概率论与数理统计课后答案

1、课后答案网www. khdaw. com1课后答案网www. khdaw. com概率论与数理统计习题及答案习题一1.略见教材习题参考答案.2设N, B、O为三个事件,试用B、U的运算关系式表示下列事件:（1）力发生，B、C都不发生；（2）力与万发生，C不发生：(3)A.B.C都发生：(4)A.方,C至少有一个发生;(5)A.B、C都不发生：(6)A.B、C不都发生：(7)A.B.C至筋有2个发生;(8)A.B、C至少仃2个发生.ff (1) ABC (2) ABC (3) ABC(4)CAB CUABC UABC U ABCAB CABC ABC=ABC(5)(6) ABC(7) ABCAB

2、 CABC U AB CABC UU ABC=ABC=A U 5 U C（8）皿U8CU CA=ACCU3略见教材习题参考答案4设力，方为随机事件，HF（N） =0 7,月3-0）=0.3,求P （）.IM1尸（龙）=1 一尸（加）=1 一只令只#=1-0 7-03=0 65设力，3是两爭件，且尸（力）=0 6,凡刃=0 7,求：（1）在什么条件卜尸（曲）収到最人值？（2）在什么条件卜尸（Q）収到最小值？ff（1）当力I时，P IAB）取到最人值为0 6（2）当力U冬G甘，P （超）取到最小值为0 36设虫，E、C为三事件，且尸（虫）=P （方）=1/4, P （C） =1/3且尸（加）=P

3、（必）=0.P（&O =1/12,求力，B、O至少有一事件发生的概率.M p（/U方U C）=尸4尺5）+只6尺辺-円方0-月N0+只曲0111134+4+3 12 47 从52张扑克牌屮任意取出13张，问冇5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的槪率 是多少？DH尸 c3cf3c3C3 /8对一个五人学习小组考虑生口问题：（1）求五个人的生II都在星期1的概率；（2）求五个人的生II都不在星期II的概率;（3）求五个人的生口不都在星期口的概率itn（1）设如五个人的生口都在星期口,基本事件总数为75,有利事件仅1个,故p （） =2-=（丄）5（亦可用独立性求解，下同）757（2）设

4、宀五个人生口都不在星期（_!,有利爭件数为65,故设力3=五个人的生LI不都在星期IP （如79略见教材习题参考答案.10批产品共"件.其中"件正品从中随机地取出刀件（心）试求其中恰有加件 5W"正品（记为加）的概率如果:（1）刀件是同时取出的；（2）刀件是无放冋逐件取出的；（3）力件是右放回逐件収出的.【制（1）尸 3=C2C%/C2（2）由是无放回逐件取出.町用排列法计算样本点总数右瑞种.”次抽取屮右S次为正品的组介数为碍种对r固定的种正品与次品的抽取次序.从"件正 品屮取m件的排列数有略种.从从M件次晶屮取“件的排列数为临种.（力）瑞由丁无放回逐渐

5、抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取,每次都有"种取法,故所有可能的取法总数为种,"次抽取中仃加次为正品的组介数为C：种，对I古I定的一种正、次品的抽取次序,力次収得正品，都右M种取法共令处种取法，介加次取得次治 每次都 种取法，共右 WM加种取法，故FA = C：力（"- M）ml AT此题也町用贝努里概型，共做了力01贝努里试验，每次収得正品的概率为兰，则取得N加件正品的概率为4课后答案网www. khdaw. com#课后答案网www. khdaw. com11.略见教材习题参考答案.12 50只

6、钏钉随机地取来用在10个部件上，其中冇3个柳钉强度太弱每个部件用3只钏钉若将3只强度太弱的钾钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱求发生一个部件强度人弱的概率是多少？m 设去发生一个部件强度人弱= c；°c； / 减1I960#课后答案网www. khdaw. com13 个袋内装右人小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个. 计算至少有两个是白球的概率.*设4=恰有/个白球（戶23）,显然禺与仏互斥.cPc】心）甘1835#课后答案网www. khdaw. com#课后答案网www. khdaw. com故AXU） = A） + 3）= H14 冇甲、乙两批种

