点不可导在在ax axaxy )( 点点可可导导在在ax 由此得由此得232 xxy21 xx 2 , 1 处不可导处不可导在在 x7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A A处以处以1 1千米千米/ /分钟的分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B B处向正东追击，速

7、度为处向正东追击，速度为2 2千米千米/ /分钟问我军摩托分钟问我军摩托车何时射击最好相距最近射击最好）？车何时射击最好相距最近射击最好）？点击图片任意处播放点击图片任意处播放 暂停暂停【例【例2 2】【解】【解】公公里里5 . 0(1)(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追追击击至至射射击击的的时时间间处处发发起起为为我我军军从从设设Bt敌我相距函数敌我相距函数22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4B A )(ts)(ts8机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .)()2(的的最最小小值值点点求求tss )(ts.)24()5 . 0(5

8、 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一驻点得唯一驻点. 5 . 1 t.5 . 1分钟射击最好分钟射击最好处发起追击后处发起追击后故得我军从故得我军从B公公里里5 . 0公公里里4B A )(ts22)24()5 . 0()(ttts 9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【特别注意】【特别注意】若函数在一个区间有限或无限、开或闭内可导且若函数在一个区间有限或无限、开或闭内可导且只有一个驻点只有一个驻点 ，且这个驻点是函数的极值点，则这，且这个驻点是函数的极值点，则这个极值就是函数在这个区间内的最值如下图示）个极值就是函数在这个区间内的最值如下图示）. .xy

9、oab0 xxb0 xaoy常利用此性质证明不等式：如常利用此性质证明不等式：如 P65 3P65 39 9） 10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【实际问题求最值应注意】【实际问题求最值应注意】(1)(1)建立目标函数建立目标函数; ;(2)(2)求最值求最值; ;值值即即为为所所求求的的最最值值点点，则则该该点点的的函函数数若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例3 3】某房地产公司有某房地产公司有5050套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180180元时，公寓会全部租

10、出去当租元时，公寓会全部租出去当租金每月增加金每月增加1010元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费2020元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？【解】【解】设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20( x 1018050 x12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（

11、唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350350元时收入最高元时收入最高. .最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 形形面面积积最最大大所所围围成成的的三三角角及及线线处处的的切切线线与与直直使使曲曲线线在在该该点点上上求求一一点点，曲曲边边成成一一个个曲曲边边三三角角形形，在在围围及及抛抛物物线线，由由直直线线808022 xyxyxyxy【例【例4 4】点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【解】【

12、解】 如图如图, ,),(00yxP设所求切点为设所求切点为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍舍去去 xx8)316( s. 0 .274096)316(为极大值为极大值 s.274096)316(最最大大者者为为所所有有三三角角形形中中面面积积的的故故 s16机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、小结三、小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别. .实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤. .17机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【思考题】【思