勾股定理知识点、经典例题及练习题带答案

1、精品文档精品文档【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图”后人称其为 赵爽弦图”（如图 1 1）.图 2 2 由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接 而成，记图中正方形 ABCDABCD 正方形 EFGHEFGH 正方形 MNKTMNKT 的面积分别为 S3S3.若 SiSi, S2S2, S3S3= 1010,则 S2S2 的值是多少呢？D（第怡题團 1）（第 16题图刃【知识梳理】1 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a a, b b,斜边长为 c c,那么 a a2+ b b2= c c2. .即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直

2、角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a a, b b, c c 有下面关系：a a2+ b b2= c c2，那么这 个三角形是直角三角形。2 2、勾股数：满足 a a2+ b b2= c c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若 a a, b b, c c、为勾股数,那么 kaka, kbkb, kckc 同样也是勾股数组。）* *附：常见勾股数：3,4,53,4,5; 6,8,106,8,10;9,12,159,12,15;5,12,135,12,133 3、判断直角三角形：如果三角形的三边长 a a、b b、c c 满足 a a2+b

3、+b2=c=c2，那么这个三角形是直角三角形(经典直角三角形：勾三、股四、弦五)Ba 勾C精品文档精品文档其他方法：(1 1)有一个角为 9090的三角形是直角三角形。(2)有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：(1) 确定最大边(不妨设为 c c)；(2)若 c c2= 3 32+圧，则厶 ABCABC 是以/ C C 为直角的三角形；若 a a2+ b b2vc c2，则此三角形为钝角三角形(其中 c c 为最大边)；若 a a2+ b b2c c2，则此三角形为锐角三角形(其中 c c 为最大边)4 4、注意：(1 1)直角三角形斜边上的中线等于斜

4、边的一半(2 2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 3030,那么它所对的直角边等于斜边 的一半。(3) 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边 所对的角等于30305 5、勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边。(2)已知直角三角形的一边，求另两边的关系。(3)用于证明线段平方关系的问题。(4)利用勾股定理，作出长为.n 的线段精品文档精品文档【经典例题】【例 1】（2016 山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角【例 3】（2016 河北）如图，在 ABC 中，/ C=90 , BC=6,D,E 分别在 AB,AC 上，将 A

5、BC 沿 DE 折叠，使点A 落在点 A处，若 A为 CE 的中点，则折痕 DE 的长为（【例 4】（2016 重庆綦江）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示/ A= 30/B= 90,BC= 6 米.当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE =_ 米时 有 DC2= AE2+ BC2.【例 5】（2016 广东肇庆）在直角三角形 ABC 中，/ C = 90 BC = 12, AC = 9，贝 U AB =_【例 6】（2016 贵州安顺）如图，在 RtAABC 中，/ C=90 BC=6cm, AC=8cm，按图中所示方法将 BCD 沿 BD 折形，两直角边分别为 6m 和

6、8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道,则 O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（） A.2mB.3m C.6mD.9m【例 2】（2016 贵州贵阳）如图， ABC 中,C=90 AC=3，/ B=30，点 P 是 BC 边上的动点，贝 U AP 长不可能是（）B、4.2C、5.8)A. 0.5 B. 2 C. 3D . 4.正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角A、3.5精品文档精品文档【例 7】（2016 四川广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形

7、求扩建后的等腰三角形花圃的周长.【例 8】（2016 四川乐山）如图，在直角厶 ABC 中，/ C=90 ，/ CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D，若 DE 垂直平 分 AB，求/ B 的度数。【例 9】（2016 山东枣庄）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画线段 AD / BC 且使 AD =BC，连接 CD ;（2）线段 AC 的长为_ , CD 的长为_, AD 的长为_ ;d【例 10】如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的 C 处有一筐水 果，一只猴子从 D

8、 处上爬到树顶 A 处，利用拉在 A 处的滑绳 AC,滑到 C 处，另一只猴子从 D 处滑到地面 B, 再由 B 跑到 C,已知两猴子精品文档精品文档所经路程都是 15m，求树高 AB.精品文档精品文档【课堂练习】1、(2016 湖北黄石)将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30 度角，如图，则三角板2、(2016 江苏无锡)如图，在 Rt ABC 中，/ ACB = 90 , D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，若 CD = 5cm ,则 EF =4、王伟准备用一段长 30 米

9、的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为 a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2 倍多 2 米.(1) 请用 a 表示第三条边长；(2) 问第一条边长可以为 7 米吗？为什么？请说明理由，并求出 a 的取值范围；(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由.5、一个零件的形状如图，按规定这个零件中/A 与/ BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸:的最大边的长A. 3cmB. 6cmC. 3,2cm D. 6、2cm3、(2016 山东枣庄)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影

10、部分的面积是2_cm .AD=4 ,精品文档精品文档AB=3,BD=5 , DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？精品文档精品文档【课后作业】1、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A.9，12，1553B. 1C.0.2，0.3，0.4D.40，41，9442、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角比为 1 : 2 : 1B.三边之比为 1 : 2 :5C.三边之比为,3 : 2 : .5 D.三个内角比为 1 : 2 : 33、如图，以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 S2、S3,且 5=4, S2=8，则 AB 的长为_14

11、、如图，E、F 分别是正方形 ABCD 中 BC 和 CD 边上的点，且 AB=4，CE = BC，F 为 CD 的中点，连接 AF、4AE，问 AEF 是什么三角形？请说明理由 .5、 如图，如上图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4 米处，那么这棵树折断之前的高度是 _米6、 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求 CD 的长.7、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯，已知地毯平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？8、如图，一架长 2.5 m 的梯子

12、，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端 0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4（5 题图）（6 题图）精品文档精品文档m，则梯子的底端将滑出多少米？精品文档精品文档【经典例题】1、C 2、D 3、B 4、5、15 6、6cm27、由题意可得，花圃的周长 =8+8+ 2 =16+ 238、解：TAD 平分/ CAD/CAD=/BAD / DE 垂直平分 AB / AD=BD,/B=/BAD/-ZCAD=/BAD=/B在 Rt ABC 中，ZC=90o/ZCAD+ZDAE+ZB=90o/ZB=30o一一d(2)2.5, .5,5;(3)直角，10;(4)210、设 AD=x 米，则 AB 为(

13、10+x)米，AC 为(15-x)米，BC 为 5 米， (x+10)2+52=(15-x)2,解得 x=2 , 10+x=12【课堂练习】4、(1)第一条边为 a,第二条边为 2a+2,第三条边为 30-a- (2a+2) =28-3a(2) 不可以是 7,v第一条边为 7,第二条边为 16,第三条边为 7,不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。13 匸2 a 5(3) 5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形5、解：在厶 ABD 中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2,所以 ABD 为直角三角形，ZA =90在厶 BDC 中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2所以 BDC 是直角三角形，ZCDB =90 .因此这个零件符合要求【课后作业】1、C 2、C 3、231、D 2、54929、解：(1)如图;精品文档精品文档4、 解：由勾股定理得 AE2=25 , EF2=5,AF2=20,TAE2= EF2+A