2015-2016学年上海市宝山区高一(上)期末数学试卷(解析版)

1、2015-2016学年上海市宝山区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，每小题3分，共36分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分）1设集合P=3，0，2，4，集合Q=x|1x3，则PQ=2函数f（x）=log2（1x）的定义域为3函数y=x2的单调增区间是4已知正数x，y满足xy=1，则x2+y2的最小值为5设x1和x2是方程x2+7x+1=0的两个根，则+x=6设常数a1，则f（x）=x22ax+1在区间1，1上的最大值为7若函数f（x）=x2mx+3在R上存在零点，则实数m的取值范围是8设命题：x0，命题：xm，若是的充分条件，则实

2、数m的取值范围是9已知f（x）=x2+1是定义在闭区间1，a上的偶函数，则f（a）的值为10设log23=t，s=log672，若用含t的式子表示s，则s=11设常数a（0，1），已知f（x）=loga（x22x+6）是区间（m，m+）上的增函数，则最大负整数m的值为12记mina，b，c为实数a，b，c中最小的一个，已知函数f（x）=x+1图象上的点（x1，x2+x3）满足：对一切实数t，不等式t2t2+40均成立，如果minx1，x2，x3=x1，那么x1的取值范围是二、选择题（本大题共4题，每小题3分，共12分每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，

3、选对的3分，否则一律得零分）13若f（x）=2x3+m为奇函数，则实数m的值为（）A2B1C1D014函数f（x）=x21（2x3）的反函数为（）Af1（x）=（3x8）Bf1（x）=（3x8）Cf1（x）=（4x9）Df1（x）=（4x9）15“xy0，mn0“是“xmny”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件16给出以下命题：（1）函数f（x）=与函数g（x）=|x|是同一个函数；（2）函数f（x）=ax+1（a0且a1）的图象恒过定点（0，1）；（3）设指数函数f（x）的图象如图所示，若关于x的方程f（x）=有负数根，则实数m的取值范围是（1，+）；（4

4、）若f（x）=为奇函数，则f（f（2）=7；（5）设集合M=m|函数f（x）=x2mx+2m的零点为整数，mR，则M的所有元素之和为15其中所有正确命题的序号为（）A（1）（2）（3）B（1）（3）（5）C（2）（4）（5）D（1）（3）（4）三、解答题（本大题共有5题，满分52分解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤）17解不等式组：18某公司欲制作容积为16米3，高为1米的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米1000元，侧面造价是每平方米500元，记该容器底面一边的长为x米，容器的总造价为y元（1）试用x表示y；（2）求y的最小值及此时该容器的底面边长19设函

5、数f（x）=log2（xa）（aR）（1）当a=2时，解方程f（x）f（x+1）=1；（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1，当a=1时，试在该坐标系中作出函数y=|f（x）|的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间20设函数f（x）是2x与的平均值（x0且x，aR）（1）当a=1时，求f（x）在，2上的值域；（2）若不等式f（2x）2x+1在0，1上恒成立，试求实数a的取值范围；（3）设g（x）=，是否存在正数a，使得对于区间，上的任意三个实数m、n、p，都存在以f（g（m）、f（g（n）、f（g（p）为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围

6、；若不存在，请说明理由21设函数f（x）=|f1（x）f2（x）|，其中幂函数f1（x）的图象过点（2，），且函数f2（x）=ax+b（a，bR）（1）当a=0，b=1时，写出函数f（x）的单调区间；（2）设为常数，a为关于x的偶函数y=log4（）x+2x（xR）的最小值，函数f（x）在0，4上的最大值为u（b），求函数u（b）的最小值；（3）若对于任意x0，1，均有|f2（x）|1，求代数式（a+1）（b+1）的取值范围2015-2016学年上海市宝山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，每小题3分，共36分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每

7、个空格填对得3分，否则一律得零分）1设集合P=3，0，2，4，集合Q=x|1x3，则PQ=0，2【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】由P与Q，找出两集合的交集即可【解答】解：P=3，0，2，4，集合Q=x|1x3，PQ=0，2，故答案为：0，2【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2函数f（x）=log2（1x）的定义域为x|x1【考点】对数函数的定义域【专题】计算题【分析】要使函数f（x）=log2（1x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式【解答】解：要使函数f（x）=log2（1x）有意义则1x0即

