自来水输送及货机装运

1、4.1 4.1 自来水输送与货机装运自来水输送与货机装运 某市有甲，乙，丙，丁某市有甲，乙，丙，丁四个居民区四个居民区，自来水，自来水由由A，B，C三个水库三个水库供应供应四个区每天必须得到保证的四个区每天必须得到保证的基本生活用水量基本生活用水量分别为分别为30，70，10，10千吨，但由于水资源千吨，但由于水资源紧张，三个水库每天最多只能分别供应紧张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水。千吨自来水。问题问题由于地理位置的差别，自来水公司从各水库由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的向各区送水所需付出的引水管理费引水管理费不同不同(见表见表41.其中其

2、中C水库与丁区之间没有输水管道水库与丁区之间没有输水管道)。其他管理费用都是其他管理费用都是450元元/千吨千吨.根据公司规定，各区根据公司规定，各区用户按照统一标准用户按照统一标准900元元/千吨收费。千吨收费。此外四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每此外四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天天50，70，20，40千吨。千吨。该公司应如何分配供水量，才能获利最多该公司应如何分配供水量，才能获利最多? 由为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水由为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，倍，问那时供

3、水方案应如何改变问那时供水方案应如何改变?公司利润可加到公司利润可加到多少？多少？引水管理费引水管理费（元（元/千吨）千吨）甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/表表41 从水库向各区送水的引水管理费从水库向各区送水的引水管理费分分析析分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多的方案，目标是获利最多. 而从题目给出的数据看，而从题目给出的数据看，A，B，C三个水库的三个水库的供水量供水量160千吨，不超过四个区的基本生活用水千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和量与额外用

4、水量之和300千吨，因而总能卖出并千吨，因而总能卖出并获利，于是自来水公司每天的获利，于是自来水公司每天的总收入总收入是元，是元，与与送水方案无关送水方案无关同样，公司每天的其它同样，公司每天的其它管理费管理费用元也与送水方案无关用元也与送水方案无关 所以，所以，要使利润最大要使利润最大只需使只需使引水管理费最小引水管理费最小即可另外，送水方案自然要受三个水库的供即可另外，送水方案自然要受三个水库的供应和四区的需求量的限制应和四区的需求量的限制 分分析析模模 型型 建建 立立)3 , 2 , 1( i决策变量为决策变量为A，B，C三个水库三个水库 分别向甲，分别向甲，乙，丙，丁四个区乙，丙，丁

5、四个区 的供水量，设水库的供水量，设水库 向向 区的日供水量为区的日供水量为 由于由于C水库与丁区之间没水库与丁区之间没有输水管道，即有输水管道，即 ，因此只有，因此只有11个决策变个决策变量量 )3 , 2 , 1( i)4 , 3 , 2 , 1(jijijx034x由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少，于是有引水管理费最少，于是有3332312423222114131211230200190150190130140 170220130160 xxxxxxxxxxxMinZ（4.1.1） 约束条件有两类；一类是是水库的供应量限制，约

6、束条件有两类；一类是是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制另一类是各区的需求量限制 由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限量可以表示为：量可以表示为： (4.1.2) 5014131211xxxx(4.1.3) 6024232221xxxx(4.1.4) 50333231xxx考虑的各区的基本生活用水量与额外用水量，考虑的各区的基本生活用水量与额外用水量，需求量限制可以表示为：需求量限制可以表示为：(4.1.8) 5010(4.1.7) 3010(4.1.6) 14070(4.1.5) 80302414332313322212312111xxxx

7、xxxxxxx模型求解模型求解（4.1.1）（）（4.1.8）构成一线性规划模型（当）构成一线性规划模型（当然加上然加上 的非负约束）输入的非负约束）输入LINDO求解，得求解，得到如下结果。到如下结果。 ijx送水方案为：送水方案为： A水库向乙区供水水库向乙区供水50千吨，千吨， B水库向乙，丁区分别供水水库向乙，丁区分别供水50，10，千吨，千吨， C水库向甲，丙分别供水水库向甲，丙分别供水40，10千吨千吨 引水管理费为引水管理费为24400元，元， 利润为利润为144000-72000-24000=47600元元 讨论讨论如果如果A，B，C三个水库每天的最大供水量都提三个水库每天的最

8、大供水量都提高一倍，则公司总供水能力为高一倍，则公司总供水能力为320千吨，大于总千吨，大于总需求量需求量300千吨，水库供水量不能全部卖出，因千吨，水库供水量不能全部卖出，因而不能像前面那样，将获利最多转化为引水管而不能像前面那样，将获利最多转化为引水管理费最少。理费最少。因此因此需要计算需要计算A，B，C三个水库分别向甲，乙，三个水库分别向甲，乙，丙，丁四个区供应每千吨水的净利润，丙，丁四个区供应每千吨水的净利润，既从收既从收入入900元中减去其他管理费元中减去其他管理费450元，再减去表元，再减去表41中的引水管理费，得表中的引水管理费，得表42 净利润（元/千吨）甲乙丙丁A290320

9、230280B310320260300C260250220/表表42 从水库向各区送水的净利润从水库向各区送水的净利润 决策目标为决策目标为 3332312423222114131211220250260300260 320310280230320290 xxxxxxxxxxxMaxZ（4.1.9） 由于水库供水量不能全不卖出，所以上面约束由于水库供水量不能全不卖出，所以上面约束（4.1.2）（4.1.4）的右端增加一倍的同时，）的右端增加一倍的同时，应将等号改为小于，既应将等号改为小于，既 (4.1.10) 10014131211xxxx(4.1.11) 12024232221xxxx(4.

