数字信号处理 实验 离散傅里叶变换及其特性验证

1、数字信号处理实验报告实验名称： 离散傅里叶变换及其特性验证 学号： 姓名： 评语： 成绩：一、实验目的1、掌握离散时间傅立叶变换（DTFT ）的计算方法和编程技术。 2、掌握离散傅立叶变换（DFT ）的计算方法和编程技术。3、理解离散傅立叶变换（DFT ）的性质并用MA TLAB 进行验证。二、实验原理与计算方法1、离散时间傅立叶变换如果序列x (n 满足绝对可和的条件，即n =-则其离散时间傅立叶变换定义为： |x (n |，X (e j =F x (n =n =-x (n e-j n（1）如果x (n 是无限长的，则不能直接用MATLAB 由x (n 计算X (e j ，但可以用它来估计X

2、 (e j 表达式在0,频率区间的值并绘制它的幅频和相频（或实部和虚部）曲线。如果x (n 是有限长的，则可以用MATLAB 对任意频率处的X (e j 进行数值计算。如果要在0,间按等间隔频点估计X (e j ，则（1）式可以用矩阵向量相乘的运算来实现。假设序列x (n 在n 1n n N (即不一定在0, N -1有N 个样本，要估计下列各点上的X (e j ：k =MMk ，k =0, 1, 2., M它们是0,之间的(M +1个等间隔频点，则（1）式可写成： X (e =ej l =1N-jkn lx (n l ，k =0, 1, 2., M （2）将x (n l 和X (e 分别排列

3、成向量x 和X ，则有：X=Wx （3） 其中W 是一个(M +1N 维矩阵：kn -j M W =e ; n 1n n N ，k =0, 1, 2., M j kT 将k 和n 排成列向量，则W =exp -j k n M 在MA TLAB 中，把序列和下标排成行向量，对（3）式取转置得：T X T =x T exp -j n k M 其中n T k 是一个N (M +1维矩阵。用MATLAB 实现如下：k=0:M; n=n1:n2;X=x*(exp(-j*pi/M.(n*k; 2、离散傅立叶变换一个有限长序列的离散傅立叶变换对定义为：nk X (k =x (n W , 0k N -1 （4

4、）N -1N n =0 N -1x (n =1NX (k W-kn N, 0n N -1 k =0以列向量x 和X 形式排列x (n 和X (k ，则式（4）、（5）可写成： X =W N xx =1*NW N X 其中矩阵W N 由下式给出：n 11 1W W kn1W N -1N NN 0k , n N -1=k W N 1W N -1N N W （-1）N 可由下面的MA TLAB 函数dft 和idft 实现离散傅立叶变换运算。function Xk = dft(xn,N% Computes Discrete Fourier Transform % - % Xk = dft(xn,N%

5、 Xk = DFT coeff. array over 0 = k = N-1 % xn = N-point finite-duration sequence % N = Length of DFT %n = 0:1:N-1; % row vector for n k = 0:1:N-1; % row vecor for k WN = exp(-j*2*pi/N; % Wn factornk = n*k; % creates a N by N matrix of nk values WNnk = WN . nk; % DFT matrixXk = xn * WNnk; % row vector

6、 for DFT coefficients function xn = idft(Xk,N% Computes Inverse Discrete Transform % - % xn = idft(Xk,N% xn = N-point sequence over 0 = n = N-1 % Xk = DFT coeff. array over 0 = k = N-1 % N = length of DFT %5）（n = 0:1:N-1; % row vector for n k = 0:1:N-1; % row vecor for k WN = exp(-j*2*pi/N; % Wn fac

7、tornk = n*k; % creates a N by N matrix of nk values WNnk = WN . (-nk; % IDFT matrixxn = (Xk * WNnk/N; % row vector for IDFT values3、离散傅立叶变换的性质（1）线性性质：DFT ax 1(n +bx 2(n =aDFT x 1(n +bDFT x 2(n 注意：若x 1(n 和x 2(n 分别是N 1点和N 2点的序列，则选择N 3= max (N 1, N 2 ，将它们作N 3点DFT 处理。（2） 周期性：离散傅立叶变换(DFT是周期序列DFS 取主值区间形成的

8、，因此序列x (n 及其DFT X (k 具有特性x (N -n =x (-n 和X (N -k =X (-k 。通常将结果N /2+1N -1间的X (k 量值表示在k 的负值区间。（3）对称性：实序列x (n 的离散傅立叶变换可以表示为X (k =X r (k +jX i (k ，其中实部为偶对称，虚部为奇对称，幅值X (k =X r 2(k +X i 2(k 为偶对称，相位(k =arctanX i (k X r (k 为奇对称。如果序列x (n 是实偶对称序列，则X (k 也是实偶对称，即X (N -k =X (k ；如果序列x (n 是实奇对称序列，则X (k 是虚奇对称，即X (N

9、 -k =-X (k ；如果序列x (n 是虚偶对称序列，则X (k 也是虚偶对称，即X (N -k =X (k ；如果序列x (n 是虚奇对称序列，则X (k 是实奇对称，即X (N -k =-X (k 。根据上述关系，对于实序列x (n ，则有X *(N -k =X (k ；对于纯虚序列x (n ，则有X *(N -k =-X (k 。三、实验内容（1）将实指数函数e u (t 抽样，取抽样周期为1/64，作64点DFT ，并作出实部、虚部和幅频、相频特性曲线。实验代码：n=0:1:63; N=64; Ts=1./N; t=n.*Ts;xn=exp(-t.*ut(t; Xk=dft(xn,

10、N; x1=real(Xk; x2=imag(Xk; x3=abs(Xk; x4=angle(Xk; subplot(411 stem(n,x1 title( 实部 subplot(412 stem(n,x2-ttitle( 虚部 subplot(413 stem(n,x3 title( 幅频 subplot(414 stem(n,x4 title( 相频 实验结果： （2）将图3-2中的两个连续函数抽样，取抽样周期为1/32，作64点DFT ，验证前述的四种奇偶特性，并作出幅频和相频特性曲线。 e -t u (t x (t 1 x (t 10 1 2 t0 1 2 t -1 (b 0 1 t

11、图3-1连续时间函数(a 图3-2 两个有限时间连续函数实验代码：Ts=1/32; N=64;na1=0:1:31; na2=32:1:N-1; k=0:1:N-1; tsa1=na1*Ts; tsa2=na2*Ts; xa1=tsa1; xa2=2-tsa2; xa=xa1 xa2; Xka=dft(xa,N; Xk1=abs(Xka; Xk1_=fft_shift(Xk1; Xk2=angle(Xka; Xk2_=fft_shift(Xk2; subplot(211 stem(k,Xk1_ title(a的幅频 subplot(212 stem(k,Xk2_ title(a的相频 实验结果： 实验代码： 实验代码： 代码 Ts=1/32; N=64; nb1=0:1:30; nb2=31; nb3=32:1:N-1; k=0:1:N-1; tsb1=nb1*Ts; tsb2=nb2*Ts; tsb3=nb3*Ts; xb1=tsb1; xb2=0; xb3=2-tsb3; xb=xb1