极限的常用求法及技巧.

1、极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方 法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的 第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x

2、趋于正无穷,x趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较 全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种 方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到 能够举一反三，触类旁通1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础，它贯穿于微积分学的始终，是微积分学的重要研究方 法。数列极限是极限理论的重要组成部分，而数列极限的求法可以通过定义法，两边夹方 法,单调有界法，施笃兹公式法，等方法进行求解本章节就着重介绍数列极限的一些求 法。1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设为数列。

3、若对任给的正数N,使得n大于N时有aa<z则称数列>收敛于a ,定数a称为数列的极限，并记作|jm an = a，或n ）：:读作当n趋于无穷大时， a /的极限等于a或an趋于a例证明limn ):3n2n2 -2解 由于3n2n2 -299¥9( n_3)n3 n因此，对于任给的；>0,只要- < ；，便有n3n2n2 -3即当n时，（2）试成立。又因为（1）式是在n 一 3的条件下也成立，故应取z9N = max3, >J J在利用数列的；-N定义时，应意识到下几点1.；的任意性定义中的正数:的作用在于衡量数列通项a 1与定数a的接近程度，；越小，

4、表示接近的愈好；而正数 ；可以任意的小，说明a,与a可以接近到任何程度然而，尽管；有其任意性，但已经给出，就暂时的被确定下来了，以便依靠它来求出N.又1.2利用极限的四则运算极限的四则运算法则若an与bn为收敛数列，则an bn, g-bn , an *bn也都是收敛数列，其有 lim（an 二 bn） = lim an 二 bnn 厂n 厂an bn）二 lim an lim bnn n 例求 lim n （ . n -1 -、n）ncQn +1 + J n11由 11（n '）n得1.3利用单调有界定理单调有界定理即在实数系中，有界的单调数列必有极限，单调数列即若数列方,的各项关系

5、式，an - an 1 （an - an 1 ）则称已为递增（递减）数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。有界性即M存在使得对于一切正整数 n,有aJ<M这一方法是利用极限理论基本定理： 单调有界数列必有极限，其方法为:（1）判定 数列是单调有界的，从而可设其极限为 A。（2）建立数列相邻两项之间的关系式。（3） 在关系式两端取极限，得以关于 A的方程，若能解出A，问题就可以解决了。一般利用单调有界原理求极限的题目都给出了第 n项和第n+1项的关系式。首先应 用归纳法或“差法”，“比法”等方法证明其单调性，再证明其单调性，有界性（或先证 有界，再证单调）。由单调有界定理得出极限的存在性

6、，然后对关系式两端求极限， 例求数列 a.a a a a , a a 其中（a>0）极限解： 设怡= a， X| = . a a = , a x0 xn 丁 =y a xn （n =1,1,2.）则xj是单调有界数列，它必有极限，设其极限为 A在Xn n 二.a Xn 两边取极限得 A 二、a A 即 A? 一 A - a =0所以aJ f2因为a>0所以AJ力2即 lim xn1.1 4a2例设x0>0， a>0, xn广1（ Xn +亘），n=0,1,2.z证明数列/丿的极限存在，并求2Xn之。证明：易见xn>0,n=0,1,2.所以有 则数列G :收敛，且l

7、im Cn =a 。_ 1 / a、 一 xnr(xn+=xn2_ 1 / a、1 /Xn1=2(Xn + x：)' 2(xn+xL)=XnXn=a由 0<i<1,故 lim（J）n，从而n:+ a2_alim an = lim an 1=a11 in )二n厂1 a1 a21 ianliman 1n ， . . 1lnm liman _n ：:1.4利用迫敛法则利用迫敛法则求极限主要利用放缩法将其同时放大或缩小成俩个已知数列。（已知数列的极限相同）即设数列n ', 'bn都以a为极限，且存在N。，使得当n>N°时n_；-.=-：由迫敛法则可