7、子，发芽率分别为08和0.7,在两批种子屮各随机取一粒，求:（1）两粒都发芽的概率：（2）至少月一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.ua设4叫第/批种子中的一粒发芽,（曰,2）(1) 4亦)=尸尸 = 07x08 = 056(2) UX) = 0.7 + 0.8 -0.7 x0.8 = 0.94(3) AU44!)= 0-8x0-3 + 0-2x0-7 =0.3815.掷-枚均匀换币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况卜，第5次也是出现正面的概率【的刃心扒3春C)#课后答案网www. khdaw. com16 甲、乙两个篮球运动员，投篮命

8、屮率分别为07及0 6.得人各投了 3次，求一人进球 数相等的概率.5课后答案网www. khdaw. comEM设4=甲进7球 口丄23爲=乙进7球円丄23则34U403)= (03)3(04)3 + C；07 x(0.3)2C0.6 x(0.4)2 +C；(0.7)2x0.3q(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3=0.3207617 从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少冇两只鞋子配成一双的概率. c：ccm 13% 21p = =-18某地某犬卜雪的概率为0 3,卜南的概率为0 5,既卜-雪又卜-雨的概率为0 1,求: （1）在卜倆条件卜卜雪的概率；（2）这大卜剧或卜雪的

9、概率.设召卜厲, M卜雪（1）（2） XU） = A）+A）-4也= 0.3+0.5 0.1 = 0.719已知一个家庭冇3个小孩，且苴中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男 为女是等口J能的）.itn设知其中一个为女孩,尿至少有一个男孩,样本点总数为3=8,故14 同7/8 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.心间=y20已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是 男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.设冬此人是男人, X此人是色有，则由贝叶斯公式1 玖B）P（AP（BA_0.5x0.0520 0.5x0.05+0.5x0.0025

10、 2121两人约定匕午9 : 0310 : 00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率6课后答案网www. khdaw. comyO 3060题21图题22图【U】设两人到达时刻为°,则0WpW604l件“ 人耍等另 人半小时以I 飞价J>9l>30 如图阴影部分所示.3026051.47课后答案网www. khdaw. com#课后答案网www. khdaw. com22.从（0. 1）中随机地取两个数.求:（1）两个数Z和小的概率$5（2）两个数Z积小于丄的概率4设两数为切，则06（1）旳 y.51 4 4p、= 1- 2 ''=0.681125

11、Ogg.#课后答案网www. khdaw. com#课后答案网www. khdaw. com23 设尸（力）=0 3,凡5戶0 4尸3方）=05,求尸（万lU方）MlPA-P(AB)ZV0+ 玖B)-，(為#课后答案网www. khdaw. com0.7-0.510.7 + 0.6-0.5424在一个盒中装冇15个乒乓球，Jt中冇9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比 赛后放冋原盒屮；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的 概率.B1设4=第-次取出的3个球中仃/个新球,戶0,1,2,3 $=第二次取出的3球均为新 球由全概率公式，有3z=08课后答案网www. kh

12、daw. com#课后答案网www. khdaw. com= 0.08925按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生仃90%的町能考试及格，不努力学习的学 牛何90%的町能考试不及格据调査，学牛中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多人可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生仃多人町能是努力学习的人？im设缶被调査学生是努力学习的,则灭=被调査学生是不努力学习的由题意知尸（力）=08, P （力）=02, 乂设冬被调査学生考试及格由题意知尸（恥）=09 P（M） =09,故由贝叶斯公式知吊）4占冏40卢（方*）+只力圧闵刀02x0l0.8x0.9 + 02x0.1即考试及

13、格的学生中不努力学习的学生仅占2.7C2%C)5=迢=少厢0十#课后答案网www. khdaw. com#课后答案网www. khdaw. com0.8x0.!4_ = 0.3077 0.8x0.14-0.2x0.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30 77%26将两信息分别编码为力和方传递出來，接收站收到时，力彼谋收作方的概率为002,而3被谋收作力的概率为001信息AB传递的频繁程度为2： 1若接收站收到的信息是 A.试问原发信息是川的概率是多少？IM 设缶原发信息是虫,则=原发信息是Be收到信息是虫,则=收到信息是方 由贝叶斯公式，得佗）只电）_4同尸（牛）+尸（軌（申）= 0.

