概率论与数理统计浙大第四版课后答案(盛骤谢式千潘承毅著)高等教育出版社

1、概率论与数理统计习题二参考答案1、将一颗骰子抛掷两次，以心表示网次所得点数之和，以X：表示两次得到的点数 的最小者，试分别求&和X：的分布律。解：X】可取 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12p(X = 2) = P(l,l)=丄丄=丄16 636P(X. = 3) = P(”12V21”)=丄丄+丄丄=2_16 66 636p(X = 4) = P(%3” J22U31”) = lxl + lxl + lx 丄6 66 66 636所以Xi的分布律为Xx23456789101112K1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36X

2、：可取的数有1、2、3、4、5、6P （X：=1）=P （31,5”53,1忙”4,1忙”5”261”）=所以X：的分布律为X：123456巳11/369/367/365/363/361/362、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X表示取出次品的只数,求X的分布律。 解：X可取0、1、2px=0=£ = £PX = 2=著V1O 1J115 3、进行巫复独立试验。设每次试验成功的概率为“(Ovpvl)(1) 将试验进行到出现一次成功实验为止，以X表示所需试验的次数，此时 称X服从参数为"的儿何分布。求X的分布律。(2) 将试验进行到出现/次成功为止，

3、以丫表示所需试验的次数，此时称Y服 从参数为八"的巴斯卡分布。求丫的分布律。解：（1） PX=R=p（l-p）'T,R = l,2，（41次未成功，最后一次成功）（2）Px=k= C；m）-,k = t + 1.4、下列表屮列出的是否是某随机变量的分布律?X1230.40.50. 1X-101玖0.20. 30.4解：(1)是 (2)不是，因概率之和不为15、(1)设随机变量X的分布律为PX =k=,k = l,2.,NN试确定常数a(2)设随机变锻X的分布律为PX =，R = 12试确定常数b(3) 役随机变量X的分布律为PX = k=c,k = 0,1,2A > 0

4、为常数, k试确定常数CNN a解：(1)工PX=R=X = a = l, ci = IA=1A:-l N2,3030f 2 A*丁 ui(2)工PX = R=工寸=2b = 1, b =*=i*=i V371 2 3(3) ±PX 詡=fck=O4=06、设随机变量X的分布律为PX = 1,2,3,4,5其分布函数为尸(Q,试求:(1)(2) P1<X <2,121I=15 155解:(1)< X <= PX = 1+ PX = 2=121(2) Pl<X <2= PX = l+PX =2 =- + = -1513(3) 4£ = px

5、 <| > = 07、一大楼装有5个同类熨的供水设备。调査表明在任一时刻/每个设备被便用的 概率为0.1,求在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率；(2) 至少有1个设备被使用的概率：(3) 至多有3个设备被使用的概率。解：设X表示设备被使用的个数则 X b(5,0.1)(1) PX = 2= CO.lHo)3 = 0.0729(2) px>l=l-PX =0=1-0.95 = 0.4095(3) px <. 3= 1-= 4- PX = 5 = 1 -(0.lHo.9)1 -C/(0.l)5 = 0.999548、屮、乙两种味道的酒各4杯，颜色相同。从中挑4杯便能

6、将屮种酒全部挑出, 算是试验成功.(1)某人随机地去挑，问他试验成功的概率是多少？(2)某人通过品尝区分两种酒，他连续试验10次，结果成功3次，问此人是否 确有品尝区分的能力？(设各次实验相互独立)解：所求概率为：厶=丄C； 70(2)令试验10次中成功次数为X ,则X *(10,),70Px =3 = c；°x(寻)(男)*316xl(r显然X =3是一小概率事 根据小概率爭件实际不可能发生原理，可以认为此人有一定品尝区分能力.9、菜商场每丿J销售某商品的数量服从参数为3的泊松分如。问在月初进货时要 进多少此种商品，才能保证此商品当刀不脱销的概率为0. 999?解：设X表示当月销售

