必修一函数讲义

1、第一次课函数一、知识要点1. 函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 2. 两个函数相等：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则，当函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也随之确定. 因此，函数的定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，称这两个函数相

2、等. 3. 求函数的定义域要从以下几个方面考虑：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数大于等于零；(3)对数的真数大于零；(4)指数函数与对数函数的底数必须大于零且不等于1；(5)函数yx0的定义域是x|xR且x0. 4. 函数的表示法：函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 5. 映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射. 二、典例精析题型一：求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x)2x3，求f(x1)的表达式；(2)已知

3、f(x1)x2x1，求f(x)的表达式；(3)已知f(x)2f(x)3x25x3，求f(x)的表达式. 【解析】(1)把f(x)中的x换成x1，得f(x1)2(x1)32x1. (2)设x1t，则xt1，代入得f(t)(t1)2(t1)1t2t1，所以f(x)x2x1. (3)由f(x)2f(x)3x25x3，x换成x，得f(x)2f(x)3x25x3，解得f(x)x25x1. 【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数fg(x)的解析式，直接把f(x)中的x换成g(x)即可，已知fg(x)，求f(x)的解析式，常常是设g(x)t，或者在fg(x)中凑出g(x)，再把g(x)换成x. 【变式训

4、练1】已知f()，求f(x). 【解析】设u，则u1 (u1). 由f(u)11(u1)(u1)2u2u1. 所以f(x)x2x1 (x1). 题型二：求函数的定义域【例2】(1)求函数y的定义域；(2)已知f(x)的定义域为2，4，求f(x23x)的定义域. 【解析】(1)要使函数有意义，则只要即解得3x0或2x3. 故所求的定义域为(3，0)(2，3). (2)依题意，只需2x23x4，解得1x1或2x4. 故f(x23x)的定义域为1，12，4. 【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解. 对于抽象函数fg(x)的定义域要把g(x)当作f(x)

5、中的x来对待. 【变式训练2】已知f(x)的定义域为(1，1)，求函数F(x)f(1x)f()的定义域. 【解析】由得1x2，所以F(x)的定义域为(1，2).题型三：由实际问题给出的函数【例3】 用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域. 【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB2x，设宽为a，则有2x2axl，即axx，半圆的半径为x，所以y+(xx)·2x(2)x2lx. 由实际意义知xx0，因为x0，解得0x. 即函数y(2)x2lx的定义

6、域是x|0x. 【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义. 如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是xR，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问题对变量的制约. 题型四：分段函数【例4】 已知函数求(1) f(1)f(1)的值；(2)若f(a)1，求a的值；(3)若f(x)2，求x的取值范围. 【解析】(1)由题意，得f(1)2，f(1)2，所以f(1)f(1)4. (2)当a0时，f(a)a31，解得a2；当a0时，f(a)a211，解得a0. 所以a2或a0. (3)当x0时，f(x)x32，解得1x0；当x

7、0时，f(x)x212，解得x1. 所以x的取值范围是1x0或x1. 【点拨】分段函数中，x在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同. 因此，分段函数往往需要分段处理. 第二次课函数的单调性一、知识要点1. 增函数(减函数)的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则说函数f(x)在区间D上是增函数. 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则说函数f(x)在区间D上是减函数. 如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(

8、x)的单调区间. 2. 判定函数为单调函数的常用方法：(1)图象法：函数f(x)在区间D上的图象呈上升趋势时为增函数，呈下降趋势时为减函数；(2)利用函数单调性定义判断函数的单调性：在给定的区间上任取两个自变量的值x1、x2，作差比较f(x1)与f(x2)的大小，从而得出函数的单调性；(3)复合函数单调性的判断：设yf(u)，ug(x)(xa，b)都是单调函数，则yfg(x)的单调性由“同增异减”来确定；二、典例精析题型一：函数单调性的判断或证明【例1】讨论函数f(x)(a)在(2，)上的单调性. 【解析】设x1，x2为区间(2，)上的任意两个数且x1x2，则f(x1)f(x2)，因为x1(2

