数值传热学部分习题答案

1、 ( uw ( vw w w + = + y x x y x y 2 2 + w = 0 x 2 y 2 由假设的流函数 求解涡量控制方程， 然后由求解获得的涡量 w 通过流函数控制方程更新 0 得到 ，重复直到收敛。因为 , w 有相应控制方程且互相耦合，所以上述步骤可以得到合 * 理的 ，最终可以得到速度 u , v 。在涡量流函数法中，不存在速度及压力关系隐含在连 续方程的问题，所以在获得收敛的流函数后，便可以利用 Poisson 方程： 2 2 p 2 p 2 + = x 2 x 2 y 2 求解 p 分布； 2 2 y 2 xy 2 83 坐标右图所示，将 i , 2 , i , 3

2、 分别在 (i , n 点 Taylor 展开： i , 2 = i ,1 + i ,3 y y + i ,1 2 y 2 (y 2 3 + 3 2! y i ,1 (y 2 + O (y 3 3 ! i ,1 ( 2y 3 + O (y 4 3! i ,1 （1） = i ,1 + y 2 (2y + 2 y i ,1 2 y 2 ( 2y 2 3 + 3 2! y i ,1 u y （2） 因为 y = u i ,1 = 0 ， i ,1 = i ,1 = wi ,1 ，所以 8 × (1 ( 2 得： i ,1 8 i , 2 i ,3 = 7 i , 2 + 2(y 2 wi

3、 ,1 + O(y 4 整理即可得： wi ,1 = 7 i ,1 + 8 i , 2 i ,3 2y 2 + O(y 2 84 将流函数 i , 2 在 (i,1 点展开，有： i , 2 = i ,1 + y y i ,1 2 + 2 y 2 (y / 2 2 + O (y 3 2 ! i ,1 26 因为 y = u i ,1 = 0 ， i ,1 2 y 2 = i ,1 u y = wi ,1 ，所以上式整理为： i ,1 i , 2 = i ,1 + 进而可得 B 节点法中 Thom 公式的表达： (y 2 wi ,1 + O(y 3 8 wi ,1 = 8( i , 2 i ,1

4、 y 2 + O(y 将流函数 i , 2 在 (i,1 点展开成具有三阶截差的 Taylor 公式可得： i,2 且有： = i ,1 + y y i ,1 2 + 2 y 2 (y / 2 2 3 + 3 2! y i ,1 (y / 2 3 + O (y 4 3! i ,1 3 y 3 = i ,1 2 2 y y w wi , 2 wi ,1 = y = (y / 2 + O (y 将流函数的各阶导数表达式代入 Taylor 公式得： i , 2 = i ,1 + wi , 2 wi ,1 (y 3 (y 2 4 wi ,1 + O ( y + (y / 2 48 + O(y 8 12

5、( i , 2 i ,1 (y 2 整理可得 B 节点法中的 Woods 公式： wi ,1 = 1 wi , 2 + O(y 2 2 85 对直角坐标系中，对流换热的有效压力为： p eff = p + c gy sin + c gx cos 对柱坐标系中，对流换热的有效压力为： p eff = p + c gx 对极坐标系中，对流换热的有效压力为： p eff = p + c gr cos 27 91 由势流的伯努利方程有： pe = p + 1 2 u 2 由工作条件可得空气密度 = 1.205 ，所以可得： p = pe 由 u '2 1 2 1 u = 100000 

6、5; 1.205 × 50 2 = 98493.75 Pa 2 2 / u = 5% ，可得： u ' 2 = (5% × u 2 = (0.05 * 50 2 = 6.25 所以： 有效压力： p t = u ; 2 = 1.205 * 6.25 = 7.53 p eff = p + p t = 98492 .75 + 7.53 = 98501 .28 Pa 两者差别： = p eff p p = 7.53 = 0.0076% 98492.75 92 公式（921）中的产生项： t + u j u j u i + x i x i x j u u u u v u u

7、 w = t u + + + + + x x x y y x z z x v v u v v v v v w w w u w w v w w w + + + + + + + + + + + x x y y y y z z y x x z y y z z z z 94 由 Prandtl 混合长度理论可知，湍流的切应力公式如下： u u 2 w = l y y = w / l m 2 m 2 当采用 k 模型时，有： t = c k 2 / 当脉动动量的产生与耗散相平衡时有： u =t y 将上述表达式代入有： 2 28 2 = (c k 2 / ( w / l m （1） 再考虑 , k 之间

8、关系： = c k 3/ 2 lm / 2 1/ 2 w / = c1 k 将上式代入式（1）中整理可得： 即证。 95 i 脉动动能耗散率 = 在直角坐标系中展开式为： x k u ' = u ' x u ' y + 2 w ' v ' v ' v ' u ' x z + y + x + z + + 2 2 2 2 2 2 w ' y + 2 w ' z + 2 2 l2 l l2 由 表达可知其量纲为： = 3 t t l t 考查 的控制方程： m 2 s 3 + u k = t x k x k t + c1 u i x + k t x j k u i u j + x j xi 2 c2 k 右侧第一项的量纲： 1 m l 2 m = 3 l t l t l l t4 kg m 1 s 4 第二项除 c1 外量纲： l2 m (l / t (l / t m = 2 l l t4 t 3 (l / t t l l kg m 1 s 4 第三项除 c2 外量纲： 所以， c1 和 c2 均为无量