8、x1函数f（x）=log2（1x）的定义域为x|x1故答案为：x|x1【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及一元一次不等式的解法，属于基础题3函数y=x2的单调增区间是（，0）【考点】函数的单调性及单调区间【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可【解答】解：函数y=x2为偶函数，在（0，+）内为减函数，则在（，0）内为增函数，故函数的增区间为（，0），故答案为：（，0）【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，根据幂函数的性质是解决本题的关键4已知正数x，y满足xy=1，则x2+y2的最小值为2【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】分析法；不等式的

9、解法及应用【分析】由x，y0，xy=1，可得x2+y22xy，即可得到所求最小值【解答】解：正数x，y满足xy=1，则x2+y22xy=2，当且仅当x=y=1时，取得最小值，且为2故答案为：2【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题5设x1和x2是方程x2+7x+1=0的两个根，则+x=47【考点】根与系数的关系【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用【分析】由韦达定理可得x1+x2=7，x1x2=1，再由+x=（x1+x2）22x1x2，可得答案【解答】解：x1和x2是方程x2+7x+1=0的两个根，x1+x2=7，x1x2=1，+x=（x1+x2）22x1x2=

10、492=47，故答案为：47【点评】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系韦达定理，难度不大，属于基础题6设常数a1，则f（x）=x22ax+1在区间1，1上的最大值为2a【考点】二次函数的性质【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据a的范围判断f（x）在1，1上的单调性，利用单调性求出最大值【解答】解：f（x）的图象开口向下，对称轴为x=a1，f（x）在1，1上是减函数，f（x）在区间1，1上的最大值为f（1）=2a故答案为2a【点评】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，是基础题7若函数f（x）=x2mx+3在R上存在零点，则实数m的取值范围是m2或m2【考点】函数

11、零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；判别式法；函数的性质及应用【分析】可转化为x2mx+3=0有解，从而解得【解答】解：函数f（x）=x2mx+3在R上存在零点，x2mx+3=0有解，=m24×30，解得，m2或m2，故答案为：m2或m2【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及一元二次不等式的解法8设命题：x0，命题：xm，若是的充分条件，则实数m的取值范围是（，0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用【分析】根据不等式的关系结合充分条件的定义进行求解即可【解答】解：若是的充分条件，则m0，故答案为：（，0【点评】本题主要考

12、查充分条件和必要条件的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键比较基础9已知f（x）=x2+1是定义在闭区间1，a上的偶函数，则f（a）的值为2【考点】二次函数的性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据偶函数的对称性可知a=1，代入解析式计算即可【解答】解：f（x）=x2+1是定义在闭区间1，a上的偶函数，a=1f（a）=f（1）=2故答案为：2【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，属于基础题10设log23=t，s=log672，若用含t的式子表示s，则s=【考点】对数的运算性质【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用【分析】利用换底公式以及导数的运算法

13、则化简S，然后求出结果【解答】解：log23=t，s=log672=故答案为：【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力11设常数a（0，1），已知f（x）=loga（x22x+6）是区间（m，m+）上的增函数，则最大负整数m的值为2【考点】复合函数的单调性；对数函数的图象与性质【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用【分析】根据对数函数的单调性结合函数单调性的关系，转化为一元二次函数的性质，进行求解即可【解答】解：设t=x22x+6，则t=（x1）2+50，则函数的定义域为（，+），a（0，1），y=logat为增函数，若f（x）=loga（x22x+6）是区间（m，m+）上的增函

14、数，则等价为t=x22x+6是区间（m，m+）上的减函数，则m+1，即m1=，m是整数，最大的整数m=2，故答案为：2【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法，转化为一元二次函数是解决本题的关键12记mina，b，c为实数a，b，c中最小的一个，已知函数f（x）=x+1图象上的点（x1，x2+x3）满足：对一切实数t，不等式t2t2+40均成立，如果minx1，x2，x3=x1，那么x1的取值范围是【考点】不等式比较大小【专题】转化思想；判别式法；不等式【分析】函数f（x）=x+1图象上的点（x1，x2+x3），可得x2+x3=x1+1由于minx1，x2，x3=x1，可得x2x1

15、，x3x1，可得x1对一切实数t，不等式t2t2+40均成立，可得0，化为：0，解出即可得出【解答】解：函数f（x）=x+1图象上的点（x1，x2+x3），x2+x3=x1+1minx1，x2，x3=x1，x2x1，x3x1，x2x1，x3x1，x1+12x1，解得x1对一切实数t，不等式t2t2+40均成立，=+4（42）0，化为：0，或，x2+x3=x1+1，2（）=，3，及x1，解得x1或，则+3+30，及x1，解得综上可得：x1的取值范围是故答案为：【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、选择题（本大题

