多元函数积分学及其应用

1、高等数学?课程学习指导与讨论题第六章 多元函数积分学及其应用由于在理论和实际问题中经常遇到许多非均匀分布在平面或空间的各种几 何形体上量的求和问题， 因此，需要把一元函数积分加以推广， 研究多元函数在 几何形体上的积分问题， 第五章中已经指出， 多元函数包含多元数量值函数与多 元向量值函数，而平面或空间的几何形体又包括平面或空间区域，曲线段 平面 的或空间的 和曲面块等，因此，多元函数的积分种类较多，大体可分为两大类 型：第一类称为多元数量值函数的积分， 包括重积分 重点讨论二重与三重积分 ， 第一型线积分和第一型面积分； 第二类包括第二型线积分和第二型面积分， 本章 将学习这些积分的概念、性

2、质、计算方法和应用，对于第二型的线、面积分，我 们将从向量形式出发， 在讲解概念和计算方法的根底上， 进一步讨论应用广泛的 三大公式，即Green公式，stokes公式的Gauss公式，并介绍了旋度和散度这 两个重要的概念以及几种常见的特殊向量场， 与学习多元函数微分学一样， 学习 本章时也应随时将它与一元函数的有关内容加以比照，注意它们的共性与个性。本章教学实施方案： 总学时 34，分配如下：讲 课：24 学时。1多元数量值函数积分的概念及性质 1 学时 ；2二重 积分的计算方法 3 学时； 3 三重积分的计算 2 学时 ；4重积分的应用 2 学时 ； 5含参变量的积分与反常重积分 3 学时

3、 ；6第一型线积分与面积 分3 学时 ；7第二型线积分与面积分 4 学时 ；8各种积分的联系及其在场 论中的应用 6 学时讨 论：4 学时， 1重积分的概念计算与应用 2 学时 ；2线面积分的概 念计算及其应用习题课：6 学时， 1重积分的计算方法及应用 2 学时 ；2线、面积分的 计算方法及应用 2 学时 ；3三个积分公式及其应用。第一节 多元数量值函数积分的概念及性质一、教学内容与重点多元数量值函数积分 包括重积分、 第一型线积分和面积分 的概念；积分存 在的必要条件与充分条件；积分的根本性质。二、教学要求1 正确理解多元数量值函数积分的概念， 它将重积分 主要讲二重积分与三 重积分 、第

4、一型线积分与第一型面积分统一为平面或空间的几何形体上的积分 即非均匀分布的可加量的求和 ，同一元函数的积分类似， 多元数量值函数的各 种积分本质仍然是一个和式的极限，只是由于积分区域或几何形体与被积函数 不同，从而产生了不同类型的积分。2 .知道多元数量函数积分存在的必要条件f在积分区域上有界和充 分条件. '为可度量的紧集，f C i 。3 .熟悉积分的根本性质线性性质、对积分域的可加性，不等式性质和积分 中值定理，它们是一元函数定积分相应性质的推广。第二节二重积分的计算一、教学内容与重点二重积分在直角坐标系下与极坐标下的计算方法重点；二重积分的换元法。二、教学要求1 .正确理解如何

5、利用二重积分的几何意义将二重积分化为二次积分，熟练掌握根据积分域的不同将二重积分化为不同顺序二次积分的方法和步骤；1画出积分域；2选择适当的积分顺序；3正确确定积分的上、下限。在此根底上， 会将一种积分顺序的二次积分化成另一种顺序的二次积分。2 .熟练掌握极坐标系下二重积分的计算方法，知道积分域和被积函数在什 么情况下用极坐标计算比拟方便。3 .理解在曲线坐标系下二重积分的计算方法就是定积分换元法在二重积分中的推广，掌握使用该方法的主要步骤。第三节三重积分的计算一、教学内容与重点三重积分在直角坐标系下、柱面坐标系和球面坐标系下的计算方法重点；三重积分的换元法。二、教学要求1 .正确掌握在直角坐