7、量，则要使Y = 0.999査表得工一=0.000292 < 1-0.999 = 0.001所以在川初进货时耍进此种商品10件，才能保证此商品当刀不脱销的概率 为 0. 999。10、每年袭击某地的台风次数近似服从参数为4的泊松分布。求一年屮该地区受 台风袭击次数为3'5的概率。解：设X表示每年袭击某地的台风次数P3<X <5= PX <5-PX < 2= 1-PX >6-(l-P%>3)=（PX >3）-P（X >6=0. 76189-0. 21487=0. 547027所以一年中该地区受台风袭击次数为3、5的概率为0. 5470

8、2711、有10台机床，每台发生故障的概率为0.0&而10台机床工作独立，每台 故障只需一个维修工人排除。问至少耍配备儿个维修工人，才能保证有故障而 不能及时排除的概率不大于5%o解：随机变W： X 发生故障的机床的台数则X 5(10,0.08)设配备个维修匚人(0 </ < 10)则“有故障而不能及时排除”事件为x > n PX > n= f C；o(0.08/(O.92)zHXE(2 = 0.8)査表h + 1 = 3,/i = 2 时 PX > 2= 0.0474 <0.05PX >1)=0.551 >0.05所以至少要配备2个维修

9、工人12、有-繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。设每辆汽车在一天的某段时间 内出事故的概率为0. OOOlo在某天的该时间内有3000辆汽午，问出事故的次 数不小于2的概率为多少？解：设出事故的次数为X,所求为PX > 3A = np = 3000 x 0.0001 = 0.3px >3=2L一 = 0.0036i=3 kl所以出事故的次数不小于2的概率为0. 0036设X服从二项分布,其分布律为PX = k= 於(1-旷K=0, 1, 2,n,问K取何值时PX = k最大?(2) 服从泊松分布，其分布率为赵詡=务k=0, 1, 2PX=kPX=k-l问K取何值时PX=k大?(1

10、)("一 1 + R)P kq + (n-l + k)P-kq_ i S + i)P_(p+q*kqM >1k = ( + l)p 时,M=l,此时PX =R = PX =R-1k > (n + l)p时,M <1(n + l)p -1,(" + l)p,若(“ + l)p为整数5 + 1) p,若5 + 1) p为非整数(2)对于泊松分布P(/l),由可知当Rv久时,P(i-l;2)<P(*;2)当兄时，P(k l；a)> P(k几)当R 二兄时*, P(A,A) = P (A-1;A)故可得：泊松分布的通项P(k;A)当R由0变到刀时，单调

11、上升，并且在R = /l时，达到最大值P(补刃；当R超过久继续变动时，P伙;刃单调下降，即若兄为格数>4若久为非整数15、写出泊松分布和二项分布的分布函数16、设0x<0连续型随机变量X的分布函数为F(x) = Ax20<x<l求1x>l常数A(2)概率密度函数(3)PX<l/2 ： PX >3/2；P(0<X <2o解法一：由丁连续型随机变最X的分布函数是连续的01 = F (1)= lull F(x)= Inn Ax2 = A /(x) = (X) = 2x x > 1X > 10x <00 < x < 1

12、X>11/21/2PX <l/2= J7(x)dx = j2xdx=l/4或Px < 1/2= F(l/2)= 1/4-x0px >3/2= J7(x)dx= JoJx = O 或3/23/2px >3/2=l-PX <3/2=l-F(3/2) = l-l = 0P0<X <2= j/(x)dx = j2xdx + jOdx = 1 或 0 0 1po<x <2=F(2)-F(0) = l-0 = l0解法二：/(x) = F(X) = 2Axx < 00<x<lX>10由 1 二 J f(x)dx =2A.v

13、J.v =A :. A = l 其它同解法一X0 < x < 117、已知随机变量X的概率密度为：/(x)=-2-xl<x<20其它求(1)分布函数F(X)(2) PX < 0.5, PX > 1.3, P0.2 < X<1.2解： F(x) = PX <x=f(x)dx0x<0罕0<x<lf -x)dx= 2v-x2/2-1l<x<2f xd.町(1-.v)Ja+ Odx= 1x>22)解法一 PX < 0.5=尸(0.5) = 1/813?、PX >1.3=1-F(1.3) = 1- 2x