16、共4题，每小题3分，共12分每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对的3分，否则一律得零分）13若f（x）=2x3+m为奇函数，则实数m的值为（）A2B1C1D0【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由解析式求出函数的定义域，由奇函数的结论：f（0）=0，代入列出方程求出m【解答】解：f（x）=2x3+m为奇函数，且定义域是R，f（0）=0+m=0，即m=0，故选：D【点评】本题考查了奇函数的结论：f（0）=0的灵活应用，属于基础题14函数f（x）=x21（2x3）的反函数为（）Af1（x）=（3x8）Bf1

17、（x）=（3x8）Cf1（x）=（4x9）Df1（x）=（4x9）【考点】反函数【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】用y表示出x，互换x，y得出解析式，反函数的定义域为f（x）的值域【解答】解：2x3，f（2）f（x）f（3），即3f（x）8f1（x）的定义域是（3，8）x0，由y=x21得x=，f1（x）=，故选：B【点评】本题考查了反函数的解析式求解及互为反函数的函数性质，是基础题15“xy0，mn0“是“xmny”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；定义法；简易逻辑【分析】根据不等

18、式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若xy0，mn0，则xy0，mn0，则mxny0，得xmny0，则xmny成立，若x=3，y=2，m=n=1，明显xmny，但mn0不成立，即必要性不成立，即“xy0，mn0“是“xmny”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键16给出以下命题：（1）函数f（x）=与函数g（x）=|x|是同一个函数；（2）函数f（x）=ax+1（a0且a1）的图象恒过定点（0，1）；（3）设指数函数f（x）的图象如图所示，若关于x的方程f（x）=有负数根，则实数m的取值范围是（1，+

19、）；（4）若f（x）=为奇函数，则f（f（2）=7；（5）设集合M=m|函数f（x）=x2mx+2m的零点为整数，mR，则M的所有元素之和为15其中所有正确命题的序号为（）A（1）（2）（3）B（1）（3）（5）C（2）（4）（5）D（1）（3）（4）【考点】命题的真假判断与应用【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】（1）根据同一函数的定义和性质进行判断（2）根据指数函数过定点的性质进行判断（3）根据指数函数的图象和性质先求出函数的解析式，结合指数函数的取值范围进行求解即可（4）根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解（5）根据根与系数之间的关系进行判断即可【解答】解：（1）函数f

20、（x）=|x|，函数g（x）=|x|，则两个函数是同一个函数；正确（2）f（0）=a0+1=1+1=2，函数f（x）=ax+1（a0且a1）的图象恒过定点（0，2）；故（2）错误，（3）设指数函数f（x）的图象如图所示，则设f（x）=ax，由f（1）=4得a=4，即f（x）=4x，若关于x的方程f（x）=有负数根，则当x0时，0f（x）1，由01，即，即，得，即m1，则实数m的取值范围（1，+）；故（3）正确，（4）若f（x）=为奇函数，则f（0）=0，即1+t=0，即t=1，即当x0时，f（x）=2x1则f（2）=f（2）=（221）=3，则f（f（2）=f（3）=f（3）=（231）=7；

21、故（4）正确，（5）函数f（x）=x2mx+2m的零点为整数，判别式=m28m0，解得m8或m0，x1+x2=m，x1x2=2m，则此时无法确定m的取值，即M的所有元素之和为15不正确，故（6）错误故所有正确命题的序号为（1）（3）（4）故答案为：（1）（3）（4）【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，涉及指数函数，函数的零点和概念，综合性较强，利用定义法和转化法是解决本题的关键三、解答题（本大题共有5题，满分52分解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤）17解不等式组：【考点】其他不等式的解法【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】由条件利用分式不等

22、式、绝对值不等式的解法，等价转化，求得x的范围【解答】解：不等式组，即，即，求得 1x2，即原不等式组的解集为（1，2）【点评】本题主要考查分式不等式、绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题18某公司欲制作容积为16米3，高为1米的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米1000元，侧面造价是每平方米500元，记该容器底面一边的长为x米，容器的总造价为y元（1）试用x表示y；（2）求y的最小值及此时该容器的底面边长【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】（1）设长方体容器的长为xm，宽为zm；从而

