安徽省县中联盟2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题

2023～2024学年安徽县中联盟高二12月联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过点且与直线平行的直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解.【详解】设与直线平行的直线的方程为，将点代入得，解得，所以所求直线的方程为.故选：A.2.已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出等轴双曲线的标准方程，将代入即可求解.【详解】设等轴双曲线的方程为，将点代入得，解得.所以双曲线的标准方程为.故选:C.3.若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二元二次方程与椭圆的关系列式求解即可.【详解】若曲线表示椭圆，则，解得且，所以实数的取值范围是.故选：B.4.已知抛物线：（），过点且垂直于轴的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为9，则（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根据已知条件联立方程组求出两点的坐标，利用两点的距离公式及三角形的面积公式即可求解.【详解】将代入，得，由对称性不妨设在轴上方，所以点，，所以，，因为，解得.故选：A.5.已知等差数列是递增数列，其前项和为，且满足，当时，实数的最小值为（）A.10 B.11 C.20 D.21【答案】C【解析】【分析】先设等差数列的公差为，得到，再根据题意求出，从而得到，进而即可得到答案．【详解】设等差数列的公差为，由是递增数列，则，又，即，即，即，得，则，，所以当时，的最小值为20．故选：C．6.已知点是双曲线：上一点，则点到双曲线两条渐近线的距离之积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出，利用点到直线距离分别求出点到渐近线的距离，从而求解.【详解】由双曲线的方程知渐近线方程为，设，由题意，得，即，点到渐近线的距离，点到渐近线的距离，所以，故B项正确.故选：B.7.已知正四棱锥的各棱长均相等，点是的中点，点是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，利用空间向量夹角公式进行求解.【详解】设，相交于点，根据题意，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设，则，，则，，，，，因为点是的中点，点是的中点，所以，，所以，，则，所以异面直线和所成角的余弦值是.故选：D.8.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的延长线交椭圆于点，且，的面积为，记与的面积分别为，，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由三角形面积和余弦定理得到，求出，，所以，由椭圆定义求出其他边长，得到，求出，，所以.【详解】不妨设，，焦距，由的面积为，得，由余弦定理，得，则，所以，即，所以，所以，易得，，所以，所以，由椭圆定义知，所以，所以，所以，，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由向量模、数量积的坐标公式，以及向量共线定理逐一判断每一选项即可求解.【详解】，所以，A正确；，所以，B错误；，，所以，C正确；，不存实数，使得，故与不平行，D错误.故选：AC.10.已知：，：，，，则下列说法正确的是（）A.若，分别是与上的点，则的最大值是B.当，时，与相交弦所在的直线方程为C.当时，若上有且只有3个点到直线的距离为1，则D.若与有3条公切线，则的最大值为4【答案】AD【解析】【分析】A选项，求出圆心距，得到的最大值；B选项，先得到两圆相交，两圆相减得到相交弦方程；C选项，先得到点到直线的距离为1，由点到直线距离公式得到方程，求出答案；D选项，与外切，从而得到，利用基本不等式求出答案.【详解】A选项，由题意可知，，所以，又，分别是与上的点，所以的最大值是，A正确；B选项，当，时，：，：，由于圆心距为，而，故两圆相交，两圆方程相减得，故相交弦所在的直线方程为，B错误；C选项，当时，若上有且只有3个点到直线的距离为1，则点到直线的距离为1，所以，解得，C错误；D选项，若与有3条公切线，则与外切，即，所以，当且仅当时等号成立，D正确.故选：AD.11.已知倾斜角为的直线经过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，则（）A.以为直径的圆与轴相切 B.准线上存在唯一点，使得C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据题意作出图形，利用数型结合及抛物线的知识及定义逐项判断即可求解.【详解】对于A：设，，，的中点为，由抛物线的定义，得，的中点到轴的距离为，故以为直径的圆与轴相切，故A正确；对于B：，的中点到准线的距离为，因此以为直径圆与准线相切，故准线上存在唯一点，使得，故B正确；对于C、D：如图所示，过点，作准线的垂线，垂足分别为点，，由倾斜角为，可得，设，则，因为，所以，，故C正确；设，则，因为，所以，所以，所以，故D错误.故选：ABC.12.“斐波那契螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，也称为“黄金螺旋曲线”，图中小正方形的边长从小到大分别为斐波那契数列，其中，，，，…，小正方形的面积从小到大记为数列，小正方形所对应扇形的面积从小到大记为数列，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】A选项，先得到，代入，求出A错误；B选项，由数列规律得到B正确；C选项，先得到，从而裂项相消法求出C正确；D选项，先得到，结合C选项，求出D错误.【详解】A选项，因为，，所以，令，得，所以，A错误；B选项，，B正确；C选项，，所以，C正确；D选项，，所以，D错误.故选：BC.