微积分23函数极限的性质及运算法则ppt课件

1、2.3 函数极限的性质及运算法则函数极限的性质及运算法则是是指指：函函数数极极限限Axfxx )(lim0时时，中中变变化化且且趋趋于于的的某某一一去去心心领领域域在在0000)(xxxOxx .)(领领域域中中变变化化的的某某在在函函数数值值 Axf定义定义2.32.3MxfxxOxMxxOxxxxf )( )(, 0, )(:)(000000时时使使得得且且若若存存在在的的去去心心邻邻域域有有一一个个如如果果时时是是有有界界的的称称为为在在函函数数 性质性质2.52.5.)(,)(lim界界所允许的某一邻域内有所允许的某一邻域内有极限过程极限过程在在则则（局部有界性）若（局部有界性）若Xx

2、xfAxfXx 性质性质2.62.6.)()()()()(,)(lim,)(limBxfxgxfXxxgxfBABxgAxfXxXx 特特别别有有的的某某一一邻邻域域内内满满足足所所允允许许在在极极限限过过程程与与则则（局局部部保保号号性性）若若（类似可定义其他过程下的有界性）（类似可定义其他过程下的有界性）).()(局局部部有有界界在在其其中中是是有有界界的的则则称称xf性质性质2.82.8所允许的某一邻域内，所允许的某一邻域内，）若在极限过程）若在极限过程（函数极限的夹逼定理（函数极限的夹逼定理Xx , )()()(xhxfxg ,)(lim)(limAxhxgXxXx 且且.)(limA

3、xfXx 那么那么性质性质2.72.7., )()(,)(lim,)(limBAxgxfXxBxgAxfXxXx 则则下下过过程程且且在在极极限限若若0)(), 0(1)( xgxxxf与与例例：).(lim)(limxgxfxx 但但) !:(等号不可去掉等号不可去掉注注A f(x) g(x)yox0 x10 x10 x h(x)例例. 1sinlim0 xxx理理证证明明利利用用函函数数极极限限的的夹夹逼逼定定证明证明OAxBDCxy,tan,sinxBDxAC xxxsinlim0 因为因为的的情情形形。且且故故只只需需讨讨论论00 xx.作单位圆，如右图作单位圆，如右图)20( xxA

4、OC设设uuusinlim0 xxx )sin(lim0 xxx )sin(lim0 xxxsinlim0 ，根根据据夹夹逼逼定定理理可可得得由由于于10coscoslim0 xx. 1sinlim0 xxx，的的面面积积的的面面积积扇扇形形的的面面积积OBDOBCOBC xxxtan2121sin21 20, 1sincossin xxxxx得：得：同乘以同乘以OAxBDCxy)20(tansin xxxx即即)20(sincos1sin1 xxxxx即即. 1sinlim0 xxx因因此此1/42 题题P性质性质2.92.9，则，则若若BxgAxfXxXx )(lim,)(lim).0()

5、(lim)(lim)()(lim BBAxgxfxgxfXxXxXx这里要求这里要求; )()(lim)(lim无无关关的的常常数数是是与与xCCAxfCxCfXxXx ;)(lim)(lim)()(limBAxgxfxgxfXxXxXx ;)(lim)(lim)()(limABxgxfxgxfXxXxXx 说明说明: 性质可推广到有限个函数的情形性质可推广到有限个函数的情形 .例例.求极限求极限1352lim22xxxx)52(lim22xxx552421limlim3)13(lim222xxxxx1352lim22xxxx( (直接代入法直接代入法) )5limlimlim22222 xx

6、xxx07123 7513lim52lim222 xxxxx解解:时时，要要注注意意使使用用条条件件应应用用极极限限四四则则运运算算法法则则(1)参加求极限的函数应为有限个参加求极限的函数应为有限个; (2)每个函数的极限都必须存在每个函数的极限都必须存在;(3)考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。31lim3xxx例例.934lim223 xxxx)3)(3()1)(3(lim3xxxxx原式原式62 31( (约去零因子法约去零因子法) ) x 3 时分子、分母都时分子、分母都 0 !分母的零因子。分母的零因子。为分子、为分子、3 x解解 )

7、9(lim)34(lim2323 xxxxx)00(型型例例.11lim21 xxxxx求求解解)11(lim21xxxxx )1()1)(1(lim1 xxxxxxxx1lim1 )1()1)(1(lim1 xxxxx. 2 xxxxxxxxxxx 211211lim1lim11lim )00(型型 x 1 时分子时分子,分母都分母都 0 !将将它它约约去去。分分母母的的零零因因子子，我我们们可可同同为为分分子子由由于于,1 x( (先化简再约去零因子法先化简再约去零因子法) )(型型 )11(lim21xxxxx 22312lim4xxx例例.( (根式有理化法根式有理化法) )00(型型

8、)312(lim)22(lim44xxxx22312xx)312)(4()22)(4(2xxxx所以，所以，)312()22(2lim22312lim44xxxxxx2326240)312)(22)(22()22)(312)(312(xxxxxx)312()22(2xx解解例例. 求求.125934lim22 xxxxx x时时, 分子分子. 分母分母22111125934limxxxxx 分子分母同除以分子分母同除以,2x那么那么54 “ 抓大头抓大头”原式原式)(型型 解解123lim523 xxxx练习：求练习：求927)12()2(limxxxx9210321)12()2(lim xx

9、xx321 331 为非负常数为非负常数 )nmba,0(00 mn 当当mmmxaxaxa 110limnnnbxbxb 110,00ba,0, mn 当当mn 当当用变量的最高次幂用变量的最高次幂去除分子去除分子, ,分母分母. .一般有如下结果：一般有如下结果：此此结结论论成成立立注注意意：不是正整数的情形。不是正整数的情形。结论也可适用于结论也可适用于nm,)2(! ! !)1(型型必须为必须为 性质性质2.102.10.)(lim,)(lim)()(limBxgfBxfAxgAAxgXxAxXx 则则，且且可可以以是是无无穷穷大大）（这这里里若若这一性质是用变量替换求极限的理论基础这

10、一性质是用变量替换求极限的理论基础)(lim )(lim)(yfxgfAyyxgXx 令令.B 复合函数求极限：复合函数求极限：变量替换法变量替换法例例. 0)(lim0)(lim xfxfXxXx的的充充要要条条件件是是证证明明：证明证明)(limxfXx)()()(xfxfxf 由由于于. 0)(lim xfXx根根据据夹夹逼逼定定理理可可得得必要性：必要性：充分性：充分性：, 0 变量替换求极限变量替换求极限yxfyy0lim)( 例例.elim)3(;elim)2(;2lim)1(210110 xxxxxx ，如如果果存存在在求求出出其其值值：判判别别下下列列极极限限是是否否存存在在解解(1) 由于由于yyxxxy2lim12lim10 xx102lim.2lim10不存在不存在因此因此xx, , 0 yyxy2lim1 P43( 8)210elim)3(xx xx1elim)2( 0e . 1 yye1lim . 0 )0( 1lim1 aaxx. 1 ; 4;:nmkeyyyxyelim10 yyxy elim12.1372lim)3(31 xxx)12,10(13/51)(0(11lim)1(1Pnxx