微分中值定理及其应用12248

1、第六章 微分中值定理及其应用§1 Lagrange 定理和函数的单调性【教学目的与要求】： 1、熟练掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。 2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。 3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2。 4、掌握拉格朗日中值定理的推论3（导数的极限定理），并能利用它求分段函数的导数。 5、掌握函数在区间上单调的充要条件及严格单调的充要条件，并能运用它证明函数的单调区间。【重点】：拉格朗日中值定理及函数单调（或严格单调）的充要条件。【难点】：1、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。 2、利用导数证明不等式的技巧。一 、Roll中值定理与Lagrange中值定理定理6

2、.1 (Roll定理) 若满足：（1）（2）在可导 （3），则证明：必在有最大值M和最小值m，若M=m，则为上的常值函数，结论显然；若Mm,则M与m必有其一在内部某点取得，故为必极值点，由Fermat 知 .注：1）三个条件缺一不可 2）几何意义例1 在R上可导，若无实根，则=0至多只有一实根定理6.2（Lagrange） 若满足1），2）则 Lagrange中值公式说明：1、特解； 2、几何意义证明：作辅助函数即可。Lagrange中值公式的基本形式例2 证明对一切h>-1,h0成立不等式证明：考虑函数,x在0与h之间，显然在0到h组成的闭区间上连续，开区间上得，当h>0时，；

3、当-1<h<0时,1>1+h>1+h>0 ；由知，当h>-1时,且h0时, 推论1 若f在区间I上可导，且则f为I上的一个常量函数. 证：,设，则f在上满足Lagrange中值定理的条件., s.t.；这说明I上任意两点处f的值皆相等，故f在I上为常量函数.例 证明：在上恒有 证明：设 ,则f(x)在-1,1上连续,在-1,1可导.且， 而, 推论2 若f，g在I上皆可导，且，则在I上与至多只相差一个常数，即 （c为常数）推论3 （导数极限定理） 设f在的某邻域内连续,在内可导，且存在，则f在可导，且证明：按左右导数证之.,f在上满足Lagrange定理 条

4、件，, s.t. 又，当时， 对上式两边取极限.设，同理可设 ，又存在,记为K，故 例3 求分段函数的导数.解:略 定理 区间I上处处可导的函数f其导函数在I上不可能有第一类间断点.二 、 单调函数 定理6.3 设f在I上可导，则f在I上递增（减）的充要条件是证明：若f为增函数，当时，由不等式性知，反之，若f在I上恒有，则对且对f在上用Lagrange中值定理，当,s.t. 在I上增。例4 设f(x)=x3-x, 试讨论函数f(x) 的单调区间.定理6.4 若f在内可导，则f在内严格单增（单减）的充要条件是() () 在内的任何子区间上推 论 若f在区间I上可微，若则f在I上严格递增（递减）

5、例5 证明不等式 ex>x+1, x0.复述定理6.4及推论例1. 例1.        设，证明：证明：，：，用，例2 .例3 .例4 证明：，又中，.§2 Cauchy中值定理和不定式极限【教学目的与要求】：1、掌握柯西中值定理，了解柯西中值定理的几何意义。 2、掌握罗比塔法则，并能熟练地运用罗比塔法则求各种类型的不定式极限。 【教学重点】：柯西中值定理与罗比塔法则。【教学难点】：将其他类型不定式极限转化为或型的极限的技巧。 一 、 Cauchy 设满足： 在上都连续； 证明：作辅助函数，易知上满足Rol

6、l定理的条件，故有结论。注： 1）可否对分别用Lagnange中值定理证之 2）几何意义 ， 例1 证明：. 即证 证明： Cauchy中值定理的条件，即证。二 、不定式极限 （法则） 1、 型不定式极限定理6.6 若满足：；证明：补充定义，用 Cauchy中值定理得： .注：1）定理中，仍为型不定式，可再次用法则例2 求例3 求 解：例4 求2、 型不定式集极限定理：若满足； 在的某邻域内可导，且则证明：证A为定数的情形，由，对当满足时有，由，对在上用中值定理，即 由 有：，由 ，3、 其它类型不定式极限还有等型不等式，主要通过将其转化为型来处理。例7 求例8 求解：此为型 例9 求 （ k

