第一章--基本概念

1、第一章基本概念§ 1 微分方程及其解的定义一. 内容简介本节结合常微分方程的实例，讲解与常微分方程有关的一些基本概念和术语二. 关键词常微分方程，微分方程的通解，初始条件，特解三目的与要求1 正确理解微分方程、常微分方程及其阶、线性微分方程与非线性微分方程、解、通解、初始条件、 初始值问题和特解等基本概念 2 了解常微分方程与生产实际和科学技术的紧密联系，了解常微分方程讨论的基本问题四教学过程§ 1 微分方程及其解的定义一.何谓微分方程这是首先要解决的一个问题，为此我们先从代数方程说起在代数中我们研究过求解高次代数方程xna/a。0.有：，乘方,代数方程一一含有一个变元的关

2、系式，即由已知数a0,a1, ,an 1,an与未知数x组成的等式，运算，它的解是数由代数基本定理知道，它的解只有有限个在数学分析中也研究过由隐式F(x,y) 0确定的隐函数 y (x)的问题函数方程一一至少含有两个变元的关系式，即由自变量x和函数y组成的等式运算有，函数运算，它的解是函数由隐函数存在唯一性定理知,解为有限定义1所谓微分方程,就是一个或几个包含自变量、未知函数以及未知函数的某些微商的方程式例如，dx2t ,(1.1)dtdy0 ,(1.2)dy1yx3(x 0),(1.3)dxxdy12y，(1.4)dxIIy1yyx ,(1.5)x ax0,(1.6)u xyuu ,(1.7

3、)xy以上这些都是微分方程只含一个自变量的微分方程称为常微分方程，自变量多于一个的微分方程称为偏微分方程例如，上叫做方例(1,1) (1,6)都是常微分方程，(1.7)是偏微分方程方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数，程的阶例如，(1.1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,7)是一阶方程,(1,5)和(1.6)是二阶方程一般n阶常微分方程具有形式F(x,y,y', ,y(n)0(1.8)或者是显式(n)'(n 1)、y f (x, y, y , y )(1.9)由代数方程引出微分方程，问题是出现了什么新东西？二.微分方程的有关概念1 微分方程的线性与非

4、线性i) 线性微分方程如果(1.8)式的左端关于未知函数和它的各阶导数都是一次的有理整式，则称(1.8)为n阶线性常微分方程ii) 非线性微分方程不是线性微分方程的，称为非线性微分方程n阶线性常微分方程的一般形式是ao(x)y(n) a1(x)y(n1)an(x)y g(x) ,(1.10)其中a0 (x), a1 (x), an (x), g(x)都是已知的实值连续函数.在上例中，(1.1) , (1.2) , (1.3) , (1.6) , (1.7)是线性的，(1.4) , (1.5)是非线性的.2微分方程的解微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区间I 定义2设函数y (x)在区

5、间I上连续，且有直到 n阶导数 若用(x), '(x),(n)(x)分别代替方程(1.8)中的y,y', y(n)后，使(1.8)在I内为关于x的恒等式，即F x, (x), '(x), (n)(x)0 ,则称函数y (x)为方程(1.8)在区间I上的一个解.以后我们讨论的函数都是实的单值函数，解y (x)的直到n阶的导数不仅存在而且连续 为了方便，当函数(x)在区间I内具有直到n阶连续微商时，常简记为 (x) Cn(I)，或者(x) Cn. C 表示(x)在区间|内连续.例1求微分方程 业 f(x)的解，其中f (x) C.dx解 在数学分析中就是求函数f(x)的原函

6、数y(x)，故只需要在上式两端关于自变量x积分，便得到y(x) f (x)dx C这里C是任意常数，显然不论 C取任何值，上式都是方程的解从这里可以看出：一个常微分方程可以有无穷多个解给C一个确定的值，就得到方程的一个解3.通解和特解因为方程dyf(x)的任一确定的解，必有(1.11)的形式(但其中的 C取特定的值)，故(1.11)称为dx此方程的通解，当 C取确定数值时所得到的解称为此方程的一个特解一般地，我们有：定义3设n阶微分方程(1.8)的解y(x,C|,C2，,cn)包含n个独立的常数c1, c2,cn，则称它为n阶微分方程(1.8)的通解；若(1.8)的解y(x)不包含任意常数，则