9、，)，x2(2，)，且x1x2，所以x1x20，x120，x220，所以当a时，12a0，f(x1)f(x2)，函数f(x)在(2，)上为减函数；当a时，12a0，f(x1)f(x2)，函数f(x)在(2，)上是增函数. 【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意x1，x2在给定区间内的任意性. 另外，本题可以利用导数来判断. 【变式训练1】讨论函数f(x)ax2+bx+c的单调性. 题型二：函数单调区间的求法【例2】试求出下列函数的单调区间. (1)y|x1|；(2)yx22|x1|；(3)y2. 【解析】(1)y|x1|所以此函数的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(，1). (2)y

10、x22|x1|所以函数的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(，1). (3)由于tx24x3的单调递增区间是(，2)，单调递减区间是(2，)，又底数大于1，所以此函数的单调递增区间是(，2)，单调递减区间是(2，). 【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出. 题型三：函数单调性的应用【例3】已知函数f(x)的定义域为1，1，且对于任意的x1，x21，1，当x1x2时，都有0. (1)试判断函数f(x)在区间1，1上是增函数还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式f(5x1)f(6x2). 【解析】(1)当x1，x21，1，且x1x2时，得f(x1)f(x2)，

11、所以函数f(x)在区间1，1上是增函数. (2)因为f(x)在1，1上是增函数. 所以，由f(5x1)f(6x2)知，所以0x，所求不等式的解集为x|0x. 【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域. 【例4】若f(x)x22ax3与g(x)在区间1，2上都是减函数，求a的取值范围. 【解析】若f(x)x22ax3在区间1，2上是减函数，则a1；若g(x)在区间1，2上是减函数，则a0. 所以，a的取值范围为0a1. 【点拨】二次函数的单调区间主要依据其开口方向和对称轴的位置来确定. 第三次课函数的奇偶性一、知识要点1. 函数的奇偶性

12、：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 2. 奇(偶)函数的图象特征：(1)奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. 3. 函数的周期性：(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)成立，那么函数f(x)就叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期；(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最

13、小正周期. 二、典例精析题型一：函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)(x1)；(2)f(x)；(3)f(x) (4)f(x)+. 【解析】(1)由0，得定义域为1，1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数. (2)由得定义域为(1，0)(0，1)，因为f(x)=，f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数. (3)当x0时，x0，f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当x0时，x0，f(x)(x)2xx2xf(x). 所以对任意x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，故f(x)为奇函数. (4)由得x 或x，所以函数f(x)的定义域为，又因为对任意的x，x，且f(

14、x)f(x)f(x)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数. 【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析f(x)与f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形. 题型二：由奇偶性的条件，求函数的解析式【例2】若函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，求f(x)的解析式. 【解析】因为函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，所以f(0)0，从而得m0；又f()f()0，得n0. 所以f(x) (1x1). 【变式训练1】已知定义域为R的函数f(x)是奇函数. 求a，b的值. 【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，即0，得b1，所以f(x). 又由f(

15、1)f(1)，知，得a2. 故a2，b1. 题型三：函数奇偶性的应用【例3】设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，当x0时，f(x)0且f(2)6. (1)求证：函数f(x)为奇函数；(2)求证：函数f(x)在R上是增函数；(3)在区间4，4上，求f(x)的最值. 【解析】(1)证明：令xy0，得f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0；令yx有f(0)f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数. (2)证明：设x1，x2R，且x1x2，则f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)，又x0时，f(x)0，所以f(x2)f

16、(x1)f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)，所以函数f(x)在R上是增函数. (3)因为函数f(x)在R上是增函数，所以f(x)在区间4，4上也是增函数，所以函数f(x)的最大值为f(4)，最小值为f(4). 因为f(2)6，所以f(4)f(2)f(2)12，又f(x)为奇函数，所以f(4)f(4)12，故函数f(x)在区间4，4上的最大值为12，最小值为12. 【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值. 【变式训练2】函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对任意x1、x2D，有f(x1·x2)f(x1)f(x2). (1)求f(1)的值；(

17、2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围. 【解析】(1)令x1x21，有f(1×1)f(1)f(1)，解得f(1)0. (2)令x1x21，得f(1)0，令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数. (3)f(4×4)f(4)f(4)2，f(16×4)f(16)f(4)3. 所以f(3x1)f(2x6)3，即f(3x1)(2x6)f(64). 因为f(x)在(0，)上是增函数，所以或或所以3x5或x或x3. 故x的取值范围为x|3

