第九章：概率

1、五年高考真题分类汇编：概率一.填空题1（2013福建高考理）利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_【解析】本题考查了几何概型与随机模拟等知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力因为0a1，由3a10得0”发生的概率为.【答案】2（2013安徽高考理）若8的展开式中x4的系数为7，则实数a_.【解析】本题考查二项展开式的通项二项式8展开式的通项为Tr1Carx8r，令8r4，可得r3，故Ca37，易得a.【答案】3（2013浙江高考理）设二项式5的展开式中常数项为A，则A_.【解析】本题考查二项式定理及相关概念，考查利用二项式定理解决相关问题的能力以及考生

2、的运算求解能力Tr1(1)rCx，令155r0，得r3，故常数项A(1)3C10.【答案】104（2013浙江高考理）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)【解析】本题考查对排列、组合概念的理解，排列数、组合数公式的运用，考查运算求解能力以及利用所学知识解决问题的能力“小集团”处理，特殊元素优先，CCAA480.【答案】4805（2013重庆高考理）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)【解析】本题考查排列组合问题，意在考查考生的思维

3、能力直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名所以选派种数为CCCCCCCCCCCCCCCCCC590.【答案】5906.（2013新课标II高考理）从n个正整数1,2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n_.【解析】本题考查排列组合、古典概型等基本知识，意在考查考生的基本运算能力与逻辑分析能力试验基本事件总个数为C，而和为5的取法有1,4与2,3两种取法，由古典概型概率计算公式得P，解得n8.【答案】87（2013北京高

4、考理）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_【解析】本题考查排列组合中的分组安排问题，意在考查考生分析问题、解决问题的能力按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A96.【答案】968（2013山东高考理）在区间3,3上随机取一个数x，使得|x1|x2|1成立的概率为_【解析】本题考查绝对值不等式的解法、几何概型等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力当x1时，不等式|x1|x2|1，即(x1)(x2)3

5、1，此时无解；当12时，不等式|x1|x2|1，即x1x231，解得x2.在区间3,3上不等式|x1|x2|1的解集为1x3，故所求的概率为.【答案】9（2013大纲卷高考理）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)【解析】本题考查排列组合知识法一：(间接法)AAA480.法二：(直接法)AA480.【答案】48010（2013四川高考理）二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)【解析】本题考查二项式的通项，意在考查考生的运算能力因为C10，故含x2的项的系数是10.【答案】1011.（2013天津高考理）6的二项展开式中的常数项为_【解析

6、】本题考查二项式定理的应用，意在考查考生的运算求解能力二项式6展开式的第r1项为Tr1Cx6r()rC(1)rx6r，当6r0，即r4时是常数项，所以常数项是C(1)415.【答案】1512（2013重庆高考文）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为_【解析】本题主要考查古典概型，考查考生的逻辑思维能力三人站成一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种排法，其中甲、乙相邻有4种排法，所以甲、乙两人相邻而站的概率为.【答案】13（2013江苏高考文）现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_【解析】

7、本题考查古典概型的相关知识，意在考查用枚举法求概率基本事件总数为N7963，其中m，n都为奇数的事件个数为M4520，所以所求概率P.【答案】14（2013大纲卷高考文）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)【解析】本题主要考查组合、分步计数乘法原理的应用第一步决出一等奖1名有C种情况，第二步决出二等奖2名有C种情况，第三步决出三等奖3名有C种情况，故可能的决赛结果共有CCC60种情况【答案】6015（2013福建高考文）利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_【解析】本题主要考查几何概型与随机模拟等基

8、础知识，意在考查或然与必然思想，考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力由题意，得0a，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a1E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分X3”的事件为A，则事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三个两两互斥的事件，因为P(X0)，P(X2)，P(X3)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，

9、则X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P所以E(X1)024，E(X2)036.因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大58（2013辽宁高考理）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望解：本题主要考查概率的综合应用，离散型随机变量的分布列和数学期望同时也考查考生分析问题以及应用知识解决实际问题的能力(

10、1)设事件A“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X0)C02；P(X1)C11C02；P(X2)C20C11；P(X3)C20；所以X的分布列为：X0123P所以E(X)01232.59（2013安徽高考理）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到记该系收到李老师或张老