7、称它为特解从通解的定义可以看出，通解包含了方程的无穷多个解，它是解的一般表达式，但有例子可以说明, 通解不一定是方程的全部解 .这里称n个任意常数C1, C2 ,cn是独立的，其含意是(n 1关于C1,C2,Cn的雅可比(Tacobi)行列式C1C2CnD ,D C1 ,C2,(n 1)C1C2Cn0.(n 1)(n 1)(n 1)C1C2cn显然，当任意常数一旦确定以后，通解就变成了特解如例2 中，当 x Xo 时，y(x)x Xoyo 这里取C y，则有特解y(x)xof (t)dt .我们把 y(x) x x0y0称为附加条件可见确定一个特定的解一般是要附加条件的.4.初值条件、初值问题

8、例3在只有重力的作用下，求落体在铅直方向的运动规律.设落体的运动只在重力作用下进行，不考虑空气阻力等其他外力的作用，此时落体作垂直于地面的 自由落体运动如图1.1.取坐标轴y从地面垂直向上，问题是：落体B的位置坐标yy(t)如何随时间t变化?在运动过程中，落体只受重力F的作用，设落体的质量是 m ,则F mg ,其中g是重力加速度,这里出现负号是因为重力的方向是向下的，与y轴的正方向相反.因为y y(t)表示B的位置坐标，所以它对t的一阶导数yy (t)表示B的瞬时速度v v(t)；而二阶导 数y''y"(t)则表 示B的瞬时加 速度a a(t).由牛顿第二运动定律，

9、有 F ma，故得my (t) mg ,这样可得一个微分方程为了得出落体的运动规律，需要求解这个微分方程在(1.12)两侧对t积分一次，得(1.13)y'(t) gt Ci其中G是一个任意常数，再把(1.13)对t积分一次，就得1 2y(t) -gt c,C2( 1.14)2其中C2是另一个任意常数可知(1.14)是微分方程(1.12)的通解.通解(1.14)就表示自由落体的运动规律，在(1.14)中含有两个任意常数这说明微分方程(1.12)有无穷多个解.为了要得到特定的物体运动规律，还必须考虑当运动开始时落体是在什么地方，且以什么样的速度 运动的，即下面的初值条件：(1.15)C2

10、y0， C1 V0 .y(0) yo，y'(0) v将条件(1.15)分别代入(1.13)和(1.14)，可得这样，在初值条件(1.15 )下，从微分方程(1.12)唯一地确定了一个解1 2y(t) - gtvotyo( 1.16)2它就描述了具有初始高度yo和初始速度Vo的自由落体运动.称(1.16)是初值问题(1.17)y gIy(o) y°,y(o) Vo的解，初值问题又叫柯西问题.由以上简单实例可以看出：1.微分方程的求解，与一定的积分运算相联系，因此也常把求解微分方程的过程称为积分一个微 分方程，而把微分方程的解称为这个微分方程的一个积分.由于每进行一次不定积分运算

11、，会产生一个任意常数，因此仅从微分方程本身求求解(不考虑定解条件)，则n阶微分方程的解应该包含 n个任意常数2 微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律，求解微分方程，就是从这种瞬时规律出发，去获得运动的全过程.为此，需要给定这一运动的一个初始状态(即初始条件)，并以此为基点去推断这一运动的未来，同时也可以追朔它的过去.3 一般对n阶微分方程(1.8)的初值问题的提法是：/、' /、'(n 1) /、(n 1),、y(xo) y°,y(xo)y°, ,y(x°) yo(1.18)于是n阶微分方程的初值问题可以提成如下形式：F(x,y,y',

12、 ,y(n) o()'()'(n 1) () (n 1)( 1.19)y(xo) yo,y (xo) yo, ,y(xo) yo求初值问题的办法一般是，先由方程解出通解，再利用初值条件定出通解中的任意常数，从而得出 要求的特解.微分方程是数学理论联系实际问题的重要渠道.大家知道，微积分是现代数学的核心内容之一，用微积分解决实际问题的重要途径就是使用微分方程.在二十世纪以前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学，而现在则几乎在自然科学和工程技术的每一个部门都有或多或少的微分方程问题，甚至在生物、农业以至经济学等方面也获得了越来越多的应用为了解决这些问题，就有必要建立微分方程