14、1.3一-一1 =0o 245P0.2 <X <1.2= F(1.2)一F(02) = 0.66:分别求积分+8f 0.5fl .2P(X > 1.3) = 3 f(x)dx. PX <0.5 = Jx/(x)Ja P0.2 <X<1.2 = R/(x)d儿18、设随机变最X服从参数为的&指数分布，确定常数c,使PX>C=丄2解：指数分布的密度函数为PX >c=l-PX <>c=l-匚fx)dx1-伫/厶-兀）dx=1- f°0Jx- Oe'dx = e'ce =丄J-H Jo21112/. c =0

15、19、某种电子元件的寿命X （以小时计）具有以下概率密度x>1000其他1000/W = 5_，0.现有一大批此种电子元件（是否损坏相互独立），从中任取5只，求至少取得2只其 寿命大T 1500小时的概率解：此相当于五雨贝努利试验，用x表示寿命大T- 1500小时的只数Px > 1500 = 1 - PX M 1500 = 1 - f ： fgdx"000fl 500=1L /心皿/厶f1000f15O01000 f=1- Oav -dxJ-XJ1000 y-2一亍则 PX > 2 = 1 - PX = 0 - PX = 123224320、设顾客在某银行的窗口等待

16、服务的时间X （以分计）服从指数分布，其概率 密度为x > 0 其它某顾客的习惯是,等待时间超过10分钟便离开，现知他一个月要到银行5次，求他 受到服务的次数不少丁 1的概率.分析：顾客一个刀到银行5次，每去一次只有两种结果：受到服务和没受到服 务，所以相当于5重贝努利试验 等待10分钟受到服务的事件记为A = X<IOfio. fio 1“.P(A) = PX S 10 = j_x/(x)Jx =£ -ex/5dx = l- e/ PX >c= PX <c:A = 2PX < c设顾客一个JI内受到服务的次数为y耍求的是pr > 1Y h(5A

17、-严) PY 2 1 = 1 - PY = 0 = 1 - (严尸0.99821、设X N(3,2'),求(1) .P2<x<5;PH<xS10;P|时>2, Px>3(2) 确定 c 使 Px>c=Px<c.解：(1) P2 vX <5=O= 0(1) 一2>=0.8413-1 + 0.6915 = 0.5328P-4<X/=0(3.5)-(- 3.5)= 20(3.5)-1 = 0.9996PX|>2=PX <-2ux > 2 = PX < -2+ PX >2=(-2.5)+1 -(一 0.5

18、)=0. 6977PX >3=1-PX <3 = l-O1-0.5 = 0.5:A-PX <c= PX <c齐 PX < cc 3T=0 => c = 322、由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数“=10.05, b二0. 06的正态分布。 规定长度在10. 05±0.12内为介格品。任取一螺栓，求其不合格的概率.解：设螺栓的长度为X所求概率为l-P10.05-0.12 <X < 10.05 + 0.12严+ o.i2 io纠+°0.0610.05-0A2-10.05)=0. 04560.06 丿所以不合格率的概率为0.

19、0456.23、某厂生产的某种建筑材料的强度X服从参数为/= 180, <t = 10的正态分布.一购货方在一大批材料中任取了 10件,，声称有多J* 2件的材料强度低丁- 160便 拒绝接收.问这批材料被接收的概率是多少？解：用兀表示材料的件数px >160=160-180 j-1 -0.0228则x服从参数为妙=10x0.02280.2的泊松分布所求为 1_ PX > 3,査表得-Px>3 = -0.001 I = 0.998924、求标准正态分布上a分位点。(1) Zq.oi , Zq.003PX > Zool = O.Ol,即PX "ooJ =

20、1 0.01 = 0.99(S) = 0.99査表得s = 233.同理得5如=2.7525> 28、31、盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.任其中任収4只球，以X 表示取到黑球的只数，以丫表示取到红球的只数.(1) 求X、丫的联合分布律(2) 求(X、Y)的边缘分如律(3) X、Y是否相互独立解：(1)X0123P1/3512/3518/354/35(3) PX = 1.Y = 2= 12/35,= 2= 18/35, py = l = 4/7PX = 2 PY = 1 = = 24535245所以X与丫不相互独立.26、设随机变量(X, X)的概率密度为ke'ix4y