14、994922/3x0.98一 2/3x0.98+1/3x0.01在已冇两个球的箱子屮再放一白球.然后任意取出一球.若发现这球为口球，试求箱子屮原令一白球的概率（箱屮原右什么球是等町能的颜色只有黑.白两种）m设知箱中原们个白球 za由题役条件血3斗口2又设*抽 出一球为白球由贝叶斯公式知1=02/3X1/3 1 1/3x1/3+2/3x1/34-1x1/3 328某工厂生产的产品中96%是介格品，检査产品时，一个介格品被谋认为是次品的概率 为0 02, 个次品被误认为是合格品的概率为0 05,求在被检代后认为是合格品产品确 是合格品的概率.Ml设店产品确为介格品,产品被认为是介格品由贝叶斯公式得

15、1玖B）只时（+佗）羽力）=0.96x0.98-0.9980.96x0.98+ 0.04x0.0529某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的s “一般的 "y失的”.统计资料表明，上 述三种人在一年内发生事故的概率依次为0 05,015和0 30：如果"谨慎的”被保险人 占20）. “一般的”占50%. "n失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了出故， 则他是'谨慎的”的概率是多少？Iff 设缶该客户是“谨慎的” ,尿该客户是“一般的” ,*该客户是“冒失的” , ZH该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得尸（时（刀|力）玖 B）玖 D 方）+ 尸（6

16、4 刀 | G= 0.05702x0050.2 x 0.05 + 0.5x0.15+ 0.3x 0.330加工某一零件盂耍经过四道工序，设第一、二.三、四道工序的次品率分别为0 02,0 03,0 05,0 03,假定乞道工序是相互独立的，求加工出來的零件的次品率 m设第/道工序出次品（/=1二3,4）.Z=1= i-A)A)A4)= 1-0.98x0 97x0.95x0.97 = 0.12431. 设每次射击的命中率为0 2,问至少必须进行*少次独立射击才能使至少击中一次的概 率不小于0 9?M】设必须进行刀次独立射击.l-(0.8)w >0.9即为(0.8)" SO.1故力

17、$11至少必须进行11次独立射击-32. 证明：若尸(丨万)=%/|万)，则4方相互独立.亦即PAB) P(B) = fAB) M4 必)1 - 只刖= A)- P3邸“因此PAB) =玖仲故月与3相互独立.33三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为丄，丄，丄，求将此密码破译出534的概率.M】 设4=第/人能破译(戶1,2,3),则3 _ 一 _CU4) = 1- 44禺禺)=1- p尸 s Z=1 4 2 3 5 3 434甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是04,0 5,07,若只有一人 击中,则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6

18、；若三人 都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.ua设冬飞机被击落, *(恰有/人击中飞机, m,3由全概率公式，得34处工心§)43)f=0=(04X0 5X03+0 6X0 5X0J+0 6X0 5X0 7)0 2+(04X0 5X0 3+04 X05X 0 7+0 6X0 5X 0.7)0 6+0.4 X05X0711课后答案网www. khdaw. com=045835. U知某种疾病患者的疥愈率为25%,为试验一种新药是否仃效，把它给10个病人服用, 1规定若10个病人屮至少仃四人治好则认为这种药仃效.反Z则认为无效，求：（1）虽然新药有效，H.把治愈率提高到35

19、%,但通过试验被否定的概率（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.ffl（1）召=£幣（0.35）*（0.65）心=0.513810(2) p】=2 C 侖(0.25)气O75)n = 0.2241A=436 一架升降机幵始时冇6位乘冷斤鸽M能地停于十层楼的每一层试求卜列事件的概率:（1）缶“某指定的一层有两位乘客离开"；（2）冬“没仃两位及两位以上的乘客在同一层离开"：（3）* “恰有两位乘客在同一层离开J（4）D= “至少有两位乘客在同一层离开”.M 由每位乘客均町在io层楼屮的任一层离开，故所有可能结果为"种.（1）C9A) = -h106

