几何光学的基本定律和费马原理PPT课件

1、1-1 1-1 几何光学的基本定律和费马原理几何光学的基本定律和费马原理一 光线与波面二 几何光学的基本实验定律三 费马原理1第1页/共35页一、光线与波面一、光线与波面1.1.光线：光线：形象表示光的传播方向的几何线。注 同力学中的质点一样，光线仅是一种抽象的数学模型。它具有光能，有长度，有起点、终点，但无粗细之分，仅代表光的传播方向。无数光线构成光束光束。光沿光线方向传播时，位相不断改变。2.2.波面：波面：光传播中，位相相同的空间点所构成的平面或曲面。注 波面即等相位面，也是一种抽象的数学模型。 波面为平面的光波称为平面光波（如平行光束）；为球面的称为球面光波（如点光源所发光波）；为柱面

2、的称为柱面光波（如缝光源所发光波）2第2页/共35页波面光线波面光线球面波球面波 平面波平面波3.3.光线与波面的关系光线与波面的关系 在各向同性介质中，光线总是与波面法线方向重合。即光线与波面总是垂直的。3第3页/共35页二、二、几何光学的基本实验定律1、光的直线传播定律：光在各向同性的均匀介质中沿直线传播。注：注：非均匀介质非均匀介质中，中，光以曲线传播，向光以曲线传播，向折射折射率率增大方向弯曲增大方向弯曲实例：物体的影子、针孔成象、日食、月食实例：夏日柏油路上的倒影、海市蜃楼4第4页/共35页2、光的独立传播定律和光路可逆原理:注适用于强度不太大，相干性较差的光线传播 来自不同方向的光

3、线在介质中相遇后，各保持原来的传播方向和强度继续传播。 光沿反方向传播时，必定沿原光路返回。即在几何光学中，任何光路都是可逆的。5第5页/共35页 入射光线、反射面的法线和反射光线三者处在同一平面上，入射光线和反射光线分居于入射点界面法线的两侧，入射角等于反射角。3、反射定律： ii en界面Sii R漫反射（故，我们才能在各个角度看见物体）6第6页/共35页2211sinsinninn 其中：n21称为介质2相对于介质1的相对折射率4、折射定律入射光线折射光线 i 入射角折射角 enn1n2分界面 入射光线、折射光线和分界面的法线en三者同处在一个平面上，入射角i 和折射角 有下述关系： 斯

4、涅耳公式，1621（见附录1）注绝对折射率：一种介质相对于真空的折射率7第7页/共35页8第8页/共35页5 5、几何光学定律成立的条件、几何光学定律成立的条件（1）必须是均匀介质，即同一介质的折射率处处相等，折射率不是位置的函数。（2）必须是各向同性介质，即光在介质中传播时各个方向的折射率相等，折射率不是方向的函数。（3）光强不能太强，否则巨大的光能量会使线性叠加原理不再成立而出现非线性情况。（4）光学元件的线度应比光的波长大得多，否则不能把光束简化为光线。6、折、反射在大气现象中的应用虹、霓（副虹）、日食、月食、海市蜃楼（见附录2）9第9页/共35页1.1.光程光程在均匀介质中，光在介质中

5、通过的几何路程 l 与该介质的折射率n 的乘积：三、费马原理三、费马原理 光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎样传播的？费马借助光程的概念，回答了该问题。 lclntvcv物理意义：光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真空中所能传播的路程。分区均匀介质:折射率连续变化介质:rnr介质中介质中折合到真空中折合到真空中10 lnl 1ki iilnl dBAln l第10页/共35页2.2.费马原理费马原理1658年法国数学家费马（P. Fermat 1601-1665) 概括了光线传播的三定律，发表了“光学极短时间原理”，经后人修正，称为费马原理。 过去表述：光沿所需时

