2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何

1、专题之7、解析几何一、选择题。1(2009年复旦大学)设ABC三条边之比ABBCCA=324,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2(2009年复旦大学)平面上三条直线x2y+2=0,x2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值 C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0<k1<k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x1)+1和y=±k2(x1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于5(

2、2011年复旦大学)A.sin =1B.cos =1C.cos =1D.sin =16(2011年复旦大学)设直线L过点M(2,1),且与抛物线y2=2x相交于A,B两点,满足|MA|=|MB|,即点M(2,1)是A,B的连接线段的中点,则直线L的方程是A.y=x1B.y=x+3C.2y=3x4D.3y=x+57(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足A.a2(1b2)1B.a2(1b2)>1 C.a2(1b2)<1D.a2(1b2)18(2011年复旦大学)极坐

3、标表示的下列曲线中不是圆的是A.2+2(cos +sin )=5B.26cos 4sin =0 C.2cos =1D.2cos 2+2(cos +sin )=19.10.(2012年复旦大学)A.圆或直线B.抛物线或双曲线 C.双曲线或椭圆D.抛物线或椭圆11(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,ABC的三个顶点都在抛物线上,且ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y20=0,则抛物线方程为A.y2=16xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=8xA.2B.2C.4D.413(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦

4、,O为坐标原点,且OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则ACB的正切值为14(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x4)2+(y1)2=4上,左准线为y轴,则此椭圆离心率的取值范围是二、解答题。15(2009年华南理工大学)设三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(1,2),C(3,1),D,E分别为AB,BC上的点,M是DE上一点,且(1)求点M的横坐标的取值范围;(2)求点M的轨迹方程.16(2009年南京大学)在x轴上方作与x轴相切的圆,切点横坐标为,过B(3,0),C(3,0)分别作圆的切线,两切线交于点P,Q是C在锐角BPC的平分线

5、上的射影.(1)求点P的轨迹方程及其横坐标的取值范围;(2)求点Q的轨迹方程.17(2010年南京大学)设|y216x|=25616|x|.(1)记方程表示的曲线围成的封闭区域为D,试作出这个区域D;(2)过抛物线y2=16x焦点的直线l与该抛物线交于P,Q两点,若|PQ|=a,求SOPQ;(3)当过抛物线y2=16x焦点的直线l与该抛物线在区域D内的部分相交于P,Q时,求SOPQ的最大值.18(2009年浙江大学)双曲线 =1(a>0,b>0)的离心率为,A(x1,y1),B(x2,y2)两点在双曲线上,且x1x2.(1)若线段AB的垂直平分线经过点Q(4,0),且线段

6、AB的中点坐标为(x0,y0),试求x0的值;(2)双曲线上是否存在这样的点A与B,满足OAOB?19(2011年同济大学等九校联考)已知椭圆的两个焦点为F1(1,0),F2(1,0),且椭圆与直线y=x相切.(1)求椭圆的方程;(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2与椭圆分别交于P,Q及M,N,求四边形PMQN面积的最大值与最小值.20(2012年同济大学等九校联考)抛物线y2=2px(p>0),F为抛物线的焦点,A、B是抛物线上两点,线段AB的中垂线交x轴于D(a,0),a>0,(1)证明:a是p、m的等差中项;(2)若m=3p,l为平行于y轴的直线,其被以AD为直径的圆所

7、截得的弦长为定值,求直线l的方程.21(2009年清华大学)有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面?证明你的结论.22(2009年清华大学)已知|PM|PN|=2,M(2,0),N(2,0).(1)求点P的轨迹W;(2)直线y=k(x2)与W交于点A,B,求SOAB(O为原点).23(2009年清华大学)椭圆C: + =1(a>b>0),直线l过点A(a,0),与椭圆交于点Q,与y轴交于点R,过原点的平行于l的直线l'与椭圆交于点P,证明:|AQ|, |OP|,|AR|成等比数列.24(2010年清华大学等五校联考)设A,B,C,D 为抛物线x2=4y上不同的四点,A,D