20、也町由6亚贝努里模熨:（2）6个人在十层中任意六层离开，故（3）由于没有规定在哪一层离开，故町在十层中的任一层离开，白C；。种可能结果，再从 六人中选二人在该层离开，仃C：种离开方式贞余4人屮不能再仃两人同时离开的情 况，因此可包禽以卜三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在苴余 8层中任一层离开，共有 WG种可能结果；4人同时离开，有C种町能结果； 4个人都不在同一层离开，仃时种可能结果，故g = C；oC：(C；C：C； + C； + P/)/106(4) D=方故fio37. 个朋友随机地圉绕陨I桌而坐，求卜列爭件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起.且乙坐在甲的左边的概率;（2）

21、甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果力个人并排坐在长桌的-边，求上述事件的概率m （1）刀一1C）3!（力 _3）!（刀一1）!“、J S-1）!1.31（77-2）!八丄G） P =_化=:宀3n nn38. 将线段0, 4任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率 rm设这三段长分别为兀r,心r则基本爭件集为由Q<x<at0<j<atQ<-x-j<a所构成的图形，冇利爭件集为由x+ y> a- x- yx+ （a- x- y > y，+ （a- x- j） > x构成的图形，即0 V才V纟20 < y< 2彳<

22、才+y<a如图阴影部分所示，故所求概率为左=?39某人冇刀把钥匙，具中只仃一把能开他的门他逐个将它们去试开（捕样是无放冋的）. 证明试开次（宀1,2,）才能把门打开的概率与十无关.pl 1WE1左=,仁1,2,，力P”力40把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体屮，随机地取出 一个,试求它有/面涂有颜色的概率P（4）（>=0,1,2,3）.EM设4=小立方体有/面涂有颜色，日）,1,2,3.在1千个小立方体中，只佇位丁原立方体的角上的小立方体是三而有色的，这样的 小立方体共有8个贝有位于原立方体的棱上除去八个角外）的小立方体是两面涂 色的，这样的小立方体丿仃

23、12X8=96个同理，原立方体的六个面上（除去枝）的小 立方体是一面涂色的，共仃8X8X6=384个.）5余1000- （8+96+384） =512个内部的 小立方体是无色的，故所求概率为A4） = 0.512,/XA） = 0384 ,1000勺 1000968尺仏）= °°96, A4） = 777 = 00081000100041对任意的随机事件力,B、C、试证rsiP IAB +P kAC P (方U) WM“ > 7虫(方U Q=尺曲UNG=PAB) + JAC) 一 PABC) > 1AB) + JAC) - PBC)42. 将3个球随机地放入4个

24、杯子中去，求杯屮球的最人个数分别为1. 2, 3的概率Iff设4=杯中球的垠人个数为尸1二二将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有羊种，杯中球的最大个数为1时, 每个杯中最多放一球.故而杯屮球的绘人个数为3.即三个球全放入一个杯中.故A4)=431616课后答案网www. khdaw. com#课后答案网www. khdaw. com因此31943. 将一枚均匀硕币掷2/7次，求出现正面次数多丁反而次数的概率.【解】掷S次哽币，町能出现：冬正而次数多丁反而次数,尿正而次数少丁反而次数, e正面次数等于反面次数，A. B、C两两互斥.可用对称性来解决由F硬币是均匀的,故尸 3 =p （方）.

25、所以A） =2由5币;贝努里.试验中正面出现77次的概率为ao=喝）”（y故4同冷1-C打圭44 掷方次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率m 设士出现正面次数多r反面次数,尿出现反而次数多r正面次数,曲对称性知 p（月）=p （方）（1）当刀为奇数时，正、反面次数不会相等由户（力）+户3）=1得户（力）=户（刀=0 5（2）当力为偶数时，由上题知#课后答案网www. khdaw. com#课后答案网www. khdaw. com45设甲掷均匀硬币卅1次，乙掷"次,求甲掷出正面次数多F乙掷出正面次数的概率17课后答案网www. khdaw. comvn令甲产甲掷出的正面次数，甲

