李贤平《概率论基础》第三版课后答案

1、卅第一章事件与概率1、解：(1) P 只订购 A 的 =PA(B U C) =P(A)-P(AB)+P(AC)-P(ABC)=0.45-0.1 .-0.08+0.03=0.30.(2) P 只订购 A 及 8的 =PAB-C =P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07P 只订购人的 =030,P 只订购 8的 -PB-(AUC)-0.35-(0.10+0.05-0.03)»0.23.P 只订购 <7的 =PC-(AUB)=0.30-(0.05+0.08-0.03尸0.20.P (只订购一种报纸的=P只订购A + P只订购B+P只订购C=0.30+0.23+0.20

2、=0.73.(4) P正好订购两种报纸的= P(AB-C) U (AC-B) U (BC-A) =P (AB-ABC) +P (AC-ABC) +P (BC-ABC)= (0. 1-0. 03) + (0. 08-0. 03)+. (0. 050. 03)=0. 07+0. 05+0. 02=0. 14.(5) P 至少订购一种报纸的 =P 只订一种的 +P 恰订两种的 +P 恰订三种的-0.73+0.14+0.03-0.90.(6) P 不订任何报纸的 =1-0.90=0.102、解：(1) ABC = A =>BCA(ABCcA显然)且若 a 发生，则 B 与C必同时发生。(2) A

3、UBUC = AnBUCu A 二>3u A 且 CuA，B 发生或 C 发生，均导致 A发生。(3) ABuC=>A与B同时发生必导致C发生。(4) 4cBC=>Ac=UC, A发生，则B与C至少有一不发生。3、解：& U 血 U U 人“ =A + (A2 一 Aj + + (& - &(或)=& + 人 A】4 AnAiAi -An-i.4、解：(1) ABC-抽到的足男同学，又不爱唱歌，又不是运动员：ABC=抽到的是男同学，乂爱唱歌，乂是运动员。(2) ABC=A=>BCA,当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。(3) 当不是运动员

4、的学生必是不爱唱歌的时，luB成立。(4) A=B及瓜= C=>4 = B = W,当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体，也 就不是运动员的学生全体时成龙。也可表述为：当男学牛不爱唱歌H.不爱唱歌的一定是男学 生，并且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。5、解：设袋中有三个球，编号为1, 2, 3,每次摸一个球。样本空间共有3个样本点(1),(2) , (3)。设 A = 1,2,8 = 1,3,(7 = 3,则;？ = 3, AUB = 1,2,3, AC|B = 1, A B = 2,A + C = L2,3o6、解：(1) 至少发生一个严AUBUCUD.(2) 恰发生两

5、个尸ABCD + ACBD + ADBC + BCAD + CDAB + BDAC.(3) A, B都发生ifu c，D都不发生= ABCD.(4) 都不发生=Tbcd = aJbUcjd.(5) 至多发生一个= ABCD + ABCD4-BACD + CABD + DABC= ABJACJADJBCJBDJCD.£1EE,2E、E、E& =机 Eq = Q7、解：分析一卜工之间的关系。先依次设样本点coeE,再分析此e是否属F EjUihEjEJWkwi)等。(1)民为不可能爭件。若功申，则e言£0 = 1,2,3,4),即 爲目=,。(3) 若® w

6、疋4，则 coe E21 a)e Ez o(4) 若<ye E3,则必co e E2或。丘£之一发生，但 ©WE上 2。由此得 EjEj JE3E2 =£j , EEE、=Q。(5) ia)eE2 ,则必冇oeEl或ewEs之一发生，由此得UE：E、= 6 ©(6) d中还有这样的点e： 12345,它仅属J：d，而不再属其它&(心10)。诸间的 关系用文图表示(如图)。8、解：(1)因为(l + x)”=l + C：x + C：F +C；x”，两边对X求导得( += C + 2C>+ - + nC；>n-*,在其中令 x=l

7、即得所欲证°(2) 在上式中令x-1即得所欲证。(3) 要原式有意义，必须OSrSa。由佇;，C：=W ,此题即等J：耍证±C严Cf =C霊,0<r<aM用帚级数乘法可证明此式。因为=0(X + (X +1/ =(X +，比较等式两边的系数即得证。9、解：P = 4；他/&：=春= 0.15 10、解：(1第-卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩卜四卷可在剩卜四个位置上任 意排，所以 p = 2x4!/5!=2/5（2）町能令第一卷出现在左边而第五卷出现右边.或者第一卷出现在右边而第五 卷出现在左边，剩卜三卷可在中间三人上位置上任意排，所以p = 2x