8、关于该抛物线的对称轴对称,BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l.设D 到直线AB,AC 的距离分别为d1,d2,()判断ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形,并说明理由;()若ABC 的面积为240,求点A 的坐标及直线BC的方程.25 (2011年清华大学等七校联考)F1、F2分别为C的左、右焦点,P为C右支上一点,(1)求C的离心率e;(2)设A为C的左顶点,Q为第一象限内C上的任意一点,问是否存在常数(>0),使得QF2A=QAF2恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.26(2012年清华大学等七校联考)(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)已知过点

9、B的直线交曲线C于x轴下方不同的两点M,N,设MN的中点为R,过R与点Q(0,2)作直线RQ,求直线RQ斜率的取值范围.27(2010年北京大学等三校联考)A,B为y=1x2上在y轴两侧的点,求过A,B的切线与x轴围成的图形面积的最小值.28(2011年北京大学等十三校联考)C1和C2是平面上两个不重合的固定圆,C是该平面上的一个动圆,C与C1、C2都相切,则C的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.29(2011年北京大学等十三校联考)求过抛物线y=2x22x1,y=5x2+2x+3交点的直线方程.1.A【解析】如图,2.C【解析】三条直线相交于一点或者其中两条直线平行,则平面被分成六个部分.(1

10、)当三条直线交于一点(2,2),对应一个k值;(2)当直线x+ky=0与x2y+2=0或者x2=0平行,则对应两个不同的k值.因此共有三个不同的k值.3.C4.A【解析】本题可以采用特殊值和特殊位置来分析,结合具体的选项,得到正确结果.当n=4时,相邻两射线的夹角为,然后可以让A1,A2,A3,A4正好为椭圆的四个顶点,容易得到|OAk|2=2(a2+b2),结合各选项知A正确.7.B【解析】由得直线方程为y=mx+b,由消去y得(x1)2+a2(mx+b)2a2=0,即(1+a2m2)x2+(2a2mb2)x+(1+a2b2a2)=0,由于直线与椭圆相交,所以=(2a2mb2)24(1+a2

11、m2)(1+a2b2a2)>0,整理得(a21)m22bm+(1b2)>0,上式对于任意的实数m恒成立,所以有,整理得a2(1b2)>1.8.D【解析】在D选项中,由2cos 2+2(cos +sin )=1得2(cos2sin2)+2(cos +sin )=1,2cos22sin2+2cos +2sin =1,由于x=cos ,y=sin ,代入可得x2y2+2x+2y1=0,显然这不是一个圆的方程.9.A【解析】依题意知,椭圆上的各个点中到圆心(0,6)的距离最大的点是椭圆的下顶点(0,4),最大距离为10,因此椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值等于11.10.D【解析】

12、设圆锥曲线上任一点M(,),焦点F到相应准线的距离为P,则=为三种圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的统一极坐标方程,0<e<1时曲线表示椭圆,e=1时曲线表示抛物线,e>1时曲线表示双曲线右支,允许<0表示整个双曲线.由知识拓展中圆锥曲线的统一极坐标方程知:=,则0<e=1,故极坐标方程所表示的曲线为椭圆或抛物线(当且仅当k=1时曲线为抛物线).11.A【解析】由题意可设抛物线方程为y2=2px(p0),A(x3,y3),B(x1,y1),C(x2,y2),ABC的重心为G(,0).联立,得2y2+py20p=0,有,又,得,即A(10,),代入抛物线方程可得=2

13、p(10),故p=8,抛物线方程为y2=16x.故选A.12.D【解析】利用C2的短轴长与C1的实轴长的比值等于C2的离心率找到k和a之间的关系,再利用k和a表示出C1在C2的一条准线上截得线段的长,整理可得最终结果.由C2的短轴长与C1的实轴长的比值等于C2的离心率可知,= ,故k(a24)=4,C2的右准线方程为x=,代入C1的方程得  =k,整理可得y=±2,故C1在C2的右准线上截得线段的长为4,选D.13.A解法二如图,14.B15.(1)如图所示,16.(1)设x轴与圆的切点为D,PB,PC分别切圆于E,F,17.(1)首先,25616|x|0,|x|16,16

