高等数学曲线积分与曲面积分ppt课件

1、上一页上一页下一页下一页返回返回第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课 一、主要内容一、主要内容 二、线、面二、线、面 积分的基本计算法积分的基本计算法 上一页上一页下一页下一页返回返回一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为

2、设设1.定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L上一页上一页下一页下一页返回返回.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 上一页上一页下一页下一页返回返回2.存在条件：存在条件：.),(,),(存存在在对对弧弧

3、长长的的曲曲线线积积分分上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线弧弧当当 LdsyxfLyxf3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 上一页上一页下一页下一页返回返回注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数上一页上一页下一页下一页返回返回.),(),(),(),()1( LLL

4、dsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为为常常数数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 二、对弧长的曲线积分的性质上一页上一页下一页下一页返回返回三、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内

5、从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义定义上一页上一页下一页下一页返回返回.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L上一页上一

6、页下一页下一页返回返回2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF上一页上一页下一页下一页返回返回4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 上一页上一页下一页下一页返回返回.,)

7、1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(四、对坐标的曲线积分的性质上一页上一页下一页下一页返回返回五、对面积的曲面积分的定义 设曲面设曲面 是光滑的是光滑的, , 函数函数),(zyxf在在 上有界上有界, , 把把 分成分成n小块小块iS （iS 同时也表示同时也表示第第i小块曲面的面积）小块曲面的面积）, ,

8、设点设点),(iii 为为iS 上上任意取定的点任意取定的点, ,作乘积作乘积 ),(iiif iS , ,并并作作和和 niiiif1),( iS , , 如如果果当当各各小小块块曲曲面面的的直直径径的的最最大大值值0 时时, , 这这和和式式的的极极限限存存在在, ,则则称称此此极极限限为为函函数数),(zyxf在在曲曲面面 上上对对面面积积的的曲曲面面积积分分或或第第一一类类曲曲面面积积分分. .1.定义上一页上一页下一页下一页返回返回即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 记记为为 dSzyxf),(. dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.

9、则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf.叫叫积积分分曲曲面面 六、对面积的曲面积分的性质上一页上一页下一页下一页返回返回基本概念观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧上一页上一页下一页下一页返回返回n曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面上一页上一页下一页下一页返回返回莫比乌斯带典型单侧曲面:播放上一页上一页下一页下一页返回返回曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:面面在在xoyS ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块.0cos00cos)

10、(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 为为上上的的投投影影xyS)( 曲曲面面 S 上一页上一页下一页下一页返回返回定义定义 设为光滑的有向曲面设为光滑的有向曲面, ,函数在上有函数在上有界界, ,把分成把分成n块小曲面块小曲面iS ( (iS 同时又表示第同时又表示第i块小曲面的面积块小曲面的面积),),iS 在在xoy面上的投影为面上的投影为xyiS )( , ,),(iii 是是iS 上任意取定的一点上任意取定的一点, ,如如果当各小块曲面的直径的最大值果当各小块曲面的直径的最大值0 时时, , nixyiii

11、iSR10)(,(lim 存在存在, ,则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxR在有向曲面上在有向曲面上对对坐标坐标yx,的曲面积分的曲面积分( (也称也称第二类曲面积分第二类曲面积分) )七、对坐标的曲面积分的定义上一页上一页下一页下一页返回返回记记作作 dxdyzyxR),(, ,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被积函数积分曲面类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 上一页上一页下一页下一页返回返回存在条件:当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP

12、在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时, ,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在. .组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 上一页上一页下一页下一页返回返回八、对坐标的曲面积分的性质 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 2上一页上一页下一页下一页返回返回九、曲线积分

13、的计算法九、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终上一页上一页下一页下一页返回返回对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上上具具有有一一阶阶连连续续导导数数在在其其中中的的参参数数方方程程为为上上有有定定义义且且连连续续在在曲曲线线弧弧设设上一页上一页下一页下一页返回返回注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上

14、上限限定定积积分分的的下下限限.,),(. 2而是相互有关的而是相互有关的不彼此独立不彼此独立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 上一页上一页下一页下一页返回返回推广推广:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 上一页上一页下一页下一页返回返回例例1).(,sin,cos:,象限象限第第椭圆椭圆求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbt

15、aI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 上一页上一页下一页下一页返回返回例例2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到从从其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I上一页上一页下一页下一页返回返回例例4 . 0,22222zyxazyxdsxI

16、为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa上一页上一页下一页下一页返回返回对坐标的曲线积分的计算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxP

17、ttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理上一页上一页下一页下一页返回返回dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终终点点为为起起点点为为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则上一页上一页下一页下一页返回返回.,)()()(:)3( 终终点点起起点点推推广广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),

18、(),()()(),(),()()(),(),( 上一页上一页下一页下一页返回返回ttad)cos1 ( 例5 计算,dd)2(Lyxxya其中L为摆线, )sin(ttax)cos1 (tay上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2上一页上一页下一页下一页返回返回zyx1O 例 6 计算其中 由平面 y = z 截球面22yx 提示提示: 因在因在 上有上有,1222yx故:原式 = tttdsincos2022221tttd2022221

19、)cos1 (cos4221432212162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx从 z 轴正向看沿逆时针方向.,12所得 z上一页上一页下一页下一页返回返回十、曲面积分的计算法十、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 选择积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面上一页上一页下一页下一页返回返回oxyz定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有

20、Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分yxD),(kkkyxk)(上一页上一页下一页下一页返回返回 计算计算 dszyx)(, 其中其中 为平面为平面5 zy被柱面被柱面2522 yx所截得的部分所截得的部分.例7积分曲面积分曲面 ：yz 5 ,解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy上一页上一页下一页下一页返回返回 dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 上一页上一页下一页下一页返回返回 假设,),( , ),(:zyDzyzyxx则有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 假设,),( , ),(:xzDxzxzyy则有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)yxzyxRdd),()