6、标系下三重积分的计算方法 化为单积分和二重积分，能根据积分域的不同选择不同的积分顺序 先单后重与先重后单。2 .熟悉柱面坐标和球面坐标以及它们和直角坐标的关系，掌握在这两种坐 标系下计算三重积分的方法，并能根据积分域的不同采用不同的坐标系进行计 算。3.理解三重积分的换元法，会利用该方法计算简单的三重积分。第四节重积分的应用、教学内容与重点重积分的微法，微元法应用举例重点。二、教学要求1 理解重积分微元法是定积分微元法的推广，推广的方法是通过引入区域 函数及其对区域的导数，变域上的重积分，将一元函数中微积分学根本定理推广 到重积分，从而说明积分微元 fx, yd匚就是变域上的重积分作为区域函数

7、的 微分。2 .掌握利用重积分微元法解决几何和物理问题的步骤，关键在于如何根据 应用问题求得积分微元，通常采用的方法是：在微小区域中将非均匀分布的量看 成是均匀分布的，或者将微小区域看作一点，利用有关的几何公式或物理定律， 通过乘法求得局部量的近似值，将微小区域看作一点，利用有关的几何公式或物 理定律，通过乘法求得局部量的近似值， 该近似值往往就是积分微元，同学们应 当结合具体应用实例液体压力、物体重心、转动惯量与引力等理解并掌握这个 方法。第五节含参变量的积分与反常重积分一、教学内容与重点含参变量的积分，含参变量的反常积分，反常重积分。二、教学要求1 理解含参变量积分的概念，知道含参数变量积

8、分的连续性，可导性，积 分顺序交换性，以及积分上、下限也是参变量函数的含参变量积分的求导方法。2 .知道含参变量反常积分的收敛与一致收敛的概念，以及含参数变量反常 积分的连续性，可导性，可积性。3 .知道反常重积分是一元函数反常积分的推广以及判别收敛性的比拟判别 法。第六节第一型线积分与面积分、教学内容和重点第一型线积分的计算方法，曲面面积的定义与计算公式，第一型面积分的计 算方法。二、教学要求1 、熟练掌握第一型线积分的计算方法一一化为一元函数的定积分。化为定 积分的方法是：把弧长微元ds看作弧微分，将弧微分公式代入ds，将积分路径 的方程代入被积函数，由于弧长丄Sk总是正的，所以定积分的上

9、限必须大于下限， 会用第一型线积分计算柱面的面积，物质曲线的质量与转动惯量等。2 、正确理解曲面面积的定义，会利用曲面面积的计算公式求曲面的面积。3 、正确掌握第一型面积分的计算方法一一化为二重积分，化为二重积分的 方法是：把曲面面积微元公式代入 dS ;将积分曲面的方程代入被积函数；求出 积分曲面在相应坐标平面根据具体问题确定在哪个坐标面上投影 上的投影区 域，作为二重积分的积分域，会用第一型面积分计算物质曲面的质量， 质心与转 动惯量等。第七节第二型线积分与面积分一、教学内容和重点场的概念，第二型线积分的概念，性质与计算方法重点；两类线积分的联 系；第二型面积分的概念，性质与计算方法重点；

10、两类面积的联系。二、教学要求1 、理解数量场和向量场的概念以及用等值线 面描述数量和用向量线描述 向量场的方法。2 、正确理解第二型线积分的概念以及它与第一型线积分的区别，在第一型线积分中，被积式积分微元是两个数量的乘积，积分路径没有方向性，ds是弧微分，它总是正的；在第二型积分中，被积式 积分微元是两个向量的点积， 积分路径有方向性，沿方向相反的两条路径积分值反号。3 、熟悉第二型线积分的性质它们是第一型线积分所没有的。4 、正确掌握第二型线积分的计算方法将积分路径的方程代入被积式，化第二型线积分为定积分，应当注意，与第一型线分不同，第二型线分化为定积 分时其上限不必大于下限，下限为对应于积

11、分路径起点的参数， 上限为对应于积 分路径终点的参数。5 、正确理解第二型面积分的概念以及它与第一型面积分的区别，第一型面积分的积分微元是两个数量的乘积，积分曲面没有方向性，曲面面积微元dS没有方向性，它在各坐标面上的投影d- - 0 ；第二型面积分的积分微元是两个向量 的点积，积分曲面是有向曲面，有两侧之分，曲面面积微元dS是向量，它在各 坐标面上的投影有正负之分，正负号根据法向量n与相应各坐标轴正向的夹角是 锐角、钝角或直角来确定。6 、熟悉第二型面积分的性质它们也是第一型面积分所没有的。7 、正确掌握第二型面积分的计算方法一一化为二重积分，化为二重积分的 方法是：将积分曲面的方程代入被积