26、尸甲掷出的反面次数.乙产乙掷出的正面次数，乙,二=乙掷出的反面次数.显然有（甲正 > 乙1：）=（甲wW乙=（卅1一甲,W旷乙反）=（甲d +乙反）=（甲!4>乙反）由对称性知尸（甲少乙Q =P（甲“乙Q 因此只甲少乙a246 证明“确泄的原则”（Sure-thing）：廿卢（詞0） 2只00,占0）$只4匕），则户（川Mg【证1由P （|<7）事凡5|6得4旳4羽g - P0 '即有JAQ > PBC）同理由JAC）>/BC）,得只逅 > 只免，故JA） = P（AC） + P（AC） > PBC） + PBC）=玖B）47列火车共仃&quo

27、t;节车厢，P 如舟个旅客上火车并随息地选择车厢求每一节车厢内至少 有一个旅客的概率.ua 设句第/节车厢是空的,（戶1,），则耳幻=纟学=q丄广nn44冯）=（1 一 3n只舛4化）=Q-亍r其中 曲,4是,2, ,刀中的任宀1个.显然"节车厢全空的概率是零，丁是18课后答案网www. khdaw. com2工 w）Y（r）知1 =彳=019课后答案网www. khdaw. com#课后答案网www. khdaw. com= §-爲+送-+(-1严爲= cta- y 一 c：(i 一纣+(_i)"c j(i- y nnn故所求概率为i-AU4） = i-cLa-

28、/ + c；（i-y- -FC-ica-/nnn48设随机试验中,某一事件力出现的概率为£>0试证明：不论£>0如何小，只要不断地独 立地币:复做此试验，则迟早会出现的概率为1【证】在前刀次试验中，力至少出现一次的概率为1-(1- £)" -> 1(/7 T co)49袋中装有加只正品硬币,只次品硬币（次品唤币的两面均印有国徽）在袋屮任取一只, 将它投掷/次，已知每次都得到国徽试问这只锁币是正品的概率是多少？KM设+投掷碾币/次都得到国徽尿这只硬币为正品由题知 mnA) =U =/n+ nm+ n则由贝叶斯公式知玖命 只冈4力|句+只切

29、只fn 1=n 2加+2Sm 1 n|>w+ n 2r n50巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有"根火柴，每次用 火柴时他在两盒中任取-盒并从屮任取根试求他苗次发现一盒空时另一盒恰仃厂 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰冇/根的概率又 有多少？【解】以3、厶记火柴取口不同两盒的事件，则（4）= |（1）发现一盒已空，另一盒恰剩/根，说明已取了 Mr次，设次取n歼盒（已空），沪/次取自§盒, 第2介卅1次京起万 1，发现已空。把取 Xr次火柴视作2旷厂币:贝努里试验，则所求 概率为加2益占）”（扩.卜啓希式中2反

30、映万I与5盒的对称性（即也可以是血盒先取空）.（2）前2宀宀1次取火柴，右”1次取自盒，/w次取口厶盒，第24/次取自厶 盒，故概率为51求"重贝努里试验中出现奇数次的概率.Ml 设在一次试验屮虫出现的概率为p则由（?+ p）n = cV +1 + G# 严 + + c>V = i（彳- Pn = c>V + 0>严 + c 莎严-+（）"c>V 以上两式相减得所求概率为P、=亡卫旷' + dW +乙冷1-（1-2莎若耍求在力重贝努里试验中力出现偶数次的概率，则只耍将两式相加，即得p 冷1+Q-2"52设N,方是任意两个随机爭件，求欠（.A+B）（川0 （ 7 +万）（国万）的值.Ltn 因为（num n（ 7 u 万）=aB u ab（灵u方）n （nu万）三初u石所求Q+冈（力+ S）（N+万）（力+万）=（力万1）刀）0（册+丽=0故所求值为o53设两两相互独立的三事件，A.方和C满足条件：ABC=.只刃=凡5）=只0V 1/2,且尸（加U万UC） =9/16,求尸 3 .Iff由只/U占UG =玖命+玖B）+ g Pgi pg） p©6+ PW69= 3-32 = 16故g =丄或按题设PS vZ,故尸 3 =丄442454设两