【点睛】斐波那契数列的性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列是等差数列，，则______.【答案】【解析】【分析】直接由等差数列的运算性质运算即可.【详解】根据等差数列的性质，得，所以，所以.故答案为：.14.已知过原点作圆：的两条切线，切点分别是，，则______.【答案】##0.28【解析】【分析】先计算出圆心和半径，进而得到，利用余弦二倍角公式求出答案.【详解】由题意知，圆的圆心坐标为，半径，所以，，所以.故答案为：15.已知点是抛物线上的一个动点，则的最小值是______.【答案】13【解析】【分析】作出辅助线，结合焦半径和点到直线距离公式，数形结合得到当，，三点共线时取得最小值，即，得到答案.【详解】过点作直线与直线垂直，垂足为，点为抛物线的焦点，则，，过点作直线与垂直，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时等号成立，即，所以，即的最小值是13.故答案为：1316.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，若双曲线的离心率为，则______.【答案】【解析】【分析】由题意知过且与双曲线的一条渐近线：垂直，设垂足为，根据长度关系得到，然后在借助余弦定理得到，从而得到答案.【详解】直线：过且与双曲线的一条渐近线：垂直，渐进线方程为，设垂足为，，因为，所以，所以，因为，由双曲线的定义得，，，在中，，即，所以，所以，所以（舍去），所以.故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是利用双曲线定义结合余弦定理得到关于的齐次方程，再结合与的关系即可.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）通过对等差数列的基本量的计算，易得数列的通项公式;（2）表示出数列，利用等差数列的求和公式计算即可.【小问1详解】因为，所以.设的公差为，所以，即，所以.所以数列的通项公式为.【小问2详解】由（1），得.所以，，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.所以数列的前项和.18.已知圆的圆心是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）若直线交抛物线于两点，点是的中点，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程;（2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程.【小问1详解】圆的方程可化为，故圆心的坐标为.设抛物线的方程为（），所以，所以，所以抛物线的方程为.【小问2详解】设，，则两式相减，得，即，所以直线的斜率.因为点是的中点，所以，所以.所以直线的方程为，即.19.在荾形中，，，将菱形沿着翻折，得到三棱锥如图所示，此时.（1）求证：平面平面；（2）若点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，先证明线面垂直即平面，然后证明平面平面（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求解直线与平面所成夹角.【小问1详解】证明：因为四边形是菱形，，所以与均为正三角形，取的中点，连结，，则，因为，所以，因为，所以，又，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为是的中点，所以，所以，，，设为平面的一个法向量，则令，得，所以.所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.20.已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，上、下顶点分别是，，四边形的面积为，四边形的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与圆：相切，与椭圆交于，两点，若的面积为，求由点，，，四点围成的四边形的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据题意列方程组中分别求出，从而求解.（2）将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理从而求解.【小问1详解】设椭圆的焦距为，根据题意，得，解得，，，所以椭圆的方程是.【小问2详解】设，，因为直线与圆：相切，所以，所以.联立得.因为圆在椭圆内部，所以恒成立.所以，.所以.所以的面积，即，解得，此时直线轴，所以，所以四边形的面积为.【点睛】关键点睛：（2）问中利用直线与椭圆联立后应用韦达定理求出弦长，从而求解.21.已知数列的前项和为，，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】21.;22..【解析】【分析】（1）根据与的关系可得，进而得到数列的通项公式；（2）表示出数列，利用裂项相消法即可求.【小问1详解】因为，所以当时，.所以，即，所以，所以，所以数列是常数列，所以，所以，即数列的通项公式为.【小问2详解】因为，所以，所以..22.在平面直角坐标系中，已知动点、，点是线段的中点，且点在反比例函数的图象上，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若曲线与轴交于、两点，点是直线上的动点，直线、分别与曲线交于点、（异于、）.求证：直线过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知条件可得出，设点，则，计算出的值，即可得出曲线的方程；（2）设点在点的左侧，则由题意得、，设、、，写出直线、，与双曲线的方程联立，求出点、的坐标，可得出直线的方程，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.【小问1详解】解：因为点在反比例函数的图象上，所以，设点，因为点是线段的中点，所以，可得，所以，整理得.所以曲线的方程为.【小问2详解】证明：不妨设点在点的左侧，则由题意得、，设、、，则直线的方程为，直线的方程为，联立得，当时，，由韦达定理得，解得，，同理