7、 为常数） 补例 求解：此属型例10         求例11 设且已知解：例12        求解：先求习题 6 、设在点的某邻域二阶可导，证明对充分小的，使得解 ：令，当充分小时，在上连续，在可导，不等于0，由中值定理证 （） 再令在用中值定理证取，即证§3 公式教学目的与要求：1、掌握带有佩亚诺余项型的泰勒公式及带有拉格朗日型余项的泰勒公式。 2、熟记基本初等函数的麦克劳林公式（带有佩亚诺余项型及带有拉格朗日型余项）。3、能利用泰勒公式计算某些不定

8、式的极限。 4、掌握泰勒公式在近似计算上的应用。重点：带有佩亚诺余项型的泰勒公式及带有拉格朗日型余项的泰勒公式。 难点：泰勒公式在近似计算中的应用。多项式逼近函数为其实质一、 带有型余项的公式在可微，则用一次多项式代替，误差为一次项的高阶无穷小，对实际问题需要误差更高阶无穷小为此，设在的各阶导数分别为即 ， ， 这说明，多项式的各项系数由在的各阶导数以唯一确定。对于一般函数，设其在有直到阶导数，于是可以形式地放到一个多项式 (B)称(B)为在的多项式的多项式系数，称为系数，然后是否等于，若不等，误差应是多大呢？定理6.8 若函数在存在直到阶导数，则有 即为证明： 要证证 由可知 k=0、1、2

9、n故 又显然有而由存在，故在点的某邻域内存在阶导函数，当，且时，对不等式，连续使用次法则可证即注1 若在附近满足其中，为的次多项式，但未必是的Taylor多项式例 当 为函数，在处只有一阶导函数而无其他阶导数 然而若改就有但非的Taylor多项式，即不等于注2 的带有Peano型余项的次逼近多项式是唯一的，即注3 当时，公式变为称为的公式该记忆的几个基本函数的公式 验证， 证明 代入即证例例2 写出的麦克劳林公式，并求与.例3 求在x=2处的泰勒公式.例4 求极限.二 、带Lagrange型余项的Taylor公式 定理6.9若函数在上存在直至阶连续导数，在内有阶导数，则对任意给定的至少存在一点

10、，使得 =+ +证： 作辅助函数 ，于是 要证 =或 ，不防设在连续，在可导，而 + = +而，由Cauchy中值定理 =这里 =注 注              当时 Taylor公式即为Lagrange中值公式 当时，Taylor公式为Maclaurin公式六个须记忆的基本初等函数带Lagrange余项的Maclaurin公式，其中均满足三 、在近似计算中的应用例6 例6        （1）

11、计算的值，使其误差不超过（2）证明为无理数解 （1）当时 （*）当时 而 约去（2）由（*）得即 （*）若为有理数 即 则当时为正整数，从而（*）左边为整数而右边为非整数时例7 证明则 其中 证：（1）考察函数在上使用中值定理 有而 设 皆大于0又 综合以上得 （2）由（1）=例8 设在可导，且，证明存在使得 证：即证故令 由Cauchy中值定理即得§4 函数的极值与最值【教学目的与要求】： 1、掌握极值的第一充分条件及第二充分条件。2、了解极值的第三充分条件。 3、能利用极值的充分条件求函数的极值。4、会求函数的最大值与最小值。并能解决运用中的最大值、最小值问题。【重点】：极值的第

12、一充分条件及第二充分条件并利用它们求极值问题，求函数的最大、最小值。【难点】：求应用问题中的最大、最小值。一 、极值的判断定理6.10 （极值的第一充要条件）设在连续，在的某邻域可导， 若当时，当时，则在取得极小值；若当时，当时，则在取得极大值。定例6.11 （极值的第二充要条件）设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且 若，则在取极大值；若，则在取极小值。证：由条件，在的Taylor分式为： 而是的无穷小，于是当充分小时，的符号由的符号确定。 即，当时与同号； 当时即，在取得极小值。 当时即，在取得极大值。例1 求的极值点与极值。例2 求的极值点解： 令 设 （此时可用） 又 由Th6.11