14、x16.y216x=25616|x|.i)当0x16时,y2=256, y=±16(0x16),图象是两条线段;ii)当16x<0时,y2=256+32x=32(x+8)(8x<0),图象是抛物线y2=32(x+8)的一段;(3)18.(1) x0=2.   (2)不存在19.(1)椭圆方程为+y2=1.(2) S四边形PMQN的最小值为,最大值为2【解析】20.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知21.与抛物线对称轴不平行的直线与抛物线的位置关系有以下三种:(1)总有两个交点;(2)相切;(3)无公共点.对于(1),抛物线及其

15、内部仅覆盖该直线上的一段线段;对于(2),抛物线及其内部仅覆盖该直线上的一个点;对于(3),抛物线及其内部不能覆盖该直线上的任意一点.根据以上三种情况,我们知道:用有限条抛物线及其内部不能覆盖与这有限条抛物线的对称轴均不平行的直线,而平面中存在这样的直线.于是,用有限条抛物线及其内部不能覆盖一条直线,当然不能覆盖整个坐标平面.22.(1)由题意可得点P的轨迹W是双曲线的右支:x2y2=2(x>0).23.设l:y=k(x+a)(易知斜率存在,否则点Q不存在),则l':y=kx.24.如图.所以×8|4|=240,解得x0=±8,所以A(8,16)或A(8,16

16、),当取A(8,16)时,求得B(4,4),又BC的斜率为x0=4,所以直线BC的方程为y4=4(x4),即4xy12=0.同理,当取A(8,16)时,求得B(12,36),直线BC的方程为4x+y+12=0.25.(1)如图,26.27.【解析】设过A点的切线交x轴于点C,过B点的切线交x轴于点D,直线AC与直线BD相交于点E,如图.28.假设圆C1、C2的半径分别为r1、r2,动圆半径为r.分以下情况进行讨论:(1)如果r1=r2.当圆C1、C2相离时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则|CC1|=r+r1,|CC2|=r+r2,因此|CC1|=|CC2|,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平

17、分线;(b)若动圆C与两个圆都内切,则|CC1|=rr1,|CC2|=rr2,因此|CC1|=|CC2|,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则C1C2=r1+r2<C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线.当圆C1、C2外切时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则C1=r+r1,C2=r+r2,因此C1=C2,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线,但应除去两圆的切点;(b)若动圆C与两个圆都内切,则C1=r1,|CC2|=r2,因此C1=C2,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外

18、切,则C1C2r1r2C1C2(或C1C2=r1+r2),动圆圆心轨迹为直线C1C2,但应除去C1、C2以及两圆的切点.当圆C1、C2相交时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则C1=r+r1,C2=r+r2,因此C1=C2,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线,但应除去两圆的公共弦;(b)若动圆C与两个圆都内切,则C1=r1,C2=r2,因此C1=C2,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则C1C2r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的椭圆.(2)如果r1r2 ,不妨设r1>r2.当圆C1、C2相离时,(a)若动圆C与两个

19、圆都外切,则C1=r+r1,C2=r+r2,因此C2r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C2的一支;(b)若动圆C与两个圆都内切,则C1=rr1,C2=rr2,因此C1r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C1的一支;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则C1C2=r1+r2<C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线.当圆C1、C2相外切时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则C1=r+r1,C2=r+r2,因此C1C2=r1r2<C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C2的

20、一支,但应除去两圆的切点;(b)若动圆C与两个圆都内切,则C1=rr1,C2=rr2,因此C2C1=r1r2<C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C1的一支;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则CC1CC2=r1+r2=C1C2(或CC1CC2=r1+r2),动圆圆心轨迹为直线C1C2,但应除去C1、C2以及两圆的切点.当圆C1、C2相交时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则CC1=r+r1,CC2=r+r2,因此CC1CC2=r1r2<C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C2的一支,但应除去两圆公共区域内的部分;(b)若动圆C与两个圆都内切,则CC1r1,CC2r2,因此CC2CC1=r1r2<C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线,但应除去两圆公共区域内的部分;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则C1CC2=r1+r2>C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的椭圆,但应除去两圆公共区域内的部分.当圆C1、C