21、x>0,y>00, 其他求(1)常数紅(2) P0<x<l,0<y<2;(3)分布函数。设随机变量(X, Y )的概 率密度为/(") =JC+卩/3, 0 < x < L0 < y < 20,其他>求px+y>lo设二维随机变鼠(X, F)00的概率密度为0,其他0 < x < y 求边缘概率密度。30、33、如右图,设二维随机变彊(X、Y)的概率密度为0 < x < 1, -x < y < x其它(1)求边缘概率密度(2)X、y是否相互独立.fx W = j_x f(x9y

22、)dy时fx a)=匚/(儿y)dy =匚扌兀血=3x23x20 < x < 10 其它同理 fy(y) = jf(x9y)dx 当-l<y <1 时九(沪雳加冲iw)r(y)F4(1-r)o0 <x <1其它 Au)/r(y) = i 4Ovxvl 且一 lvyvl其它00显然 £(XM(Y)"(X,Y)0X与Y不是相互独立的.32、设（X、Y）分布规律为XY1211/61/321/9a31/18p问Q. “取何值时，X, Y相互独立？解：先求边缘分布律即得：91a 厶 /? = -时X与Y相互独立34、设X、丫是和互独立的随机变量，且

23、都服 99从（0,1）上的均匀分布。试求方程T + xx+y = o有实根的概率.分析:x2 + Xx+r = oWIK<=>x2-4r: >o所以,所求为PX2- 4尸0这样，该题可看作二维随机变量（X、丫）的概率计算，先求（X、Y）的联合概率密度.由已知10 < y < 10 其它0 <兀 <1其亠 yOvxvl 且 0v）其它PX:-4r >0 = jj/(x,y)dxdyX与丫相互独立=JJdxdy = fd.q dy =丄Gl35、设X、y是两个相互独立的随机变鼠, X在（0. 1）上的均匀分布，y的概率密度为（1）求x和丫的联介概率密

24、度：0 <x <1其它X、丫相互独立.X、丫的联合概率密度为:,0 <x <Uy > 0 其它1 斗.J（x, y）= fx（x）fy（y）=he 0（2）当 = 4（x，-y）no时，方程有实根p4（x条件概率密度 求Z的分布规律。 解:（1）解法一 v %. 丫相互独立-r）>o=px2>r2 £= px£x V7Jr=o. 1445x > 0x <= 0A （刃-38、设x和y是相互独立的随机变量,其概率密度为y >0y <= 0其中久>0,“>0,为常数。引入随机变量zX <YX&g

25、t;Y-fxY（xy）= fx（x）=久严,x > o0, x<Q解法二/x|y（xy）=/（兀刃独立人CO人（刃AGO =人0）人严,x > o0. x<0（2）pz = o=px >r, pz = i=px <y /（忑刃=W（D,x>0>00,.px > Y= dx和严"、dy乂px <y=-px >y=a/ + A分布律为100X20x>100x<100Z01AP“ + 2/ +A39、某类电子管的寿命X （以小时计）的概率帝度为求-喋无线电在放初使川的150个小时屮，所装的3个这样的电了传都不盂耍

26、替换的概率是 多少？ 3个管子全需替换的概率是多少？（设3个电子管的寿命相互独立） 解：PX >150=£/a- = -i° .i3三个电子管的寿命相互独立，此实验相当丁三巫贝努利实验，以“表示使用150小时不需要换的电子管的个数8=27p“ = o=c；®（m 胡40、设随机变分布规律为X-101Pk0.30.40.3求Y = 2X'+1的分布律。解：X-2-1013Pk1/51/61/31/1511/30求y2X，的分布律。 解:Y的分布律为Y0149P1711153053042、设 X(O,1),求 Y = ex (2)r = 2X2 + l,

