第三章 随机变量及其分布

1、第一节第一节 二维随机变量二维随机变量第二节第二节 边缘分布边缘分布第三节第三节 条件分布条件分布第四节第四节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量第五节第五节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 注注 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X 和和Y有关有关,且且 还依赖于两者的相互关系还依赖于两者的相互关系. 设设E是一个随机试验是一个随机试验, 样本空间样本空间S=e. 设设X=X(e)和和Y=Y(e)是定义在是定义在S上的两个随机变量上的两个随机变量, 向量向量(X,Y)叫做叫做二维随机向量二维随机向量或或二维随机变量二维随机变量. 设随机试验设随机试

2、验E的样本空间的样本空间S=e. X1, X2, ,Xn是定是定义在义在S上的上的n个随机变量个随机变量, 则称向量则称向量 (X1, X2, ,Xn )为为n维随机变量维随机变量（向量）向量）. 设设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量, , 对于任意实数对于任意实数x, ,y, , 称称F( (x, ,y) )为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的的分布函数分布函数, ,或称为或称为随机变量随机变量X 和和Y 的的联合分布函数联合分布函数. .,)()(),(yYxXPyYxXPyxF xyO(x,y),(),(),(),(,211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXx

3、P xOx1y2x2y1y定义定义1) F(x,y)是变量是变量 x 和和 y 的不减函数的不减函数,即即 对任意固定的对任意固定的y, 当当x2 x1时时,有有F(x2, y) F(x1 ,y); 对任意固定的对任意固定的x ,当当y2 y1时时,有有F(x, y2) F(x ,y1).2) 0 F(x,y) 1,且且 F(- , y)=0, F(x, - )=0, F(- ,- )=0, F(+ ,+ )=1 .3) F(x,y)关于关于 x右连续右连续, 关于关于 y右连续右连续,4) 对于任意对于任意x1 x2 , y1 y, 0 y 1时，时， 1(3) xydvduvufyxF),

4、(),(当当x0 或或 y0 时时, F(x,y) = 04008yuvdudvyv 当当x y1, 0 x1 时，时，422028xyxuvdvduxyu v=u10uv),( yxF(x,y)(x,y)(x,y)(x,y),( yxF(x,y)当当y 1, 0 x y, 0 y 1时，时，(3) xydvduvufyxF),(),(0, 当当x0 或或 y0 时时, 4y当当x y1, 0 x1 时，时，4222xyx 当当y 1, 0 x 0， 若对于任意实数若对于任意实数x，极限，极限 存在，则称此极限值为在条件存在，则称此极限值为在条件Y=y下随机变量下随机变量X的的 条件分布函数条

5、件分布函数, ,记为记为Y|PXyx )|(FY|Xyx0limP|YXx yy PY0yy 或或类似可定义类似可定义 .)|(FX|YxyX|Y(|)Fx y 0limP|Yy xXx u连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布定义定义2 设设(X,Y)的概率密度的概率密度f(x, y) , (X,Y)关于关于Y的边缘的边缘概率密度为概率密度为 fY(y). 若对固定的若对固定的y, fy(y)0, 则称则称)(),()|(|xfyxfxyfXXY )(),()|(|yfyxfyxfYYX 推导u连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布为在为在X= x,的条件下的条件下Y的的

6、条件概率密度条件概率密度.)|(xyFY|XdvxfvxfyX )(),()|(yxFX|YduyfyufxY )(),(条件分布函数条件分布函数若对固定的若对固定的x, fX(x)0, 则称则称为在为在Y= y的条件下的条件下X的的条件概率密度条件概率密度；Y|X000XX0XXXF( |)lim PY|XPX,YlimPXF(, )-F( , )limF ()-F ( )F(, )-F( , )limF ()-F ( )F( , )( , )F ( )( )yXy xy xxxxyxxxyx yxxxyx yxxx yf x v dvxdxfxdx 返回 设设(X,Y)的联合概率密度如下，

7、的联合概率密度如下，其它其它xyxxyyxf 2, 0,24),(其它其它, 10 , 0 ,242 xdyxyxx其其它它xyxxxy 222,0,)1(2对于任意给定的值对于任意给定的值x (0 x1),在在X=x条件下条件下,有有O dyyxfxfX),()(11求条件概率密度求条件概率密度.其它其它, 10 , 0),1(1223 xxx)(),()|(|xfyxfxyfXXY xyyx其它其它, 10, 0,24 ydxxyyy其其它它yxyyyxyfyxfyxfYYX , 0,2)(),()|(2|对于对于y (0y 0 时时,1121211012()(1)() ()zzzettd

8、t 121211012(),() ()zzexzxdxxzt 令，令，A11212()()zze 亦即亦即Z=X1+X2服从参数为服从参数为 1+ 2, 的的 分布分布1( )Zfz dz 12()A 12111012(1)() ()Attdt A A的计算：的计算： 注注 函数函数: :10( ). (0)xtxte dtx 若若X1,X2,Xn相互独立，且相互独立，且Xi服从参数为服从参数为 i, (i=1,2,n)的的 的分布，则的分布，则X1+X2+Xn服从参服从参数为数为 1+ 2+.+ n, 的的 分布分布.1210()()zAzedz 12()A 设设X,Y是二维连续型随机变量是

9、二维连续型随机变量, 其概率密度为其概率密度为f(x,y),则则Z=Y/X 、Z=XY仍为连续型随机变量，其概率密度仍为连续型随机变量，其概率密度分别为分别为dxzxxfxzfXY),(|)(/ dxxzxfxzfXY),(|1)( H当当X,Y 相互独立时相互独立时, ,dxzxfxfxzfYXXY)()(|)(/ dxxzfxfxzfYXXY)()(|1)( H证证: zxyXYdxdyyxfzXYPzF/),(/)( 21),(),(GGdxdyyxfdxdyyxf 0),(dxdyyxfzxy=xzyxoG1G2y=xzyxo (z0)G1G2 0),(dxdyyxfzx (z0, 0

10、,. 试求联接方式为：试求联接方式为： (1) 串联，串联，(2) 并联并联,(3)备用时系统备用时系统L的寿命的寿命Z的概率密度的概率密度 . 0, 0, 0,1)(FXxxexx . 0, 0, 0,1)(FYyyeyy . 0, 0, 0,1)()( zzezFzZ . 0, 0, 0,)()()()( zzezFzfzZZ (1)串联系统：此时有串联系统：此时有 Z=minX,Y)(F1 )(F1 1)(FYXminzzzL2XYL1. 0, 0, 0,)(. 0, 0, 0,)( yyeyfxxexfyYxX 0(1)(1),( )( )( )00,zzZXYzeeF zF zF zz 00, 0,)()()(zzeeezfzzzZ (2)并联系统：并联系统：L2XYL1此时有此时有 Z=maxX, Y