12、函数，并将有向曲面在各坐标平面投影区域 作为积分区域，由于S为有向曲面，所以，应当根据上述第 5条中的方法确定 二重积分前面的正负号，这是与第一型面积分计算方法的主要区别。8 、知道两类线面积分的联系，在某些特殊情况下，会利用这种联系将第二 型线、面积分转化为第一型线面积分来计算。第八节 各种积分的联系及其在场论中的应用一、教学内容与重点Green公式，平面线积分与路径无关问题，Stokes公式与旋度；Gauss公式与散度，几种重要的特殊向量场，其中Green公式、平面线积分与路径无关问题， Gauss公式，散度与旋度为教学重点。二、教学要求1 、正确理解Green公式的含义，它建立了平面区域

13、上的二重积分与沿该区域边界曲线的第二型线积分之间的联系，是定积分的Newton-Leibniz公式在二重积分中的表达，能熟练使用该公式计算第二型线积分。2 、正确掌握平面线积分与路径无关的三个等价命题及其物理意义，能熟练 判定平面线积分与路径是否无关，掌握平面有势场的势函数的求法。3 、熟悉Stokes公式成立的条件，理解 Stokes公式建立了沿空间圭寸闭曲线的第二线积分与在该曲线上所张曲面的第二型面积分之间的联系，它是Green公式的推广。4 、正确理解环量密度与旋度的数学定义与物理意义，能利用旋度的计算公式和运算法那么熟练计算给定向量场的旋度，熟悉Stokes公式的向量形式。5 、正确理

14、解Gauss公式的含义，它建立了空间区域上的三重积分与沿该区域边界曲面第二型曲面积分之间的联系是定积分的Newton-Leibniz公式在三重积分中的表达，能熟练使用该公式计算第二型面积分。6 、正确理解通量密度与散度的数学定义与物理意义，能用散度的计算公式和运算法那么熟练计算给定向量场的散度，熟悉Gauss公式的向量形式。7 、熟悉空间线积分与路径无关的等价命题及其物理含义，会计算空间有势 场的势函数，知道常见的三种特殊向量场无旋场、无源场、调和场及其主要性质。讨论题1. 应当怎样理解多元数量值函数积分的概念？2 如何将二重积分在直角坐标和极坐标下化为累次积分？应注意哪些问题？试将二重积分f

15、 (x, y)d二分别在直角坐标和极坐标下以两种不同的次序化D为累次积分。其中D由不等式. 2x-x2 y < . 4 - x2所确定。3 如何交换累次积分的次序？要注意哪些问题？2 2 21) 计算积分dy2 x2) 试交换累次积分odx* f (x,y)dy的次序。4 怎样正确利用积分域的对称性和被积的奇偶性来简化二重积分的计算？1) 计算二重积分ii(x，y)d；.其中D由y=x2, y=4x2及y =1围成。D2) 计算二重积分n(x - y)d二.其中D由x2 y2 x y所确定。D5 当二重积分的被积函数含有绝对值符号或为分段函数时，如何计算它的值？试计算积分11| x2 y

16、2 - 4 | d二。x2心6当二重积分积分域的边界曲线以参数方程给出时，如何计算它的值？试，广计算积分"y2d其中D是由x轴与摆线一拱x=a(tSint)(oG兰2兀，a>0)Dy = a(1 - cost)所围成的区域7.二重积分换元法与定积分换元法有何异同？二重积分的变量代换中，重点是化简被积函数，还是化简积分域？如何化简？8 计算二重积分常用的有哪几种方法？如何根据被积函数和积分域的特点 选择计算方法？9. 如何在直角坐标、球坐标和柱坐标下将三重积分化为累次积分?1)计算三重积分i n zdv ;(V)(V)：x2y2 z2 - zy2 z2 乞 2z2)计算二重积分(