13、本身的基础理论，而这又需要用到数学其它分支学科的知识，并往往推动这些分支学科的发展，反过来，这些 学科的发展也常常通过微分方程进一步更好地解决生产实际和工程技术中的问题本课程的任务就是要介绍常微分方程理论中的一些最主要的问题，以及求解常微分方程的一些最基 本方法至于偏微分方程，我们只在第十一章涉及到一点，不去专门研究它关于本课程所要研究的几个主要问题首先，自然是求通解的各种方法，即所谓初等积分法，这是第二章的主要内容其次是：对于一般的微分方程，研究它的解是否存在和唯一，以及解对初值或参数的依 赖关系这是第三章和第五章§ 3、§ 4的内容再次，对于在实用上经常遇到而在理论上发

14、展得比较完善的 线性微分方程组和高阶线性微分方程的理论和求解方法，这是第五章§1、§ 2和第六章的内容最后在第八章中介绍用定性方法研究非线性方程的最基本的知识，关于这方面的知识近几十年来有很大的发展， 同学们应该对它有所了解最后我们指出：一个 n阶微分方程的通解应该包含n个独立的任意常数；反之，对于一个包含n个独立的参数Ci,C2, , Cn的n次可微的函数族，存在一个形如(1.8)的n阶微分方程，使得该函数族恰好是 它的通解.例4求双参数函数族y Ci ex cos x C2exsi nx(1.20)所满足的微分方程.解 依题意，要找双参数函数族所满足的微分方程(更确切地

15、说，即使要找由(1.20)式所确定的隐可以将(1.20)式对x求导函数 y(x, C1, C2)所满足的，以x为自变量，并且不包含 C1 ,C2的微分方程)两次，得yC1ex(cosx sin x) C2ex(sin xcosx)，(1.21)IIyGex( 2sin x) C2ex(2cosx)，(1.22)从以上两式可知雅可比(Tacobi)行列式d y,y'xe cosxx e sinx2x小e0,D C1, C2ex (cosx sinx) ex(sinx cosx)这说明(1.20)中包含的两个任意常数 C1,C2是独立的.从上面(1.20)和(1.21)两个式子中解出X&#

16、39;C1e y(si nxcosx)ysi n x,x'C2ey(sinxcosx)ycosx.然后把它们代入(1.22)式，得到一个二阶微分方程这就是函数族(1.20)所满足的微分方程习题111 指出下列微分方程的阶数，并说明哪些方程是线性的:(1)(3)(4)(5)答案:(x2dydx.3d y73-d x2y2)dx (3x2 4y2)dy2yy xsiny 0 ;e 辱 x2y d2xcosx.(1)二阶线性方程;(2)一阶非线性方程;(3) 阶非线性方程;二阶非线性方程;(5)三阶线性方程;2 验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解:(1) yCOSX ;sinx,xy

17、y x，故sin x , ，口 e 对x求导得x cosx sin x2xxyxcosx sin x2xsin xcosx ,xsin x所以y是方程xxycosx的解.a4(2) y 0,C1)2xC1,C1x C2 ,y' y;2(x C2)C2x Ci 时，y(x Ci)2(x Ci)2 lx Ci4|2 |0 ,所以；yx Ci2x Ci2故y'心|y，即y(x Ci)2x Ci)是方程y . y的解.同理可证：y2(x C2)(C2)是方程y 一寸y的解.显然，当C1x C2 时,0是方程y'. y的解.2(x Ci)4所以y 0,xCiCixC2是方程y&#

18、39;. y的解.2(x C2)C23 .求下列初值问题的解:(i)翌 f(x)，y(0) dx(这里f (x)是一个已知的连续函数)；解方程两边从0到x积分，得xy(x) o f(t)dt c .由初始条件y(0)0 ,可得C0，故初值问题的解为 ydR(2)aR，R(0) i，dt(这里a 0是一个常数)解显然R 0是方程的解，但R 0不满足初始条件R(0)1，故当R 0时，将方程改写为dRdR adt，方程两边从0到t积分得In Rat I nC， 即 R Ce at4.求出：(1)曲线族y Ciex C2xex所满足的微分方程;解 将y Ciex C2xex对x先后求导两次，得'xxy (C1 C2)eC2xe ，''y(C1 2C2)eCzxe，从以上两式可知雅可比(Tacobi)行列式'xxD y,y e xe 尹 ° DGGex ex(1 x)这说明y C1ex C2xex中包含的两个任意常数 G,C2是