高中数学二轮复习专题三、导数的综合应用.doc

1、专题三、导数的综合应用2009-2-25高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大常常运用导数确定函数的单调性，进而研究函数的最值、极值，方程及不等式的解等导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题

2、的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。考点展示1.设函数的最大值为3，则f(x)的图象的对称轴的方程是 2.已知函数的导函数为，且满足，则 6 。3.曲线在点（）处的切线方程为 4.设，函数的导函数是，且是奇函数 . 若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 5.函数在定义域R内可导，若，且当时，设则 6.函数的定义域为（a,b），其导函数 内的图

3、象如图所示，则函数在区间（a,b）内极小值点的个数是 1 7.如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为_ _样题剖析例1、（2008浙江）已知是实数，函数.求函数f(x)的单调区间；设g(x)为f(x)在区间上的最小值.（i）写出g(a)的表达式；（ii）求的取值范围，使得.（1）解：函数的定义域为，（）若，则，有单调递增区间若，令，得，当时，当时，有单调递减区间，单调递增区间（2）解：（i）若，在上单调递增，所以若，在上单调递减，在上单调递增，所以若，在上单调递减，所以综上所述， （ii）令若，无解若，解得若，解得故的取值范围为变式：已知函数.（1）求的最大值；(2) 设实数，求函

4、数在上的最小值. 解（1）令得 当时，在上为增函数 当时，在上为减函数 （2），由（2）知：在上单调递增，在上单调递减在上的最小值 当时， 当时， 例2、已知（1）求函数在上的最小值（2）对一切的恒成立，求实数a的取值范围（3）证明对一切，都有成立解，即时，（2），则设，则，单调递增，单调递减，因为对一切，恒成立，（3）问题等价于证明， 由（1）可知，的最小值为，当且仅当x=时取得设，则，易得。当且仅当x=1时取得从而对一切，都有成立变式1：已知函数f(x)=ln2(1+x)-.(1) 求函数的单调区间;（2）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.解: （1）函数的定义

5、域是，设则令则当时， 在（-1，0）上为增函数，当x0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（2）不等式等价于不等式由知， 设则由（）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为所以a的最大值为变式2：若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”已知，为自然对数的底数)（1）求的极值；（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方

6、程；若不存在，请说明理由(1) ， 当时， 当时，此时函数递减； 当时，此时函数递增；当时，取极小值，其极小值为 (2)由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点 8分设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即 由，可得当时恒成立， 由，得 下面证明当时恒成立令，则， 当时，当时，此时函数递增；当时，此时函数递减；当时，取极大值，其极大值为 从而，即恒成立 函数和存在唯一的隔离直线 变式3、设 f (x) = px2 ln x，且 f (e) = qe2（e为自然对数的底数）(I)求 p 与 q 的关系；(II)若 f (x) 在其定义域内为单调函数，求 p

7、的取值范围；(III)设 g(x) = ，若在 1,e 上至少存在一点x0，使得 f (x0) > g(x0) 成立, 求实数 p 的取值范围.解：(I) 由题意得 f (e) = pe2ln e = qe2Þ (pq) (e + ) = 0而 e + 0p = q (II)由 (I) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = 令 h(x) = px 22x + p，要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+¥) 内满足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 当 p = 0时， h(x)

8、= 2x， x > 0， h(x) < 0， f(x) = < 0，f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递减，故 p = 0适合题意. 当 p > 0时，h(x) = px 22x + p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = (0,+¥)，h(x)min = p只需 p1，即 p1 时 h(x)0，f(x)0f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递增，故 p1适合题意. 当 p < 0时，h(x) = px 22x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = Ï (0,+¥)只需 h(0)0，即

9、p0时 h(x)0在 (0,+¥) 恒成立.故 p < 0适合题意. 综上可得，p1或 p0另解：(II)由 (I) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = p (1 + )要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 f(x) 在 (0,+¥) 内满足：f(x)0 或 f(x)0 恒成立. 由 f(x)0 Û p (1 + )0 Û p Û p()max，x > 0 = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()max = 1p1由 f(x)0 Û p (1 + )0 &#

10、219; p Û p()min，x > 0而 > 0 且 x 0 时， 0，故 p0综上可得，p1或 p0 (III)g(x) = 在 1,e 上是减函数x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e即g(x) Î 2,2e p0 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。 0 < p < 1 时，由x Î 1,e Þ x0f (x) = p (x)2ln xx2ln x右边为 f (x) 当 p = 1 时