10、1.12) 100333231xxx约束（约束（4.1.5）（）（4.1.8）不变将（）不变将（4.1.5）（4.1.12）构成的线性规划模型输入）构成的线性规划模型输入LINDO求求解。解。 送水方案：送水方案：A水库向乙区供水水库向乙区供水100千吨，千吨，B水库水库向甲，乙，丁区分别供水向甲，乙，丁区分别供水30，40，50千吨千吨C水水库甲，丙区分别供水库甲，丙区分别供水50，30千吨总利润为千吨总利润为88700元元 本题考虑的是将某种物质从若干供应点运往一本题考虑的是将某种物质从若干供应点运往一些需求点，在供需量约束条件下使总费用最小，些需求点，在供需量约束条件下使总费用最小，或总

11、利润最大，这类问题一般称为运输问题，或总利润最大，这类问题一般称为运输问题，是线性规划应用最广泛的领域之一是线性规划应用最广泛的领域之一评注评注在标准的运输问题中，供需量通常是不平衡的，在标准的运输问题中，供需量通常是不平衡的，担这并不会引起本质的区别，一样可以方便的担这并不会引起本质的区别，一样可以方便的建立线性规划模型求解建立线性规划模型求解 货机装运货机装运 问问 题题某架货机有三个货舱；前舱，中舱，后舱，三某架货机有三个货舱；前舱，中舱，后舱，三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有个货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限制，如表限制，如表43所示所示.为了保持飞机的平衡为了保持飞

12、机的平衡,三个货舱中实际装载货物三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例的重量必须与其最大容许重量成比例 。前仓中仓后仓重量限制(吨)10168体积限制（立方米）680087005300表表43 三个货舱装载货物的最大容许重量和体积三个货舱装载货物的最大容许重量和体积 现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表息如表44最后一列指装运后所获得的利润最后一列指装运后所获得的利润 重量（吨）空间（立方米/吨）利润（元/吨）货物1184803100货物2156503800货物3235803500货物4123902850表表44 四类装运货

13、物的信息四类装运货物的信息 应如何安排装运，使该货机本次飞行获利最大应如何安排装运，使该货机本次飞行获利最大?模模 型型 假假 设设1 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以分割到任意小；2 每种货物可以在一个或多个货舱中任意每种货物可以在一个或多个货舱中任意 分布；分布；3 多种货物可以混装，并保证不留空隙多种货物可以混装，并保证不留空隙模模 型型 建建 立立决策变量决策变量:用用 表示第表示第 种货物装入第种货物装入第 个货舱的重个货舱的重量量(吨吨)，货舱，货舱 分别表示前仓、中仓、后仓分别表示前仓、中仓、后仓. ijxij3 , 2 , 1j决策目标是最大化总利润，即决策目标是最大化总

14、利润，即 （4.1.13） )(2850)(3500)(3800)(3100434241333231232221131211xxxxxxxxxxxxxMax约束条件包括以下约束条件包括以下4个方面：个方面：1) 供装载的四种货物的总重量约束，即供装载的四种货物的总重量约束，即 18131211xxx15232221xxx23333231xxx12434241xxx （4.1.14）（4.1.15）（4.1.16）（4.1.17） 2) 三个货舱的重量限制，即三个货舱的重量限制，即 1041312111xxxx1642322212xxxx843332313xxxx（4.1.18） （4.1.19

15、） （4.1.20） 3) 三个货舱的空闲限制，即三个货舱的空闲限制，即680039058065048041312111xxxx870039058065048042322212xxxx530039258065048043332313xxxx（4.1.21）（4.1.22）（4.1.23） 4) 三个货舱装入重量的平衡约束，即三个货舱装入重量的平衡约束，即81610433323134232221241312111xxxxxxxxxxxx (4.1.24） 模模 型型 求求 解解 将以上模型输入将以上模型输入LINDO求解，可以得到结果为：求解，可以得到结果为： 货物货物2装入前仓装入前仓10吨、装入后仓吨、装入后仓5吨；吨； 货物货物3装入中仓装入中仓13吨、装入后仓吨、装入后仓3吨；吨； 货物货物4装入中仓装入中仓3吨吨.最大利润约最大利润约121516元（最优解四元（最优解四舍五