8、得所求极限与已知数列极限相等例求 lim 1.3.5(n-1)inm 2.4.6-(2 n)显然Xn<y , n=1.2,所以即数列解：记甘亠护,y= 2.4&'(2n)n 246 (2n)n 3.5.7 (2n 1)xn 单调递减有下界，极限存在。记lim xn=,n_C对关系式X"2(Xna+ )Xn令nx取得极限得到a=, a .（其中、a <0,因不合舍去）例设 ai> 0(i=1 , 2,3m ,记 M=max（a，a2,am）。证明nnnnlima1 +a2 + am =Mn 匸-nnnn证明：因 M <a1 +a2 + am &l

9、t;mnnn即 lim a1+a2 + am=Mn_.M n I (n )1.5利用递推关系有些题目中数列的单调性不易证得时就不能应用单调有界定理,此时可尝试采用递推关系应用压缩原理去解决这些题目一般都给我们一个递推式an 广f（an），但单调性不易或根本无单调性，2 2例设a1， a2为任意取定的实数，且a1 +a2丰0，定义an kan'l a1其中,k, l为正数，且k l =1, n=1,2.试求lnman 1an证明 由k l =1,即Ov k<1,0< l <1.由式得2an "1- anl (an a*l( anan2an 1 =Qn 1 _a

10、n)(an _an Q _a)a=（）"（）心i）（a2a）a所以有2°<Xn <Xn即 0<Xn<(n *)故 lim Xn=°n1.6利用上下极限一个有界数列未必存在极限，但它一定有上下极限，且有界数列极限存在的充要条件是 其上下极限相等。对于一个有界数列 gj取掉它的最初k项以后，剩下来的仍旧是个数列，记这个数列的上确界为：k，下确界为k亦即:k =sup3n Gsupd -1,ak 2,ak .3 " ?n k-：sk =叫 a ' = inf 力k 1,ak 2 ak 3:n审可见:k<令k =1,2,3于

11、是可以得到一列厂k ?和一列° ",显然J是单调递减 的，Lk 1是单调递增的，所以这两个数列的极限都存在，我们称 匚 沖勺极限为数列 F 的上极限，；：k '为数列£n?的下极限。我们可根据上下极限处理一些极限问题 例设lim xn=A.求证n:12n7 +- v + y2X1 3X2 n 1Xn _A limnAn ,n证明由lim Xn =A,知对任给；7,存在N,使得当n>N时，有 n:A- x Xn <A+g12丄于是 y=2X13X27'nn1,1 丄2 丄 丄N、丄1 , N +1丄 n 、=1(1X1 3X2厂 XN)1

12、(厂 XN1 Xn)乞丄卩为 2X2Xn) 1(n _ N)(A ；)n 2 入1 3 2N 1" n两边取上极限得lim 丫门EA + gn >:同理可证lim y _ A_于是lim yA_£n_:于是Anlim y. lnm 丫呷n .n -由e的任意性得Hm yn =an亦即limn_1 2n2 X1 3 X2n 1 Xnn1.7利用stolz定理Stolz定理若所求极限为 仏型，且yj是单调增加的无穷大量。且XnnlimnT：-XnX2=a则 lim y=ay.y.x n " Xn或Xn，yn都是无穷小量，且yn是严格单调减少数列，且Xn 4一 Y

13、n4 a为有限量，；与：)，则nm汁证明yn是严格单调增加的正无穷大量，且lim Xn -Xz =a(a为有限量，与)F yn - yn)X贝U lim_二ayn证：(1) 考虑a= 0的情况xn lim n n 5 Xn=o，有 一 ；，n, -n(n . N),一 ynXn -XnyynjXnXn -Xnj% -ynXn Xd + X1 - Xn2 IN+Xni-XnXn兰Xn _Xn+|Xn人+11門Xn卅一 Xn“ iM -ynyn J _ yn _2XnHL YnYnXnyn是严格单调增加的，因此Xnynyn ynyn_L-y2 +ll!_+yz -yN +Xn|ynyn是正无穷大量

14、XnynXnYnyn Yn| + XnynVn<Z +XNynTN2, 一n(n N2),Xnyn取 N =max(N,N2) 1, “(n N')有Xnyn<2；所以 lim Xn = 0n y当a是非零有限数时，令Xn =Xn -ayn，于是由IIlim 人-Xz = |im Xn 一人亠i% 74n - 4_a = 0得到nm；n“，从而叩<imxnn 5(3) a 的情况首先 2一 n(nN'),Xn 洛耳yn *4说明xn也严格单调增加，且从 人-xN .yn-yN可知xn是正无穷大量将前面的结论应用到!匹，得到LXnJ.yn yn - yn 二 l