13、知在取极小值。Th6.12 （极值的第三充分条件）设在的某邻域内有直到阶导函数，在处阶可导，且而 则： 当为偶数时，在取极值，且时取极大值，取极小值；当为奇数时，在不取极值。例3 求的极值解：令 得稳定点 为极小值又 有 无极值 为极大值注: 定理6.12仍是充分条件。例 设 当时 这儿表示当时的一阶导函数是与的一个多项式的积，设 则：故 但为极小值。二、最大值与最小值最值只可能在区间端点,极值点取得:极值点是稳定点或不可导点例4 求在上的最值解： ，故在必有最值不存在。求出： 知：最小值为0，为最大值。§5 函数的凸性与拐点【教学目的与要求】： 1、理解凸函数及凹函数的概念。 2、

14、掌握凸（或凹）函数的两个充要条件，并能应用它们来求函数的凸或凹性区间。 3、掌握詹森不等式。 4、理解拐点的概念，并会求曲线的拐点。【重点】：1、凸凹函数的两个充要条件。 2、求函数的凸（凹）性区间及曲线的拐点。【难点】：詹森不等式。定义1 设为定义在区间上的函数若对任意两点和任意的实数，总有则称为上的凸函数反之，若总有则称为上的凹函数 若上面二不等式改为严格不等式，则相应地分别称为严格凸函数和严格凹函数注：若在上凸，则-在上凹显然引理 为上的凸函数的充分必要条件是：对与上的任意三点总有证：“必要性” 记=，则（易验证）在上凸=+ （*）“充分性” 在上任取两点，在上任取一点 于是，由条件（*

15、）成立逆推即可得在上凸同理可得 在上凸，且，有 定理6.13 设在区间上可导，则以下论断互相等价 1.为上凸函数2.为上的增函数3.对上任意两点，有证：12 设在上凸，对，当h>0充分小时，使得-h，+h，于是 -h<<<+h 由于在上凸，由引理 可导 令h0 设在上增23 对在，（a，b）上用拉格朗日中值定理若，则在上也用同样的结论换为，即31设，令=+（1-）-=（1-）（） 由3有 +得定理 6.14 设在上二阶可导，则在上凸（凹）函数的充要条件是,(). 例1.讨论函数的凸(凹)性区间. 例2. 为内的可导凸（凹）函数，则为的极值点的充分条件是为稳定点。证明：设

16、为稳定点，即.对.由定理6.13知 故，为的极值点.设为的极值点，在可导，由Fermat定理知 .即为的稳定点.   设在开区间内的凸（凹）函数，则在内每一点都存在左，右导 数.证明：只证在内凸的情形. 对.存在正数. () 由引理令，则在增.对且,则对，只要就有由于上式左端为一常数，故在上有下界，由定理3.10 当时极限存在.即 存在.同理可证存在.由此可知开区间上的凸函数和凹函数皆是连续的例3 若在上为凸函数，则对，. 证明：当n=2时， 由定义1. 命题成立.设n=k时命题成立，即对.及 有现设.及. 令.则例4 设均大于零，则.证明：注意函数 ，则故f在（0，）为严

17、格增函数，由Jensen不等式有即 亦即 又，代入上式左端得定义2 设曲线在点处有穿过曲线的切线且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点.例 曲线在为其拐点拐点为定理6.15 若在二阶可导，则为曲线的拐点的必要条件是证：在二阶可导，故必存在的一个邻域，假设在中一阶可导，若为曲线的拐点，则在两旁增减性刚好相反，故必为的一个极值点。 注:定理6.15中仅为是拐点的必要条件并非充分条件，如而并非曲线的拐点定理6.16设在可导，在某内二阶可导，若在和上符号相反，则为曲线的拐点注:若为曲线的一个拐点，则曲线点处肯定有切线（由定义）但却不一定存在，如在处§6 函数图象的讨论【教学目的与要求】： 1、理解作函数图象的一般程序。 2、能利用上面学过的知识讨论函数的性态并作出其图象。 【重点】：作函数图象的一般程序。【难点】：求曲线的渐近线。步骤1 求函数的定义域；2 观察函数的周期性，奇偶性的缩小作图范围3 求函数的一些特殊点，与轴的拐点，