27、 (3) Y = X 的概率密度.解： Fy(y) = PY < y = Px < y当yWO 时，Fy(y) = O当 y0 时 Fy(y) Px<lny=F(lny) Fr(y)=Py <y = p2X: + l<yFY(y) = PY<y=P-y<x<y=Fx(y)-Fx(r y)Zv(y)+A(-y)=43、设电流I是个随机变量,均匀分布在9A、11A之间，此电流通过2G电阻,消耗的功率w = 2厂。求W的概率密度解:/(0 = 0、其Fw(t) = PW <t=PI2 </=p-V7/V2 < / <V7/a/2

28、=尸彳备一行（0）, / >0由丁电流大丁 0其他为o,162<Z<2425代244、设随机变斎X的概率密度为厂，x>00,其他求Y=X，的概率密度。解：当 yno 时，耳（刃=py "二px 乜 y二 P（-“5X W J7f(x)=耳-Fx(-Qynoo ,y <045、设X、丫的分布律为X012Y01Pk1/23/81/8Pk1/32/3且X、丫相互独立，求X + Y的分布律。解：设z = x+r, Z的可能取值为X 1. 2. 3pz = o= px = o,y = o= px =opr = o=1x1=1分布律为：X、Y独立同分布，概率密度函数

29、为具屮入0,卩0为常数，求X+Y的概率密度。x>0x<0A(y)=y>0y<0"- eA:） 2 工“ 办林（込）=（才心"：2 = 心=J2/严心& =久“严J e)xdx00解:（&Y）的联介分布为<(2)= f(x,z-x)dxYZ=X+Y的概率密度为f（xzx）的非零区域为积分得: x、丫独立同分布，概率密度西数为/W =(x>0Z-x>0或?>0Z>x求X + 丫及X-Y的概率密度。48、X. 丫相互独立，证明：若X 才（人）“龙（心”则X + Y才（人+仏）2X 龙(人)=>PX=kN

30、才丫龙(人)=> PY=j=a+2 j+x,)i=0丄2,PX+Y-i- P|JX =R,Y = i R=£pX =匕丫 =：一灯而 X 与 Y 相互独立k=04=0所以 PX+Y=i= £/亿=灯.卩丫 = i«0故x + y兀(人+心)1000/W= VI 0、50、X、Y分别表示两个不同的电瘠件的寿命(以小时计)，并设X和Y相互独 立，且服从同一分布，其概率密度为,x>1000其他求Z = y的概率密度解：解：设X表示电子管的寿命，Y表示寿命小丁 180的电子管数PX <180=(1)= 0.8413则 7-5(4,08413)PY = 0

31、= C；(l-0.8413)=0. 00063所以 0. 0006351、设X、丫为相互独立的随机变最，它们都服从N(0,钦)分布.证明Z2 / p，Z = Jx' +厂的概率密度为.L京"8Z-°0其它解：(x、y)的联合概率密度函数/Uy) = AU)A(y) =亠严片小“竹=PJx' + y < z2兀bz v0时代=oz n o时Fz二刃厶心Z>0其它25> 28、31、盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以丫表示取到红球的只数.（1）求X、丫的联介分布律（2）求（X、Y）的边缘分布律

32、（3）X、丫是否相互独立解：（1）x、y的联介分布律为:0123000g C：g C；i0c；c；c；C；c；c；c；C；C；C； C；2c；c；uc；c；c；C；g0（2） （X、丫）的边缘分布律为:XY0123J0003/352/355/35106/3512/352/3520/3521/356/353/35010/35R1/3512/3518/354/35(3) px =l,y = 2= 12/35,= 2= 18/35, P(y = l=4/7 px = 2砒=1二21工昱=竺1 丿 i 丿 24535245所以x、 丫不相互独立45、设X、丫的分布律为X012Y01Pk1/23/81/