15、im limnn i xn' xn 一 xn因而lim -二:：n厂yn对于-:的情况，证明方法类同2. Xn , yn都是无穷小量，且yn是严格单调减少数列，且lim xn _x2 = a(a为有F yn yn_1限量，二与-：:)，则lim空=a 卡yn证：a为有限量所以因 lim_x- 二 limiyn - yn 1 iyn - yn-IN，-n(n N),ax-a :： a ，其中 yn - yn i 02 ynyn 卅2(a - 2)( yn 一 yn 1) ：: x- 一 x- i ： (a 3)( yn 一 yn 1)采用类似定理1的证明，可以得到gg.(a - 2)(

16、yn 一 yn p) ：:： x- xn p : (a ' )( yn 一 yn p )令P且禺卫> 0，yn -p > 0利用Stolz定理时，应注意验证题目所给数列是否满足定理的内容k kk12 nlnmnk1k 1例 求极限经检验分母n一；打，n；心时，且单调递增，所以满足条件。令k kXn=1 +2 +n，y.=nkn(n-1kn= 1(k 如 Cnn k 1可得原极限=例已知数列<Xn 1满足条件lim (xn-Xn _2- 0证明xn xn / climn显然由Stolz定理可得limn :.X2n 一 X2"2n(X2n 一 X2n-2X2n-

17、3 - X2n)2n -(2n -1)2 lim( X2nX2n+ X2n-3X2n-2)=0又X2n 1 一 X2n 一lnm 2n (21)=l>m：X2n 1 一 X2n X2n一 X2n-22n +1_(2 n_1)=0- limn:(Xn _Xn J =0n2 lim (n ：:X2时X2n-2+X2nX2n )1吋1 )=e1.8利用特殊极限利用特殊极限法即将题目变成一些特殊的极限形如现证明：nim(1 ¥)n存在。证明：先建立一个不等式，设b>a>0,于是对任一自然数n有n 1 n 1一-：(n 1)bn 或 bn 1 -an 1 (n 1)bn(b

18、- a),整理后得不等式 an 1 bn (n 1a _nb。b -a(1)令 a=1+丄,b=1+ ,将它们代入(1)。由于(n 1)a -nb =(n 1)(V) _n(1 丄)=1 , n 十1nn +1n故有()n 1 (i -)n，这就是说(i -)n为递增数列。n +1nn1 11 11 再令 a=1, b=1+代入(1)。由于(n +1)a nb = (n+1) n(1+)=，故有 1>(1+)n，2n2n 22n 22 .(1n。不等式两端平方后有第，它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又推得数列(11/是有界的。于是由单调有界定理知道极限lim(1 1/是存nn

19、在的。我们通常用拉丁字母代该数列的极限即lim(1 -)n=en利用该种方法应该记忆一些常用数列的极限。求 lim(12)nnn2n 32n书* 4n厂办=e22n 32n -1n lim(27)=lim (1 n 2n 3 n :.1.9利用定积分利用定积分求极限的方法即利用定积分的定义计算项数无限增多的无穷小量之和，有时可设法把问题化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题，从而利用定积分求解。有时问题呈现乘积的形式，也可试用本方法，只式要先取对数将问题转化为和的形式。 定积分的定义 设函数f(x)在a. b上有界.在a. b中任意插入若干个分点a =Xo ： X1 ： X2XnJ： Xn

20、=b把区间a b分成n个小区间Xo. X1 . X1. X2. 订 Xj Xn.各小段区间的长依次为X1=X1-XoX2=X2_X1Xn=Xn-Xn_,在每个小区间Xi. Xi上任取一个点i (Xi_r：xi < Xi) 作函数值f (xi)与小区间长度Xi的乘积f ( X JXi ( i =1 . 2 J n).并作出和nS 八 f ( i) Xi i =1记Xi. X2.Xn.如果不论对a.b怎样分法.也不论在小区间Xii.xj上点i怎样取法.只要当 >0时.和S总趋于确定的极限I .这时我们称这个极限I 为函数f ( x)在区间a b上的定积分.记作：f(x)dx .naf(