18、x5或x或x3. 第四次课二次函数一、知识要点1. 二次函数的解析式：(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)；(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0，x1，x2是方程f(x)0的两个根). 2. 二次函数的图象特征：a0时，二次函数f(x)ax2bxc的图象是开口向上的抛物线；a0时，二次函数f(x) ax2bxc的图象是开口向下的抛物线. 二次函数图象的对称轴是直线. 3. 二次函数的定义域和值域：二次函数f(x)ax2bxc (a0)的定义域为R，当a0时，其值域为 ；当a0时，其值域为 . 4. 二次函数的单调性：设二次函数f

19、(x)ax2bxc (a0)，当a0时，f(x)在上是减函数，在上是增函数；当a0时，f(x)在上是增函数，在上是减函数. 二、典例精析题型一：求二次函数的解析式【例1】已知二次函数yf(x)的图象的对称轴方程为x2，在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式. 【解析】设f(x)ax2bxc (a0)，由已知有解得a，b=2，c1，所以f(x)x22x1. 【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x轴相交，则两点间的距离为|x1x2|. 【变式训练1】若二次函数的图象经过点(0，1)，对称轴为x2，最小值是1，则它

20、的解析式为？ . 【解析】此题可选用一般式解决，但计算复杂. 对称轴为x2，最小值是1，可知其顶点为(2，1)，从而，可选用顶点式求解. 设二次函数的解析式为ya(x2)21，将(0，1)代入得14a1，所以a，所以所求的函数解析式为y(x2)21. 题型二：求二次函数的值域或最值【例2】某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳销售价应为多少？【解析】设最佳售价为(50x)元，最大利润为y元，则y(50x)(50x)(50x)×40x240x500(x20)2900，当x20时，y取得最大值，所以

21、最佳销售价应为70元. 题型三：二次函数在方程、不等式中的综合应用【例3】设函数 f(x)ax2bxc (a0)，x1x2，f(x1)f(x2)，对于方程f(x) f(x1)f(x2)，证明：(1)方程在区间(x1，x2)内必有一解；(2)设方程在区间(x1，x2)内的根为m. 若x1，m，x2成等差数列，则m2. 【证明】(1)令g(x)f(x) f(x1)f(x2)，则g(x1)g(x2) f(x1)f(x2)· f(x2)f(x1) f(x1)f(x2)20，所以方程g(x)0在区间(x1，x2)内必有一解. (2)依题意2m1x1x2，即2mx1x21，又f(m) f(x1)

22、f(x2)，即2(am2bmc)abx1cabx2c，整理得a(2m2)b(2mx1x2)0，a(2m2)b0，m2. 【点拨】二次方程ax2bxc0的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点对应二次函数的函数值的正负；(3)相应二次函数的对称轴x与区间的位置关系. 【变式训练2】已知函数f(x)ax2bx (a0)满足条件f(x5)f(x3)，且方程f(x)x有等根. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m、n (mn)，使f(x)的定义域和值域分别是m，n和3m，3n？若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)函数f(x)满足f

23、(x5)f(x3)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称，故1，即b2a. 又方程f(x)x有等根，即ax2(b1)x0有等根，所以b1，a，所以f(x)x2x. (2)因为f(x)x2x(x1)2在区间m， n上的值域为3m， 3n，则3n，n，故mn，所以f(x)在m，n上是增函数，所以f(m)3m，且f(n)3n，所以m、n是方程f(x)3x的两个不等实根，所以x2x3x，即x24x0，解得x0或4，又mn，所以m4，n0. 第五次课指数与指数函数一、知识要点1. n次方根的定义：若xna，则称x为a的n次方根. 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数；当n是偶

24、数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根. 2. 方根的性质：当n为奇数时，a；当n为偶数时， 3. 分数指数幂的意义：若a0，m，n都是正整数，n1，则，；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 4. 有理数指数幂的运算性质：ar·asar+s (a0)；ar÷asars (a0)；(ar)sars (a0)；(ab)rarbr (a，b0). 5. 指数函数的概念：函数yax (a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量. 6. 指数函数的图象与性质a10a1图象定义域RR值域(0， )(0， )函数值分布当x0时y1，当x0时y1，当