33、8pk1/32/3且X、丫相互独立，求X + Y的分布律。 解：设Z=X + Y, Z的可能取值为0、1、2、3/w=f宀>0 0,x<0pz = o= px = o,r = o= px =opy = o=|x| = | 分布律为：X+Y0123P11171624241247、X、丫独立同分布，概率密度函数为求X + Y及X-Y的概率密度。 解：（1）令 Z = X + Y代公式f/z)=f(xtz-x)dx (|大 1 独立)fx(x)fy(z-x)dxjv > 0时，即彳 时fx(x)fy(z-x)不为0Z> v所以当"V 0时，fz（乙）=0当X20时，

34、fz(z)=ex-ezx)dx = ze:八、xe-x>0I 0. x<0(2)令Z = X-Y代公式fz(z)=f(xfx-z)dx (因独立) = jfx(x)fY(x-z)dxx > 0时，即彳时fx(x)fY(x-z)为0x> z所以当Z>0时,fz(Z)= exe-:dx=z当z<0时,卄0”0249、解：代公式/z(z) = £x|y|/(yz,y)dyf x>0非零域为 y>1000yz >1000当ZVO时，fz(z)=Q当0 V z v 1时f2(z) = yf(yz )f( y )dy =區 y1000 100

35、0r rr:y-当 z>i,(z)=Cyf(yz)f(y)dy=Cy10001000> y ryz y12?概率论与数理统计习题三参考答案某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次，每次随机地取10件进行 检验，如果发现其中的次品多于1,就去调胳设备。以X表示一天中调整设备的次数，求E(X)O (设诸产品是否为次品是相互独立的。)解：解法一 用丫表示10件中次品的个数，贝ijY 3(1001)而X表示一天中调整设备的次数，X B(4、p),p=pY>2 py > 2=i-pr = o- py = 1= 1-C°(l-O.l)10- C：o 0.1 (1 - 0

36、.1)9 = 0.264 E(x)= 4p = 1.056解法二 设X,为发现次品数a发现次品数小j：等H< 1,次品数大于1'i = 1,234则 X = X1 + X2 + X3 + X4E(X) = E(X J+ E(X J+ E(X,) + E(XJ.pXi = o=川次品数等于o+ p次品数等于1= C°(1- O.l)10 + (1 0.1)9 = 0.743. px, =l=l-px. = o= 0.264 /. E(X) = 4x0.264 = 1.0562将3只球随机地逐个放入4只编号分别为1, 2, 3, 4的盒子中，以X表 示至少有一只球的盒子的最

37、小号码，是求E(X)O解:解法一 X可取1、2、3、43764忙3=空严；-764PX=4=A(丿 46437971 25/. E(X) = lx +2x + 3x + 4x =64646464 1695 o解法二 /. E(X) = lx +2x +3x =16 16 16 163.若随机变暈X的分布律为P卜(-1)冷卜寺，=i,2,，E(X)是否存在。-MC+« / t V+11 十R1解：e(x)=ep = Y(一)F 歹一 £(-1厂二=/«11=1 !«1”4.设随机变量X的分布律为-2 0 2Fjk 0.40.30.3求E(X), E(X2)

38、, E(3X'+5)。解:E(X) = -2 x 0.4 + 2 x 03 = -0.2E(X2) = 2.8E(3X' + 5) = 1345.设随机变量X的概率密度为f, x00x<0fW =求(1) r = 2X,(2) Y = e2X的数学期與。解:E(2X) =匚 2 W)dx = 2xe'xdx = 2E(严)=匚 e-2xf(x)dx =广 exdx = |Y)的概率密度为6.设二维随机变最（X,/(兀 y)=12y ,0 < y < a: < 1 其他求E(X), E(Y) 9 E(XY), £(X2 + r2)o0,解

39、：fx(x)= P /(x,刃dy = 12y'dy=4x，0 < x < 1 /. E(X) = xfx (x)dx = £x-4x'dx = y 同理求得：E(Y) = |E(XY) = fj x>/(x, y)dxdy = £ dx卩 I2y:dy GE(X' + 尸)=JJ(P + y2 )/(x,刃 dxdy=仏(宀冋12皿遗7.设随机变量X、X2的概率密嵐分别为x>0x<0y >o0.x<0(1)求 E(X】 + XJ, E(2X-3X；)； (2) 乂设 XX：相互独立，求E(X|XJ。解：(1

