高等数学同济版第二节对坐标的曲线积分ppt课件

1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.),(, ),(),(yxQyxPyxF1kMkMABxyL),(kkFkykxnkW10limkkkkkky)Q(x)P,(其中 为 n 个小弧段的最大长度)2. 定义定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取

2、点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分.在 L 上定义了一个向量函数极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作),(yxFLxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.L 称为积分弧段 或 积分曲线 .称为被积函数 , ),(yxQ其中, ),(yxP3. 性质性质(1) 假设 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(

3、kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 那么LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(那么 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,存在, 且有 假如 L 的方程为,:),(baxxy那么xxxQx

4、xPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(空间光滑曲线弧 :有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx例例1. 计算计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2xyxy 54从点的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx例例2. 计算计算其中 L 为yBAoaa x(1) 半径为 a 圆心在原点的上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a ,

5、 0 ). ,d2xyL334a0yxo例例3. 计算计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 例例4. 设在力场设在力场作用下, 质点由沿移动到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB试求力场对质点所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk 222k其中为),(zxyFBAzyx点 O 的距离成正比,例例 5. 设一个质点在设一个质点在),(yxM处受恒指向原点,)0,(aA沿椭圆此质点由点12222byax

6、沿逆时针移动到, ),0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bBF 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. F)(222bakozyx例例6. 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.2)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz例例7. 知知为折线 ABCOA(如图), zyyxIddd211 yx1 zy计算三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sys

7、xddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(cos),(类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令AsA d, ),(RQPA)d,d,(ddzyxr )cos,cos,(cos rA d rA dsAd记投影为例例9.9.将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从oyxBsyxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中L 沿上半圆周例例8. 设设,max22QPM曲线段 L 的长度为s, 证明),(, )

8、,(yxQyxP续,sMyQxPLdd在L上连 1. 定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结3. 计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:

9、, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧 :作业作业 P200 (2), (4), (6), (8) 7 8第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 LD区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞区域 )复连通区域 ( 有“洞区域 ) 域 D 边界L 的正向: 观察者左侧定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一