3.2.2对数函数

1、对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数 学家一纳皮尔（Napier ，1550-1617 年）男爵。在纳皮尔所处的年代，哥白尼的 太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成 为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很 大的精力去计算那些繁杂的天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时 间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者， 为了简化计算，他多年潜心研究大数字 的计算技术，终于独立发明了对数。当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。 在纳皮尔

2、那个时代， 指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代 数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算 多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊 多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 、12、13、14、1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示 2 的指数，第二行表示 2 的对应幕。如果我们要计

3、算第二行中两个数的乘积， 可以通过第一行对应数字的 加和来实现。比如，计算 64X256 的值，就可以先查询第一行的对应数字：64 对应 6, 256对应 8 ;然后再把第一行中的对应数字加和起来：6 + 8 = 14 ;第一行中的 14，对应第二行中的 16384，所以有：64X256 = 16384。纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中对数运算”的思想了回忆一下，我们在中学学习 运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思 路吗：计算两个复杂数的乘积，先查常用对数表，找到这两个复杂数的常用 对数，再把这两个常用对数值相加，再通过常用对数的反对数表查出加和值 的反对数值，就是原先

4、那两个复杂数的乘积了。这种化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索， 纳皮尔男爵于 1614 年出版了他的名著 奇妙的对数定律 说明书 ，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点。利用对数， 那纳尔制作了0-90 度每隔 1 分的八位三角函数表。将对数将以改造使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯， 他通过研究奇妙的 对数定律说明书，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，使 1的对数为 0 ,10 的对数为 1，这样就得到了现在意义的以 10 为底的常用对数，由于我们的数系是十进制，因此它在数值计算上具有优越性，1624 年，布里格斯

5、出版了对数算术，公布了 10 为底包含 1 至 20000 及 90000 至 100000的 14 位常用对数表。所以，纳皮尔是当之无愧的对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟 大的导师恩格斯在他的著作自然辩证法中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的 对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（Pierre Sim on Laplace，1749-1827 ）曾说:对数，可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍 ”。伽利略也说过： 给我空间、时间、和对数，我就可以创造一个宇宙。”16 世纪末至 17 世纪初的时候，当时在自

6、然科学领域（特别是天文学）的发展上 经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法 而发明了对数。德国的史提非（1487-1567 ）在 1544 年所著的整数算术中，写出了两个数 列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指 数，德文是 Exponent，有代表之意）。欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把 这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非 并未作进一步探索，没有引入对数的概念。纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的纳皮尔算筹，化简了乘除法运算， 其原理就是用加减来代替乘除法

7、。他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法， 其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619 年发表奇妙的对数表的描述中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数，记为 Nap 炯 x，它与自然对数的关系为Nap .log x=10 In （107/x）由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定 的距离。瑞士的彪奇（1552-1632 ）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620 ）。英国的布里格斯在 1624 年创造了常用对数。1619 年，伦敦斯彼得所著的新对数使对数与自然对

8、数更接近（以 e=2.71828.为底）。对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如 科学家伽利略（1564-1642 ）说：给我时间，空间和对数，我可以创造出一个 宇宙。又如十八世纪数学家拉普拉斯（1749-1827 ）亦提到：对数用缩短 计算的时间来使天文学家的寿命加倍。最早传入我国的对数著作是 比例与对数，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656 ） 和我国的薛凤祚在 17 世纪中叶合 编而成的。当时在 lg2=0.3010 中，2 叫真 数，0.3010 叫做假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用假 数为对数。我国清代的数学家戴煦（1805-1860

9、）发展了多种求对数的捷法，著有对数简 法（1845 ）、 续对数简法 （1846）等。1854 年，英国的数学家艾约瑟（1 825-1905 ）看到这些著作后，大为叹服。当今中学数学教科书是先讲指数，后以反函数形式引出对数的概念。但 在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数 的明确概念。 布里格斯曾向纳皮尔提出用幕指数表示对数的建议。 1742 年 J 威 廉(1675-1749)在给 G .威廉的对数表所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著无穷小 分析寻论(1748 )中明确提出对数函数是指数函 数的逆函数，和现在教科书中的提法一致。e，作为数学常数，

10、是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数(Euler number)， 以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家 约翰？纳皮尔引进对数。它就像圆周率n和虚数单位 i，e 是数学中最重要的常数 之一。它的数值约是(小数点后 100 位):e2.71828 18284 59045 23536 02874 7135266249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 4571382178 52516 64274第一次提到常数 e，是约翰？纳皮尔于 1618 年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常

11、数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表， 通常认为是由 威廉？奥特雷德(William Oughtred)制作。 第一次把e看为常数的是雅各？伯努利 (JacobBerno ulli).已知的第一次用到常数 e,是莱布尼茨于 1690 年和 1691 年给惠更斯的通信，以 b 表示。1727 年欧拉开始用 e 来表示这常数；而 e 第一次在出版物用到，是 1736 年欧拉的力学(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母 c 表示，但 e 较常 用，终于成为标准。用 e 表示的确实原因不明，但可能因为 e 是 指数”(exponential) 字的首字母。 另一看法则称 a，b，c 和 d 有其他经常用途，而 e 是第一个可用字母。不过，欧 拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字 Euler 的首字母，因为他 是个很谦虚的人，总是