40、)据期與的性质E(X】 + XJ = E(XJ+E(XJ=匸 M Mdx + 匸 xf2 (x)dxE(2X _3X：) = 2E(XJ-3E(X；)= 2x23Lx2'xx=2x-sC9 x2-4e4xdx-2 Jf8(2)若X" X?相互独立 e(x】xj = e(xje (X2) = lxl = l8.将n只球(1口号)随机地放进n只盒子(1口号)中去，一只盒子只能装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，则称为一个配对。记X为总的配对数，求E(X)O姬洛(0,第i只球没有装入同号盒解1设"(1,第i只球装入同号盒则兀的分布律为01(11Pi1nxux2心相互独

41、立X =£ F xnE(X) = E(xJ+ Eg) + + E(xn) = /i- = 1 n设X, 丫是阳个相互独立的随机变屋，其概率密度分别为“、,y00,其他fx (x)=2x, 0 < x < 10,其他fy (刃=求 D(X + Y) o解：因为X, 丫相互独立/. D(X + Y) = D(X)+D(Y)乂 d(x)= e(x2)-(e(x)2E(X2) = x2fx x)dx = £x: -Ixdx = yE(X)二匸xfx (x)Jx = |.D(X) = E(X2)-(E(X)2=1-lo同理求得D(Y) = 119 D(X + Y) = D

42、(X) + D(Y)=1810. 社随机变量X的数学期望为E(X),方差为D(X) (D(X)>0),引入新的随机变最X *=X"(X),验证e(x=o, D(xj=l。X*称为标准 Jd(x)化的随机变磺。-E"E今仲吋"卅笠晋I其中 D(X - E(X)=E(X E(X)2 一(E(X E(X)2= E(X2 -2XE(X) + EX)-0 = D(X)11. 己知E(X)=1, E(X2)=3, E(y)=O, E(y2)=2, E(xr)=l,求 D(X 4- Y) o解：D(X + Y) = D(X + Y)2- E(X + Y)y=E(X2 +2

43、XY + Y2)-(E(X)+ E(Y)2= E(X2) + 2E(XY) + E(Y2)-(2 (X) + 2E(X)E(Y) + E2 (/)= 34-2 + 2-1 = 612. 设二维随机变w：(x,r)具有概率密度/(兀刃=ft |y|<.v,oo,其他<X<1求 E(X), E(Y)9 COV(X.Y).解：fx (x)=匚 /(x，= £ ldy = 2x, 0 < x < 1 E(X) = xfx x)dx = I lx2dx = | fY (y) = 口(x, y)dx = £ ldx + f dx = 2r+ocpiE(Y)

44、=丄 yfY (y)<v = L/ydy 二 0EXY) = jjxyf (x, y)dxdy = £J.vj' xydy=O G:.COV(X.Y) = E(XY)- E(X) E(Y)=Q13. 设二维随机变暈(XV)具有概率密度-(x+ y), 0 < x < 2,0 < y < 20,其他求£(x), E(r), cov(x,r),pxy,D(x + r).解：人(”)=匚/(y)dy = |(x+yy =» 0<x<2据函数的对称性知:人(x) =匸U, 0<y <242E(X) = E(Y)

45、 = hx (x)dx = £ =Eg) = xyf(x,y)dxdy = £ dx xy-dy =吕G°d4 7 71 COV(X.Y) = E(XY)- E(X) E(Y)= - 3oo 3oCov(X.Y)PxY jD(XyDlY)D(X) = E(X2)-(E(X)2E(X2) = f x2fx x)dx = £x: dx = j. D(X) = - = = D(y)3 3636.°_ Cov(X.Y) _36 _1PXY jD(XyD(Y) 111136D(X + y)= D(X)+ D(r)+2Cov(X,r)=|14. 设二维随机

