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文档简介

1、连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系对于连续限带（ B）的时间信号 x(t)，在满足奈奎斯特抽样定理的条件下进行抽样（抽样频率 f s=1/Ts= 2B2B），其样点为 xn=x(nTs)。可以由样点序列进行内插来恢复原始信号 x(t)：x(t )x(nTs)sin c 2B t n)(1)n证明：抽样采用理想冲击脉冲串：Ts ttnTsxs tx(t) Ts txnTst nTs(2)n其中 2B=1/Ts 。由傅里叶变换的频域卷积性质，理想抽样信号xs 的傅里叶变换(t)为：X s ( f ) X ( f )1k(3)Ts kfTs其中 * 表示连续的卷积运算。于是得到X s1

2、XfkfTsTskfsXfk(4)Tsk即理想抽样信号在频域是原信号x(t)傅里叶变换（频谱密度）的周期性位移，周期为 1/Ts。其中更详细的原理请参看经典课本：奥本海姆（信号与系统）/樊昌信先生（通信原理）/周炯盘先生（通信原理）。本文目的是架起连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的桥梁， 这在很多课本中都是省略掉的； 对抽样定理不再赘述。在频域 k=0 处对抽样信号进行理想低通滤波，滤波器带宽为BB。理想低通滤f波器的频率响应为矩形窗函数H(f)=() ，它对应的时域单位冲激响应函数h(t)=2Bsinc(2Bt) 为内插函数。其中内插函数sinc 函数的定义为：sinxsin c x(

3、5)x于是有X ( f )1 X s f H f(6)f s对上式作傅立叶反变换，利用变换的卷积性质，以及h(t) 的定义，得x(t ) Ts xs th t(7)把 Tsh(t)作为新的 h(t)，即 h(t)=2BT ssinc(2Bt)= sinc(2Bt) ，则x(t ) xs th t(7)代入 xs的表达式(2)，以及 h(t)的表达式，到 (7)中，得(t)x(t) h (t)x nTst nTsn2B Tssinc 2Bt*x nTt nTsnx nTs sin c2B tnTsnx n sT s i n c 2 B t n（8）nx(nTs )h t ( nTs)(8)n（ 8）式即为内插公式。同（1）。证毕。对（ 8）式进行傅里叶变换，得X fx( nTs) h (tnTs ) e j 2 ft dtnx(nTs )h (tnTs)ej 2ft dtnx(nTs )h (tnTs)ej 2ft dtnx(nTs )1fejn2 fT s（时延性质）n2B 2B 1x(nTs )ej n2Ts2fTs ,ffs(9)f s n21x(n)e jn,ffs(10)f s n2X ej而（ 10）式中的后面的和项就是离散序列x(n)的离散时间傅里叶变换（ DTFT ）。其中2 fTs , 。而在用快速傅里叶变换FFT 算法计算时，计算的是X ej，所以算出结

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