17、x2 y2)dv，其中(V)是由平面曲线(V)y2 = 2z绕z轴旋转一周所成的曲面与Z=8所围成的区域10. 计算三重积分常用的有哪几种方法？如何根据被积函数和积分域的特点 选择计算方法？11 如何利用重积分的微元法建立实际问题中待求量的积分表达式？在用重 积分解决实际问题时如何适中选择坐标系？1)有一半经为a的均匀带电圆盘，电荷密度为常数:,试求过圆心且垂直 于圆盘的直线上与圆心相距为 R处的电位。2)设有一半经为R的球体。Po是此球外表上的一个定点。球体上任一点的密度与该点到F0点的距离的平方成正比。(比例常数k 0)。求球体的重心位14. 把第一型线积分l f (x, y)ds化为定积

18、分时，为什么要求定积分的下限小 于上限？而对第二型线积分l P(x,y)dx Q(x,y)d y就没有这个要求？15. 两类线积分及两类面积分的定义、性质及计算有何异同点？16. 设I =tJLxy2d y - yx2dx，其中L为圆周x2+y2 = a2沿逆时针方向，以下 计算该线积分的方法是否正确？为什么？由Green公式得I =(y2 x2)d；- a2d；二；4.DD17. 设 I = xy2dy dz yz2dz dx zx2dx dy .其中二为球面Zx2 y2 z a2外侧，以下计算该面积分的方法是否正确？为什么？由Gauss公式得I =(y2 z2 x2)dV 二(V)川a2d

19、V号a3(V)a其中(V)为球体x2 y2 z2弐a218. Gree n, Gauss, Stokes公式有何重要意义？三个公式有何共性?19. 在场论中 Gauss 公式描述了什么样的物理现象？20. 在场论中 Stokes 公式描述了什么样的物理现象？21. 如何理解无旋场的两种定义？有关无旋场有哪些等价关系？第七章 常微分方程本章教学实施方案： 总学时 19讲 课：13 学时。1 常微分方程的根本知识 1 学时；2线性微分方程组3 学时；3 常系数线性微分方程组 3 学时 ；4高阶线性微分方程 3 学时 ； 5微分方程的定性分析方法初步 3 学时 ；讨 论：2 学时，习题课： 4学时，

20、1线性微分方程组 2 学时 ；2.高阶线性微分方程 2 学 时；第一节 常微分方程的根本知识1. 教学内容 微分方程与微分方程组，微分方程解的存在唯一性定理，微分方程及其解的 几何意义。2. 教学要求1会将高阶微分方程化为一阶微分方程组 .2正确理解微分方程解的存在唯一性定理 .3了解微分方程的轨线、相平面、增广相平面等概念 .第二节 线性微分方程组1. 教学内容与重点齐次线性微分方程组的概念及解的性质， n 微向量值函数的线性相关与线性 无关性，齐次线性微分方程组的解空间、基解组、基解矩阵及基解矩阵的性质。2. 教学要求 1 掌握齐次线性微分方程组解的性质， 向量值函数组的线性相关性与线性无

21、 关性、基解矩阵、通解、基解矩阵的性质 . 2 掌握非齐次线性微分方程组的解的结构、 特解的求法， 会解简单的线性微 分方程组 .第三节 常系数线性微分方程组1。教学内容与重点常系数齐次线性微分方程组的求解，常系数非齐次线性微分方程组的求解。2. 教学要求 1 熟练掌握常系数线性齐次微分方程组的解法 . 2 会解常系数线性非齐次微分方程组 .第四节 高阶线性微分方程1 教学内容与重点 高阶线性微分方程解的结构，高阶常系数线性齐次和非齐次微分方程求解， 欧拉方程。2. 教学要求1熟悉 高阶线性微分方程解的结构； 2 熟练掌握高阶常系数线性齐次微分方程的解法，特别是二阶常系数线性 齐次微分方程的求解问题 .3会求解两类特殊非齐次项的高阶常系数非齐次线性微分方程；4会解 Euler 方程 .第五节 微分方程的定性分析方法初步1. 教学内容与重点自治系统与非自治系统，稳定性的根本概念，线性自治系统平衡位置稳定性 的判定，非线性自治系统平衡位置稳定性的判定，2. 教学要求(1) 了解自治系统，非自治系统、轨线、奇点等概念(2) 掌握微分方程零解的稳定和渐近稳定的根本概念，了解微分方程零解的不 稳定和全局渐近稳定的概念.(3) 会判别线性自治系统平衡位置的稳定性(4) 会利用线性近