46、变鼠(X, Y)的概率密度为心杜竹1试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。解：人(切=匚/心，刃血=爲+心=今二同理人(刃=匚/(X,刃办=y7T AWA(y) / (x, y) 所以X和Y不是相互独立乂疋(XK)= E(XY) = jjxyf (x, y)dxdy = j1a>? Jy = 0G龙E(X) = EY) = J = Xfx (x)dx = x-yl-x2dx = 0Cov (X, Y) = E (XY)-E (X) E (Y) = 0D (X)= E(X2) -(E(X)2=1=D (nE(X:) = rx2fx (x)dx = f x2 y/l-x2dx =

47、1JydJt 兀s(x, Y) _o_o Jd(x)Jd(丫) T所以X和Y是不相关。15、设 X,Y 为两个随机变量,且D(X) = 25,D(r)= 36, pXY = 0.4,求 D(X + Y) , D(X + Y) o解宀 j£)(X)jQ(y)/"(XV)= 0.45x6:,Cov(X.Y ) = 12 = E(XY)-E(X)E(K).E(XY) = E(X)E(Y)D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X9Y)= 25 + 36+2x12 = 25D(X -Y) = D(X)+ D(r)-2Cov(X,r).D(X - K) = 25

48、+ 36-2x 12 = 3716、设且设XV相互独立，求Z严宓+ "，和Zz=aX-pY的相关系数(其中z0为不为零的常数)解：Pz® Cou(Z,ZjCov(乙,ZJ = Cov(aX + J3Y, aX - J3Y)=a'Cov(X、X)- a0 Cov(X,Y) + a0 Cov(X,Y) - pzCov(Y.Y)= a2D(X)-PZD(Y)=(a2 - 0')LD(ZJ = D(ctX + 0r)= (a' + 0 廿D(Z2)= D(aX -PY) = (a2 + 0 W_ Cov(ZZ2) a2 - fl217、设X& = 1

49、,2.10)相互独立，且在(0, 1) ±都服从均匀分布，试利用中心极限定理计算Pfjxi6的近似值。 I /-I“解：E(X)=运,DX *) = J210U-i，->6 = 1-P工X, <6>= 1-0.863 = 0.13718、在可靠性试验中，产品损坏的概率为0.05,在试验100件产品中，求（1）损坏不多于5件产品的概率（2）损坏5至10件产晶的概率解：P = 0.05 , n = l00f X 3(100005)(1) PX <5=PX <4X-100x0,05<4-5 IVlOOx 0.05x0.95 V5 x 0.95 J| =

50、0.489I 775；(2)同理可求 P4 vX <10=PX <10-PX <4 = 0.48919、每次射击中目标的炮弹数的数学期望为2,均方差为1.5,求在100 次射击中，有180发到220发炮弹击中目标的概率。解：设/ = 1,2,.100)表示i次射击命中的炮弹数X = X J + X r + X JQQP180<X <220= P179<X < 220)= PX <220-P(X <179=pX-100x271001.5220-100x2VIxl.5X-100x2VlOOxl.5179-100x2VlOOxl.5 J=0(1.

51、33)- 0>(-1.4)= 0.9082-1 + 0.9192=0.827420、某个单位设置一个电话总机，共有200个分机。设每个分机有5%的时间 耍使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立。问总机耍多 少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线通话时可供使用。分析:“同时有多少个分机耍使用外线” “总机处有多少条外线可供使用”设X表示耍求使用外线的分机数。X b(2OO.O.O5)设总机处有n条外线，PXWn$0.9n2 0.9查农J9.5由徳莫佛一拉普拉斯定理：E(X) = w = 10,D(X) = ,/p(l - p)= 9.5, PX < / =得牛竺 2 1 285 ;/>14a/95概率论与数理统计 习题四解答3.利用定理2的结论计算分布的期望与方差。解：设随机变量 r-z2OO,由定理 2 551 E(Y) = 5Le(X<), D(y)= D(X .2)i=i/=i其中&为相互独立的随机变量，且X, N(O1)心12宀 于是+®k xe 2r+oc i-丄TT 2dxX所以E(Y) = n D(X；)=E(Xf4)-E2(Xf) =k3C1-21x4 e 2 dv-1-x V2dx 1 = 3E(X；) 1 = 3 1 = 2