21、x)dx =lim ' f( ix, -0i 4其中f (X)叫做被积函数f (x) dx叫做被积表达式.X叫做积分变量.a叫做积分下限b 叫做积分上限.a.b叫做积分区间.定义 设函数f (x)在a.b上有界.用分点a=Xo：Xi：X2：Xn_i：Xn=b把a.b分成n个小区间：Xo.Xi. Xi.X2. 订Xn. Xn.记Xi=XiXi二(i=1.2. n).任岸XXi ( i =1 r 2 J* n).作和nf (x)dx =lim '二a'厂吕f( i)*fi) Xi .i 4f己 n吒点!. X1 区间a b的分法和X2 ,.： ，: Xn.如果当.J 0时.

22、上述和式的极限存在.且极限值与 i的取法无关.则称这个极限为函数f(x)在区间a b上的定积分记作f (x)dx .af(x)dx根据定积分的定义.曲边梯形的面积为A=ff(x)dx “ 而我们经常利用积分定义中的下面的式子limn)：:' f (b-a) i 丄)x( b-a)i =1n利用这种方法时应注意区间的对应性例求极限 lim Usin sin2 sin° 広) n n n nn=0 sin (i-1/n) n1二=sin02二 x=求极限lim n n n*(n 1)*(n 2)* (2n-1)设 Xn = limnft*5 “(n 2)* (ZrmJd*(1 ：

23、)* (1 ：)分析直接不能使用积分法，可先取对数，再去求解1 nk1lim ln xn二瓦 In （1 + ） =10 In （1+x）=2ln2-1n ,n n Qn例计算lim 1( 2n)! rnV n!解！=八響=n(1)(1 2).(1 + n)、n * n! , n!nn n n1 nini 1先考虑 lnan ln(1 )=' ln(1 )，从而有-1o =21 n2-1n ynn nlimln a = f ln(1 +x)dx = (1 +x) Un(1 +x) _1:J0因此 lim an =en_ac2ln2 141.10利用级数利用级数方法即根据数列构造相应的级

24、数，当级数收敛时，所求数列极限为0,判别级数收敛的方法常用的如下（一）比较原则：设7 Un与a Vn是两个正项级数，若（1）当0 ：1 ： :时，两级数同时收敛或同时发散；（2） 当l =0且级数7 Vn收敛时，级数7 Un也收敛；（3）当l = * :且级数a Vn发散时，级数V Un也发散；（二）比式判别法（极限形式）若 a比为正项级数，且lim 仏=q则Un（1） 当q <1时，级数7 Un也收敛；当q 1时，或q时，级数Un发散；注：当q=1时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数a 1'2是收敛的，而v '是发散

25、的nn2与a 1，它们的比式极限都是lim仏=1但n2ny Un(三) 根式判别法(极限形式)若 7 un为正项级数，且lim n un = 1则 n_jpc 电当丨1时，级数收敛(2)当I 1时，级数发散注：当I =1时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数与a丄，二者都有nnlim n山=1，但v 是收敛的，而1是发散的但丄是收敛的n：nnn1而a '是发散的n(四)积分判别法：设f是1,二上非负递减函数那么正项级数 -f( n)与非正常积分彳f (x)dx同时收敛或同时发散;(五)拉贝判别法(极限形式)若 -un为正项级数，且limn(1 UnJ =r +Un存在，则(1)当r 1时，级数a Un收敛;(2)当r ：1时，级数un发散;(3) 当r =1时拉贝判别法无法判断.构造一般项级数或构造相应的幕级数，求得其数项级数的和。利用这种方法时应注意所代入的数是否在收敛域内，否则不能用该种方法nn!lim nn i nn例求极限级数刀 2吕！用达朗贝尔判别法n.=2 1耳卬：(n 1) n e(吩nn从而级数刀2J收敛。由收敛的必要条件得lim 2学=o nn例求级数lim a1+2a2+