25、x0时0y1当x0 时0y1，当x0 时y1，当x0时y1单调性在R上是增函数在R上是减函数二、典例精析题型一：指数及其运算【例1】计算：(1) ·；(2)(0. 027)()【解析】(1)原式. (2)原式45. 【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先将底数化成相同. 题型二：指数函数性质的应用【例2】已知函数f(x)，其中xR，(1)试判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明：f(x)是区间(，)上的增函数. 【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为xR，且f(x)f(x)，所以f(x)为(，)上的奇函数. (2)证明：设x1，x2R，且x1x2，f(x1)f(x2)0，所以f(x)

26、是区间(，)上的增函数. 【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围，应分类讨论. 【变式训练1】已知a0，且a1，函数f(x)axax，其中xR.。(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)试判断f(x)在区间(，)上的单调性. 【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为xR，且f(x)axaxf(x)，所以f(x)为(，)上的奇函数. (2)当a1时，设x1，x2R，且x1x2，f(x1)f(x2)()()()()，其中，当a1，x1x2时，从而有f(x1)f(x2)0，所以当a1时，f(x)是区间(，)上的单调递增函数；同理，当0

27、a1时，f(x)是区间(，)上的单调递减函数. 题型三：指数函数的综合应用【例3】(1)求函数f(x)()x()x，x0，1的最小值与最大值；(2)求函数f(x)4x2x13，x1，1的最小值与最大值. 【解析】(1)因为01，01，所以函数f(x)()x()x，x0，1是单调递减函数. 所以，函数f(x)()x()x，x0，1的最小值为，最大值为2. (2)令t2x，则f(x)4x2x13t22t3，其中x1，1，即t，2，所以，函数f(x)4x2x13，x1，1的最小值为，最大值为11. 【点拨】对于形如f(x)a2xb·axc的函数求最值，要注意换元，令tax，化成二次函数后再

28、在某区间上求最值. 【例4】(1)求函数y()的单调区间；(2)设0a1，解关于x的不等式：aa. 【解析】(1)因为函数yx22x5在区间(，1上单调递减，在区间1，)上单调递增，又底数01，所以函数y()在区间(，1上为增函数，在区间1，)上为减函数. (2)因为0a1，所以yax在区间(，)上为减函数，由，得2x23x1x22x5，解得2x3，所以原不等式的解集为x|2x3. 【点拨】求函数yaf(x)的单调区间，只需先求出函数f(x)的单调区间，然后根据复合函数的单调性得知函数yaf(x)的单调区间. 作业一（函数及表示）一、选择题（共6小题；共30分）1. 已知集合 ，则 的子集共有

29、 · A. 个B. 个C. 个D. 个2. 有下列说法： 与 表示同一个集合；由 ， 组成的集合可表示为 或 ；方程 的所有解的集合可表示为 ；集合 是有限集其中正确的说法是 · A. 只有和B. 只有和· C. 只有D. 以上四种说法都不对3. 集合 ，且 与 的公共元素是 ，则 的值是 ( )· A. B. · C. D. 或 4. 设 是集合 到集合 的映射，如果 ，那么 可能是 · A. B. 或 C. D. 或 5. 已知 是一次函数，且满足 ，则 等于 · A. B. C. D. 6. 已知 且 ，则

30、不能等于 ( )· A. B. · C. D. 二、填空题（共2小题；共10分）7. 已知函数 的定义域是 ，且 ，那么函数 的定义域是  8. ，若 表示集合 中元素的个数，则  ，  三、解答题（共3小题；共39分）9. 已知全集 ， 为 的两个子集，且满足 ，求 ，10. 已知函数 ， 求 与 的解析式11. 已知 ， 求 和 的值； 求 和 的解析式答案第一部分1. B2. C3. B4. B5. A6. D第二部分7. 8. ；第三部分9. 如图所示，由 可知， 中没有元素 ，；由 可知， 中没有元素 ，； 中有元素 ，；由 可知， 中有元素， 中没有元素 ，剩下的元素 ，不在 ， 三部分中，则 ，所以 ，10. 当 时，；当 时，所以 当 ，即 时，；当 ，即 时，所以 11. （1） 由已知，所以 ，      （2） 当 时，故 ；当 时，故 ；所以 当 或 时，故 ；当 时，故 ，所以 作业二（函数的性质）一、选择题（共6小题；共30分）1. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是 ( )· A. B. C. D. 2. 已知 分别是定义在 上的