11、师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(2)求使P(Xm)取得最大值的整数m.解：本题主要考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力(1)因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以与相互独立由于P(A)P(B)，故P()P()1，因此学生甲收到活动通知信息的概率P12.(2)当kn时，m只能取n，有P(Xm)P(Xn)1.当kn时，整数m满足kmt，其中t是2k和n中的较小者由于“李

12、老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为(C)2.当Xm时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2km，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为mk.由乘法计数原理知：事件Xm所含基本事件数为CCCCCC.此时P(Xm).当kmt时，P(Xm)P(Xm1)CCCC(mk1)2(nm)(2km)m2k.假如k2kt成立，则当(k1)2能被n2整除时，k2k2k1t.故P(Xm)在m2k和m2k1处达最大值；当(k1)2不能被n2整除时，P(Xm)在m2k处达最大值(注：x表示不超过x的最大整数)下面证明k2kt.因为1kn，所以2kk0.而2k

13、n0，故2kn，显然2k2k.因此k2kt.60（2013浙江高考理）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E()，D()，求abc.解：本题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望、方差等概念及相关计算，考查抽象概括以及运用所学知识分析问题解决问题的能力(1)由题意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，

14、P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列为23456P(2)由题意知的分布列为123P所以E()，D()222.化简得解得a3c，b2c，故abc321.61（2013重庆高考理）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X

15、的分布列与期望E(X)解：本题主要考查随机变量的概率、分布列和数学期望，意在考查考生的阅读理解能力以及转化与化归能力设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i0,1,2,3)与Bj(j0,1)独立(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1).(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0)1.综上知X的分布列为X01050200P从而有E(X)010502004(元)62（2013新课标高考理）一批产品需要进行质量检验，检验方案

16、是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望解：本题主要考查独立重复试验和互斥事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学

17、期望等，意在考查考生的阅读理解能力及运用所学概率知识解决实际问题的能力(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2).(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X400)1，P(X500)，P(X800).所以X的分布列为X400500800PEX400500800506.2

18、5.63（2013新课标II高考理）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品以X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,11

19、0)则取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求T的数学期望解：本题考查概率、统计的知识，考查频率分布直方图以及随机变量的分布列及其期望的基本求解方法，意在考查考生的理解能力以及基本运算能力(1)当X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000，当X130,150时，T50013065 000.所以T(2)由(1)知利润T不少于57 000元，当且仅当120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45 00053 00061

20、00065 000P0.10.20.30.4所以ET45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.64（2013北京高考理）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解：本题考查统计图、古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、方差

21、等基础知识，意在考查数形结合思想和考生的数据处理能力、运算求解能力设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i1,2，13)根据题意，P(Ai)，且AiAj(ij)(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2).所以X的分布列为X012P故X的期望EX012.(3)从3月5日开始连续三天的空气质

22、量指数方差最大65（2013陕西高考理）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望解：本题考查实际生活中的古典概型和相互独立事件的概率的计算，以及分布列和期望的计算(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P

23、(A)，P(B).事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)P(A)P()P(A)1P(B).(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C).X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X0)P(A )，P(X1)P( )P( B )P( C)，P(X2)P(AB )P(A C)P(BC)，P(X3)P(ABC)，X的分布列为X0123PX的数学期望EX0123.66（2013江西高考理）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别

24、为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望解：本题将平面向量与概率统计知识相交汇，创新味十足，属能力立意的好题，主要考查平面向量的数量积、相互独立事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等相关知识(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28种，X0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X0).(2)两向量数量积X的所有可能取值为2，1,0,1，X2时，有2种情形；X1时，有8种情形；X1时，有10种情形所以X的分布列为：X2101PEX(2)(1)

25、01.67.（2013山东高考理）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分、对方得1分求乙队得分X的分布列及数学期望解：本题考查相互独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的概率分布与数学期望等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力(1)记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P(A1)3，P(A2)C2，P(A3)C22.所以，甲队以30胜利、以31胜利的概率都为，以32胜利的概率为.(2)设“乙队以32胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)C22.