第四章能带理论

1、第四章 能带理论1. Bloch 定理与周期性边界条件晶体中电子的运动遵守?),()()(),(),()(2),(),(32122rka lanamRRrVrVrkErkrVmrkErkH平移周期性),(rk的特点？求解？真空中一维自由电子ikxAexk),(在周期性势场中运动的电子受约束而成Bloch波（调幅平面波）Rk iRk irk iRrk irk iikxerkRrkeerkueRrkuRrkRrkurkuerkurknaxkuxkuexkuxk),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),()(1D3DBloch 定理r与r+R处差一个相位因子Bloc

2、h波是晶体具有平移周期性的结果定义平移算符)()(narfrfTnf任意函数nnnrnarrnnTHHTrfTHnarfrVmnarfnarVmrfrVmTrfHT)()()(2)()(2)()(2)(222222对易具有共同本征态H的(k,r)也是Tn的本征态nnTHHT对易具有共同本征态H的本征态(k,r)也是Tn的本征态),(),(),(rkrkTnarknnmnmnnmmnmnnmnmnmnmnmmmrkrkTrkTrkTTrkrkTTrkTanmrkrkrkTmark),(),(),(),(),(),(),()(,),(),(),(本征值一维情况归一化条件12n为确定n, 引入周期性

3、边界条件),(),(rkNarkN总原胞数晶体总长晶体两边的物理特性一样),(),(),(),(rkrkrkTNarkNN21;1mNninNmnmnnmNenmn为整数ie, 112nNnmine2一维情况2;mNmbk),(),(),(xkexkTnaxkiknan所以有Bloch 定理推广到3维321),(),(a lanamRrkeRrkRk iiknaneknanaNmbNamnaNmn22Tn本征值, 表相位差),(),(),(rkrkTnarknn),(),(),(xkexkTnaxkiknanBloch波),(),(),(),(axkxkexkxkikx?Blo

4、ch定理),()(),()(),(),()()()()(,)()()()()(1xkuxeaxkuaxexkuexkuezuzeeaxexzxaaxzletaxeaaxxxikaxikikxikxikzikxikaika2abba故当k改变一个倒格失int;0mmbkk对应同一Tn本征值!naikNnsimnNsninambNsbiiknaeeeee02)22()(k倒空间中一点表相位差当k在一定的取值范围内取值时, k与Tn本征值一一对应, 其他区域的k重复该区的结果.;mNmbk)()()()(0 xexexxTnaikiknann2 Brillouin Zone取法：

5、以某个倒易格点为原点，与第一、二.近邻格点连线, 取中垂面围成的区域, 分别是第一、二.布里渊区.a1=1a2=2晶面(10)倒格矢G10=b1+0b2晶面(12)b1=6.28b2=3.14倒格矢G12=b1+2b2第一布里渊区(简约布里渊区)第二布里渊区布拉非格子布里渊区体积=1个倒易点拥有的体积=倒格子原胞体积NmbLmNamk22aab21),(),(rkNark电子波矢k的取值：),(),(),(xkxkeNaxkikNa1ikN,2mmkNa均匀分布间隔为b/N的N个k点。分布密度=2Lk点均匀分布间隔为b1/N1-X， b2/N2-Yb1b2分布密度=2221)2()

6、2(SLL倒格子原胞内共有N1N2个k点L1L2正格子倒格子3D晶体?3. 克龙尼克-潘尼问题V0ab晶格常数c=a+bancxncVcnxancxV0) 1(0)(晶格势场iKxiKxikxBeAexVEmKVxVxEVdxxdmxExxVdxxdmexux)(0)(2)(0)()()(2)()()()(2)()(120200222222V0ab晶格常数c=a+bFxFxikxDeCexmEFxVxEdxxdmxExxVdxxdmexux)(020)(0)()(2)()()()(2)()(222222222V0ab晶格常数c=a+b由边界条件axaxxxdxddxddxddxdaa21020

7、12121;)()();0()0()()()()()(FbFbikciKaiKaFbFbikciKaiKaDeCeFeBeeiKDeCeeBeAeDCFBAiKDCBA有非零解的条件是系数行列式为0即：EkkcEfkcFbFbKaFbFKKF) 1 , 1()cos()()cos()cos()cosh()sin()sinh(222上式决定了电子能量E与波矢k的色散关系20222)(22VEmKmEF202)(2VEmKk任取，但K（即E）只能在一些范围内取值。允带和禁带结论：1、周期性势场中的电子可能具有的能量是分段存在的。每两个可取的许可能量段之间为一不允许的 能量范围所隔开。这些能量范围均

8、称能带，前音称为许可带，后者则称为禁带。 2、周期性边界条件决定了晶体中电子波矢不是连续的，而是分立地均匀分布于倒空间。每一个波矢值描述一个电子状态，相应于一个电子能量或电子能级。每个许可带内都包含排列十分紧密的许多能级，能级数即等于晶体原胞数N。可有2N个e。对同一能带能隙（禁带）来自晶场的周期性，可从Bragg全反射说明。aak22)2(aaaklak0)(kVkkVkkxVkkVk问题：ankkankk,2？（1）（2）！布氏区边界，由于简并能级之间的“排斥”作用，能隙打开。rGinneVrV)(简约波矢，（布里渊区内）利用E(k)在倒空间的周期性，对于同一能带，k与k+Gn表同一能态。GknknnnGkEkE,)()(扩展布里渊区图象简约布里渊区图象knknE,knknEr,),(4.5 紧束缚方法原子轨道线性组合例: H原子轨道H分子轨道？)(2222220VUVmUmHHH对于i有N个简并的能态mRk imeNa1NCCeaaeaRrRrRrRraeRrareRrmnnnikRmmikRnmi