23、可得xz=16，从而写出该容器的造价为y=1000xz+500（x+x+z+z）；（2）利用基本不等式，可得x+2，即可得到所求的最值和对应的x的值【解答】解：（1）由容器底面一边的长为x米，设宽为zm，则xz1=16，即xz=16，即z=，则该容器的造价y=1000xz+500（x+x+z+z）=16000+1000（x+z）=16000+1000（x+），x0；（2）由16000+1000（x+）16000+1000×2=16000+8000=24000（当且仅当x=z=4时，等号成立）故该容器的最低总价是24000元，此时该容器的底面边长为4m【点评】本题考查了基本不等式在实际

24、问题中的应用，考查数学建模思想的运用，属于中档题19设函数f（x）=log2（xa）（aR）（1）当a=2时，解方程f（x）f（x+1）=1；（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1，当a=1时，试在该坐标系中作出函数y=|f（x）|的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间【考点】对数函数的图象与性质【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用【分析】（1）当a=2，根据对数方程的性质解方程即可得到结论（2）根据对数函数的性质，结合对数函数的性质进行求解即可【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=log2（x2），则方程f（x）f（x+1）=1等价为log

25、2（x2）log2（x1）=1，即1+log2（x2）=log2（x1），即log22（x2）=log2（x1），则2（x2）=x1，即x=3，此时log2（32）log2（31）=01=1，方程成立即方程的解集为3（2）当a=1时，f（x）=log2（x1），则y=|log2（x1）|=，则对应的图形为，则函数的定义域为（1，+），函数的值域为0，+），函数为非奇非偶函数，函数的单调递减区间为为（1，2），函数的单调递增区间为2，+）【点评】本题主要考查对数方程和对数函数的图象和性质的考查，比较基础20设函数f（x）是2x与的平均值（x0且x，aR）（1）当a=1时，求f（x）在，2上的值域

26、；（2）若不等式f（2x）2x+1在0，1上恒成立，试求实数a的取值范围；（3）设g（x）=，是否存在正数a，使得对于区间，上的任意三个实数m、n、p，都存在以f（g（m）、f（g（n）、f（g（p）为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】函数恒成立问题；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】（1）当a=1时，f（x）=x+，结合对勾函数的图象和性质，可得f（x）在，2上的值域；（2）若不等式f（2x）2x+1在0，1上恒成立，即a2（2x）2+1+2x在0，1上恒成立，令t=2x，则t1，2，y=2t

27、2+t+1，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最小值，可得实数a的取值范围；（3）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得函数在给定的区间上，恒有2yminymax【解答】解：（1）函数f（x）是2x与的平均值，f（x）=x+，当a=1时，f（x）=x+，在，1上为减函数，在1，2上为增函数，当x=，或x=2时，函数最最大值，当x=1时，函数取最小值2，故f（x）在，2上的值域为2，；（2）若不等式f（2x）2x+1在0，1上恒成立，即2x+2x+1在0，1上恒成立，即a2（2x）2+1+2x在0，1上恒成立，令t=2x，则t1，2，y=2t2+t+1，由y=2t2+t+1的图象是开口朝下，且

28、以直线t=为对称轴的抛物线，故当t=2，即x=1时，函数取最小值5，故a5；（3）设t=g（x）=，x，t，1，则y=t+；原问题转化为求实数a的取值范围，使得y在区间，1上，恒有2yminymax讨论：当a时，y=t+在，上单调递减，在，1上单调递增，ymin=2，ymax=max3a+，a+1=a+1，由2yminymax得74a7+4，a；当a1时，y=t+在，上单调递减，在，1上单调递增，ymin=2，ymax=max3a+，a+1=3a+，由2yminymax得a，a1；当a1时，y=t+在，1上单调递减，ymin=a+1，ymax=3a+，由2yminymax得a，1a；综上，a的

29、取值范围是a|a【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了分类讨论与求最值的应用问题，是难题21设函数f（x）=|f1（x）f2（x）|，其中幂函数f1（x）的图象过点（2，），且函数f2（x）=ax+b（a，bR）（1）当a=0，b=1时，写出函数f（x）的单调区间；（2）设为常数，a为关于x的偶函数y=log4（）x+2x（xR）的最小值，函数f（x）在0，4上的最大值为u（b），求函数u（b）的最小值；（3）若对于任意x0，1，均有|f2（x）|1，求代数式（a+1）（b+1）的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数与方程的综合运用；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）求出幂函数的解析式以及一次函数的解析式，化简函数f（x），然后求解单调区间（2）利用偶函数求出，求出最小值a，求出函数的最大值的表达式，然后再求解最大值的