1.2自由电子气体的热性质ppt课件

1、1.2 自由电子气体的热性质自由电子气体的热性质本节主要内容本节主要内容: :1.2.1 1.2.1 化学势随温度的变化化学势随温度的变化1.2.2 1.2.2 电子比热电子比热一、费米一、费米-狄拉克分布费米分布函数）狄拉克分布费米分布函数） T0K时，N个电子在本征态的分布不能再简单地由泡利不相容原理决定。要由费米-狄拉克分布函数，亦即费米分布函数给出。B()1( )e1iik Tf1. 表达式：表达式：下面简单复习热统中学过的费米分布函数的知识2.物理意义物理意义 表示表示NN电子体系在热平衡态电子体系在热平衡态( (温度为温度为T)T)时，能量为时，能量为i i的单电子本征态被一个电子

2、占据的概率，亦即该电子态的平均的单电子本征态被一个电子占据的概率，亦即该电子态的平均电子数。电子数。( )if是N电子热力学体系的化学势( )iifN化学势化学势 恒温、恒体积下自由恒温、恒体积下自由能随粒子数的变化能随粒子数的变化可由归一化条件确定可由归一化条件确定1.2.1 1.2.1 化学势随温度的变化化学势随温度的变化 阐明：阐明： 化学势化学势 是恒温、恒体积下自由能随粒子数的变化，是恒温、恒体积下自由能随粒子数的变化，它的意义是在体积和温度不变的条件下，系统增加一个电子所它的意义是在体积和温度不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。对于需的自由能。对于N电子体系的金属来说，相应

3、于费米能级的电子体系的金属来说，相应于费米能级的变化，所以，化学势变化，所以，化学势 和费米能级和费米能级 F不加以区分。（后面将进不加以区分。（后面将进一步给出解释）一步给出解释）3.3.费米分布函数的特点费米分布函数的特点因此，很多的固体书中把费米分布函数表示为：因此，很多的固体书中把费米分布函数表示为：B()1( )e1iFik Tf留意：下面的分析中，和书中有区别，所以，我把留意：下面的分析中，和书中有区别，所以，我把i 用用E来表示，化学来表示，化学势势 (或费米能级或费米能级F ）换成）换成EFFB()1( )e1E Ek Tf E从而，费米分布函数表示为：从而，费米分布函数表示为

4、：F( )()f EE E下面我们讨论下面我们讨论的关系的关系0aB Tk. FFF01)(EEEEEEEf陡变1bB Tk. FFF0211)(EEEEEEEf52cB.Tk. FFF0211)(EEEEEEEf 随着随着T T的增加，的增加，f(E)f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任何情况发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在下，此能量范围约在EFEF附近附近kBTkBT范围内。范围内。1e1)(BF)( TkEEEf当当T0K，E=EF时，时，1( )2f E 反过来，也可求费米能反过来，也可求费米能4.求EF的表达式(亦即化学势随温度的变化p9） EENEfN)d(

5、)(分两种情况讨论：分两种情况讨论：EE+dE间的电子状态数：间的电子状态数：EENEf)d()(EEN)d(EE+dE间的电子数：间的电子数：系统总的电子数：系统总的电子数：(1)(1)在在T=0KT=0K时，上式变成：时，上式变成： 0)d(FEEENN 将自由电子密度将自由电子密度 N(E)=CE1/2 N(E)=CE1/2 代入得：代入得： 23021032d FEFECECEN其中其中3 2224mCVh这和前面得到的结果一样这和前面得到的结果一样dZ=N(E)dE( (利用分步积分利用分步积分) )EEfECE)E(Cfd3232023023 (2)(2)当当 T T0K 0K 时

6、时EEfECd32023 =0 EEfCEN)d(21,32)(23CEEg 若令若令则上式化简为则上式化简为 E)Ef(EgNd0 因此一方面，因此一方面，另一方面，将另一方面，将g(E)g(E)在在EFEF附近展开为泰勒级数：附近展开为泰勒级数： E)Ef(EgNd ()fE 函数的特点具有类似于函数的特点具有类似于函函数的性质，仅在数的性质，仅在EFEF附近附近kBTkBT的范围内才的范围内才有显著的值，且是有显著的值，且是E EEFEF的偶函数。的偶函数。 2FFFFF)(21)()()(）（）（EEEgEEEgEgEg只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到只考虑到二次方项，

7、略去三次方以上的高次项，可得到稍后解释稍后解释FFFFF1FF2F201() ()d()()()()d()()()2(d)()Ng Efg EEEEEgfEEgEIfEEEEI gIEgEE的的特特点点Ef 很显然，很显然，I0I0等于，由于等于，由于 为为(E-EF)(E-EF)的偶函数，因此的偶函数，因此I1=0I1=0。)(Ef 22F1() ()d2fIEEEE令令(E-EF)/kBT=(E-EF)/kBT=，那么，那么1e1fTkEfB1)1(ee2 d)1(ee2)(222B2TkI为偶函数，因此由于221(ee)1(ee) d)1(ee)(222B2TkI因因此此计计算算得得，2