6、间为极值的路径传播。现在表述：光沿光程取极值的路径传播。注极值：极小值、极大值、恒定值d l dndl 0AB或BAndlct01d 数学表述：（由变分原理）联系联系高等数学中的高等数学中的费马引理费马引理：设设)(xf在点在点0 x处具处具有导数有导数, ,且在且在0 x处取得极值处取得极值, ,那么那么必定必定0()0fx. . 每一可能路径都是空间的坐标函数,而光程又随路径而变化,是函数的函数泛函*,其改变称为变分，数学过程是相应的求导。*泛函与复合函数（附录4）11第11页/共35页光程为极值的例子光程为极值的例子:(1) (1) 光程为极小值光程为极小值直线传播定律、反射定律、折射定

7、律直线传播定律、反射定律、折射定律（后做证明）（后做证明）(2) (2) 光程为恒定值光程为恒定值回转椭球凹面镜回转椭球凹面镜AB析椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数自其一个焦点发出、经镜面反射后到达另一焦点的光线，其光程相等。12第12页/共35页(3) (3) 光程为极大值光程为极大值A. 回转抛物凹面镜回转抛物凹面镜ABB. 内切于回转椭球面的凹球面镜内切于回转椭球面的凹球面镜由A点发出过D点符合反射定律的光线，必过椭球另一焦点B，光线的光程ADB比任何路径的光程ACB都大.ABDC13焦点发出的光，反射后变为平行光，会聚在无穷远处，光程为极大值。第13页/共35页3. 由费马原理导出

8、几何光学定律在均匀介质中折射率为常数1) .1) .直线传播定律：直线传播定律：所以光在均匀介质中沿直线传播而由公理：两点间直线距离最短ddBBAAn lnl的极小值为直线ABdBAlAB14第14页/共35页由费马原理知，l xn(x-x1)AC+-n(x2-x)CB 0 (1)l znzAC+nzCB 0 (2)A(x1,y1,0)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyii设从A点发出的光线入射到分界面xoz，在C点反射到B点2) 反射定律 15 2221122222() ()ABClnACnCBnxxyznxxyz+-+-+第15页/共35页由(2)知，z=0，说明入

9、射点C一定在xoy平面内，即D(x,0,0)，由此入射光线、法线，反射光线在同一平面内。由(1)2222221211)()(yxxxxyxxxx+-+-sini sin i因ii ,都是锐角，故ii l xn(x-x1)AD+-n(x2-x)DB 0l xn(x-x1)AC+-n(x2-x)CB 0 (1)l znzAC+nzCB 0 (2)也即：得：A(x1,y1,0)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyii16第16页/共35页当x1x2时，x 一定x1在x2之间，因而入射光线和反射光线分居法线两侧。即，光垂直入射到分界面，三线重合.当x1x2x时x-x1(x-x1)

10、2+y12x2-x(x2-x)2+y22sini sin ii i 0A(x1,y1,0)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyii3) 折射定律（见附录或课本P5） 17讨论：第17页/共35页小小 结结一、光线与波面在各向同性介质中，光线与波面总是垂直的二、几何光学的基本实验定律光的直线传播、反射、折射、光的独立传播和光路可逆三、费马原理光沿光程取极值的路径传播18iir2v1vn2n1第18页/共35页作 业一、P261.11.2（第二问需联系普物力学实验）1.6二、P5例1.119dn第19页/共35页附录1：折射定律的得出斯涅耳 大约是在1621年，荷兰莱顿的斯涅

11、耳通过实验确立了开普勒想发现而没有能够发现的折射定律 当时斯涅耳注意到了水中的物体看起来象漂浮的现象，并试图揭开其中的奥秘由此便引出了他对折射现象的研究20第20页/共35页 在总结托勒密、开普勒等前人的研究成果后，斯涅耳做了进一步的实验斯涅耳发现，从空气到水里的一条光线在水中所走的长度，同该光线如按未偏离其原始方向而本来会通过的路程成一定的比他指出，折射光线位于入射光线和法线所决定的平面内，入射光线和 折射光线分别位于法线两侧，入射角的正弦和折射角的正弦的比值对于一定的两种媒质来说是一个常数这个常数是第二种媒质对第一媒质的相对折射率，斯涅耳的这一折射定律（也称斯涅耳定律）是从实验中得到的，未