11、的表达式，故在 1,e 递增 f (x)x2ln xe2ln e = e2 < 2，不合题意。 p1 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 1,e 上是减函数本命题 Û f (x)max > g(x)min = 2，x Î 1,e Þ f (x)max = f (e) = p (e)2ln e > 2 Þ p > 综上，p 的取值范围是 (,+¥)例3、设函数（1）求函数的极值点（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围（3）证明：解：（1），当 上无极

12、值点当p>0时，令的变化情况如下表：x(0，)+0极大值从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 （）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，要使恒成立，只需， p的取值范围为1，+ （）令p=1，由（）知， 结论成立变式1、已知函数（e为自然对数的底数）（1）求的最小值；（2）设不等式的解集为P，且，求实数a的取值范围；（3）设，证明：。例4、已知函数f(x)=(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求a的取值范围；(2)是否存在实数a>0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由。解：（1）由

13、已知，得h(x)= 且x>0, 则h(x)=ax+2-=, 函数h(x)存在单调递增区间, h(x)0有解, 即不等式ax2+2x-10有x>0的解. 当a<0时, y=ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线, 要使ax2+2x-10总有x>0的解, 则方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根, 而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根. 故只需=4+4a>0, 即a>-1. 即-1<a<0 当a>0 时, y= ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线, ax2+2x-10 一定有x>0的解.

14、 综上, a的取值范围是(-1, 0)(0, +) （2）方程即为 等价于方程ax2+(1-2a)x-lnx=0 . 设H(x)= ax2+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在区间()内根的问题, 转化为函数H(x)在区间()内的零点问题. H(x)=2ax+(1-2a)-= 当x(0, 1)时, H(x)<0, H(x)是减函数； 当x(1, +)时, H(x)>0, H(x)是增函数； 若H(x)在()内有且只有两个不相等的零点, 只须 解得, 所以a的取值范围是(1, ) 变式1、已知x=是的一个极值点(1)求的值；(2)求函数的单调增区间；(3)设，试问过点（2，5）可作

15、多少条曲线y=g(x)的切线？为什么？解：(1) 因x=1是的一个极值点 即 2+b-1=0b= -1经检验，适合题意，所以b= -1 (2) >0 >0x>函数 的单调增区间为（3）=2x+lnx设过点（2，5）与曲线g (x)的切线的切点坐标为即 令h(x)=0h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增又，h(2)=ln2-1<0，h(x)与x轴有两个交点过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线. 变式2、已知函数 （1）求f(x)在0，1上的极值； （2）若关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.（1），令（舍去）单调递增；当单

16、调递减.上的极大值 （2）由令，当上递增；当上递减而，恰有两个不同实根等价于总结提炼：1.函数的综合问题，这类问题涉及的知识点多，与数列、不等式等知识加以综合。主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力. 2.通过求导来研究函数性质是一种非常重要而有效的方法。通常的步骤：先求导，要注意求导后定义域的情况；将导数整理变形，能看出导数的符号性质或零点。再列表，从表中回答所要求解答的问题。3.对于含有字母参数的问题，可以通过分类，延伸长度，从而降低难度。也可以通过分离变量，转化为函

17、数或不等式问题去解决巩固练习1.已知函数（）的图象为曲线试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B， 则切线方程是：， 化简得：， 而过B的切线方程是， 由于两切线是同一直线， 则有：，得， 又由， 即 ，即 即， 得，但当时，由得，这与矛盾。 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。2.已知函数(其中) ,点从左到右依次是函数图象上三点,且.(1) 证明: 函数在上是减函数；(2) 求证：是钝角三角形;(3) 试问,能否是等腰三角形?若能,求面积的最大值;若不能,请说明理由解：(

18、) 所以函数在上是单调减函数. () 证明:据题意且x1<x2<x3,由()知f (x1)>f (x2)>f (x3), x2=即是钝角三角形()假设为等腰三角形，则只能是即 而事实上, 由于,故(2)式等号不成立.这与式矛盾. 所以不可能为等腰三角形3.如图：在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为的球形工件吊起平放到高的平台上，工地上有一个吊臂长的吊车，吊车底座高.当物件与吊臂接触后，钢索CD长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触.求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上？19解：吊车能把球形工件吊上的高度取决于吊臂的张角，由图可知，所以，由，得，。当时，单调递增，同理，当时， 单调递减，所以时，取最大值. 所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到高的桥墩上.4.已知函数（m、nR，m0）的图像在（2，）处的切线与x轴平行 （1）求n，m的关系式并求的单调减区间； （2）证明：对任意实