8、B2)(6TkI )()()(F2F1F0EgIEgIEgIN 得：得：由此可证得由此可证得 为偶函数为偶函数 fE3 22( )3g ECE将代入)()()(F2F1F0EgIEgIEgIN 得得:=12B2)(6Tk=02BF2F)(6)(TkEgEg 2FB223F8132ETkCE由于系统的电子数由于系统的电子数因此有,ECN230F)(32 2FB223F230F81ETkEE322FB20FF81 ETkEE由于由于kBTEF，利用，利用 20FB20FF121ETkEE当温度升高时，当温度升高时，EFEF比比0FE 小。小。 2FB223F230F81ETkEE2(1)(1)12

9、!nn nxnxx 最后得最后得对于普通金属对于普通金属0210,FEeV0.023BRTk TeV240()10BFk TE这就是化学势与费米能通常不加以区分的原因这就是化学势与费米能通常不加以区分的原因一、一、 电子气的摩尔热容量电子气的摩尔热容量C C 一摩尔物质温度升高一摩尔物质温度升高( (或降低或降低)1)1C C所吸收所吸收( (或放出或放出) )的的热量，叫做物质的摩尔热容量热量，叫做物质的摩尔热容量C C所以，欲求电子热容量，需要求得电子的能量所以，欲求电子热容量，需要求得电子的能量1.2.2 1.2.2 电子比热电子比热设物质的比热为设物质的比热为c,摩尔质量为摩尔质量为,

10、则有：则有：Cc定容热容量为：定容热容量为：()VVUCTU 为内能1.计算每个电子的平均能量EE+dE间的电子数：间的电子数：EENEf)d()(EE+dE间电子的能量间电子的能量:EENEEf)d()(电子的总能量：电子的总能量： 0)d()(EENEEf每个电子的平均能量：每个电子的平均能量： 0230d)(1)d()(EEECfNNEENEEfE方法与上面的计算类似方法与上面的计算类似EEfENCEEfNC)d(52)(52025025 =0=0 0230d)(1)d()(EEECfNNEENEEfE)(6)()()d( )(F2BFEgTkEgEEfEgI 21232523)(,)(

11、,52)(ENCEgENCEgENCEg 21F2B25F236)(52ENCTkENCE 21F2B25F236)(52ENCTkENCE 20FB20FB2250F8512451)(52ETkETkENC 20FB2250F1251)(52ETkENC5 22205 2BF0F2B0F25()811215k TkEETCNE5 2BFF225158k TCNEE 20FB20F125153ETkE0F2B20F)(453ETkE 20FB2250F1251)(52ETkENCE 230F32ECN 0FB20FBB222TTkETkkTEV 2.每个电子对热容量的贡献B0F0FkET B0

12、F0FkET -电子气的费米温度，约为电子气的费米温度，约为104-105K104-105K。3.电子气的摩尔热容量为TETkkZNCV 0FBB20e2 N0 N0为每摩尔的原子数为每摩尔的原子数, Z, Z为每个原子的价电子数，为每个原子的价电子数，电电子热容系数。子热容系数。0F20F2B2022TRZEkZN N0kB=R，R=8.31441J/molK为气体常量。为气体常量。220BF0F()354k TEEE4.电子的热激发仅发生在费米面附近kBT范围的解释前面得到了前面得到了N电子系统每个电子的平均能量为：电子系统每个电子的平均能量为：2203020()352()43BFFFCk

13、 TENENEEE总能量：210220()6()FBkUC ET200()()6) (BFBkUN EkTT002()( ()6)BBFEUkkETTN由于温度升高引由于温度升高引起的能量变化起的能量变化26费米面附近能量为费米面附近能量为kBT范围的电子数范围的电子数()Bk T所以所以,电子的热激发仅发生在费米面附近能量为电子的热激发仅发生在费米面附近能量为kBT范围范围二、二、 电子气摩尔热容量的讨论电子气摩尔热容量的讨论 1. 1.在常温下晶格振动对摩尔热容量的贡献的量级为在常温下晶格振动对摩尔热容量的贡献的量级为J/mol k2(J/mol k2(见第五章见第五章) )而电子比热的量

14、级为而电子比热的量级为mJ/mol k2 mJ/mol k2 。电子比热与晶格振动比热相比很小，如何解释呢电子比热与晶格振动比热相比很小，如何解释呢? ? 这是因为尽管金属中有大量的自由电子，但只有费米这是因为尽管金属中有大量的自由电子，但只有费米面附近面附近kBTkBT范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。所以电子的热容量很小。所以电子的热容量很小。电子热容量可以直接提供费米面附近能态密度的信息。电子热容量可以直接提供费米面附近能态密度的信息。)(32)(320F0F230F0ENEECZN TkENCV2B0F2e)(3 )(0FeECV 22eBBBB00F00FFF02()322VN ZEk TkNCkkEETE210F0F)()(ECEN 2.电子气能态密度 很多金属的基本性质主要取决于能量在很多金属的基本性质主要取决于能量在EFEF附近的电子，附近的电子， 从从k k空间看，也就是在费米面空间看，也就是在费米面F F附近的电子，因此研究费附近的电子，因此研究费米面附近的状况具有重要意义。根据以上的分析知道电子的热米面附近的状况具有重要意义。根据以上的分析知道电子的热容量可以直接