12、做任何的理论推导，虽然正确，但却从未正式公布过只是后来惠更斯和伊萨克沃斯两人在审查他遗留的手稿时，才看到这方面的记载 21第21页/共35页 1、虹、霓的成因附录2：折、反射在大气现象中的应用笛卡儿1637年第一次从数学上阐明了产生虹霓的成因，牛顿1666年解释了它的彩色来源。后来发现虹霓光都是偏振光。（1）虹是太阳光线从水滴上部入射经水滴一次反射2次折射形成的，（一次虹）。（2）霓是太阳光线从水滴下部入射经水滴二次反射，二次折射形成的（二次虹）。22第22页/共35页23第23页/共35页（3）色彩的排列 人们常见的是一次虹，偶而能见到两次虹并列悬挂在空中。当光弧环对观测者所张的角半径约42

13、度，光环的彩色排序是内紫外红时，称为虹。在虹的外面，有时还出现较虹弱的彩色光环，光环对观测者所张的角半径约为52度，彩色环的排序与虹相反即内红外紫，称为霓或副虹。 由于固定夹角的限制，当太阳在我们头上时（例如正午），折射的光线进不到眼睛，所以看不到彩虹。必须到下午4点以后，彩虹才会在山峦或城市的天际线上出现，而且越接近傍晚，彩虹的位置越高。 24第24页/共35页 i2 n2 i1 n1 i0 n0 nniiinininininsinsinsinsinsin221100 如果各层间隔较大，且折射率是间断递变的，则光线以折线弯曲传播。如果各层间隔较小，且折射率是连续递变的，则光线以光滑曲线传播。

14、由图折射光线总是向折射率大的方向弯曲。ninnnnn2102、海市蜃楼（1）光在折射率递变的介质层上的轨迹25第25页/共35页当在某一层i，使 ，光线则平射，此时的(由此可求哪一层开始全反射)90ii001sin90sinsininniniii+oiococnniii10sin +（2）海平面上 由于水蒸汽浓度随海平面高度增加而减少，因而折射率随海平面高度增加而减少。 在一定的条件下（风速、湿度等），可能在某一层发生全反射，光线向下入射而形成海市唇楼。 n减 少 26第26页/共35页（3）在沙漠里 沙漠上温度随高度而递减，水蒸汽浓度随高度而增加，因而折射率随高度而增加。 在一定条件下，在某

15、一层发生全反射而形成沙漠海市唇楼。 n增加 27第27页/共35页这是全反射类型的海市蜃楼现象，本质是地表空气层温度与大气空气温度的差异达到一定程度引起的比光折射程度还大的全反射现象。天空（白色背景）在界面处的发生的反射影像，看起来就像是水了。原理就是太阳光从光密介质（大气，高折光指数，温度较低比如40度）进入光疏介质（地表空气薄层，低折光指数，温度较高比如80度），发生的全反射。28第28页/共35页 3、日食、月食29第29页/共35页30第30页/共35页附录3:利用费马原理证明折射定律A,B是xoy平面内的两个固定点，且在不同的介质中，则光线的轨道如何？由A经C到B的光程为：Ln1AC

16、+n2CB+-221211)(zyxxn222222)(zyxxn+-A(x1,y1,o)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyi1i2n1n231第31页/共35页由费马原理知，0ixL0)()(2211-+-CBxxnACxxnxL021+CBznACznzL(1)(2)由（2）式知， ，说明入射点一定在 平面内，即 ，因此，入射光线，法线，折射光线在同一平面内（ 平面）0z)0 , 0 ,(xDxoyxoy32第32页/共35页由（1）式知：222222212111)()()()(yxxxxnyxxxxn+-+-2211sinsininin由 都是锐角， , 由图 ，要使等式成立， 都是正，因此， 在 之间，即入射光线和折射光线分居法线两侧。0, 021nn0, 021xx21,iix21,xx21,iiA(x1,y1,o)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyi1i2n1n233第33页/共35页34附录4:复合函数的定义域是数集，比如f(x(t)，复合函数f是依着某个确定的函数x(t)变化，但是最终还是依t而变化。泛函是定义在函数集的基础上的，比如x(t)的泛函