8、3!/5!=l/10（3）p=P第一卷出现在旁边+P第五卷出现旁边卜P第一卷及第伍卷出现在旁3（4）这里事件是（3）中事件的对立事件,所以P二1-7/10 = 3/10（5）第三卷居中,其余四卷在剩卜四个位置上可任意排,所以P = lx4!/5!=l/51K解：末位数吸可能是2或4。当末位数是2 （或4）时.前两位数字从剩卜四个数字中 选排，所以 P = 2xA;/Al=2/512解：p=c；W/3c;13、解：P两球颜色相同P两球均Cl+P两球均!K+P两球均红310=xk25 2576159x + x = 25 25 25 25207625= 033.14解:若取出的号码是按严格上升次序排

9、列,则n个号码必然全不相同,n<N. N个不 同号码可产牛！种不同的排列其中只佇一个是按严格上升次序的排列，也就是说.一种 组介対应-种严格上升排列，所以共仃C：,种按严格上升次序的排列。总可能场介数为Nn, 故题中欲求的概率为P = CJN”.15、解法一：先引入重复组介的概念。从n个不同的尤素里，每次取出m个元素，元素可 以币;复选取，不管怎样的顺序并成一组，叫做从n个尤素里每次取m个尤素的匝复组介， 其组合种数记为C："这个公式的证明思路是，把n个不同的元索编号为1,2,再把匝复组介的每一组中数从小到大排列，每个数依次加上0.1,7-1,则这一组数就变成了从1,2,+一

10、1共力+加一 1个数中,取出m个数的不重复组合中的一组,这种运算构 成两者-之间 对应。若取出n个号码按上升（不一定严格）次序排列，与上题同理可得，一个車复组合对 应一种按上升次序的排列，所以共有C：种按上升次序的排列，总可能场合数为N”，从而P = C；N”=y'解法二 现按另一思路求解。収出的n个数屮间町设ml个间壁。当取出的11个数全部 4相同时，可以看成中间没们UJ壁，故间壁勺C二种取法；这时只需取一个数字，&C.种取 法：这种场合的种数冇C；tC；,种。当n个数由小人两个数填上，而间壁的位置有C：t种取 法;数字有C：种取法;这种场合的种数有W种。当n个数由三样数构成

11、时,可得场 介种数为 W 种，等等。最后，当n个数均为不同数字时，有ml个间壁，有C；：种取 法：数字有C：种取法；这种场介种数的C：；C；种。所以共仃仃利场合数为：“ =eg + W + Cg + + C：C；, = C；“ 此式证明见本章第8题（3）。总可能场合数为q = N",故所还应的概率为16、解：因为不放回，所以n个数不觅复。从1,2,M -1屮取出m-1个数，从M +1,N屮取出n-m个数，数M定取出，把这n个数按人小次序重新排列，则必有兀” =M。 故 P = C；：C；CUIC；。当或 N-Mv”一加时，概率 P = 0.17、解：从1,2,N中有放回地取n个数,这

12、n个数有三类:M, =M, M°如果我们固 定/次是取到M的数，*2次是取到M的数，当然苴余一定是取到M的。当次数固定后，M的右（M-1）人种可能的取比（因为每-次都町以从M-1个数中取 一个），M的有（N - M卢种可能的取法，而=M的只有一种取法（即全是M）,所以可能 的取法有（M-Z （N-M屮种。对丁确定的匕来说,在n次取数中，固定哪«次取到 M的数，哪人次取到M的数，这共有Cx仕种不同的固定方式，因此/次取到M的 数，人次取到卜1的数的可能取法仃（M-1户（N-M卢种。设B表示事件“把取出的n个数从小到大重新排列后第m个数等J'- M “,则B出现就 是匕

13、次取到VM的数,&次取到M的数的数,0 5人57-1,0 5人7 ?，因此8包含 m-1 /Im的所有可能的取法有工 工C C伍（M-1户（N M）4种。所以人0医0i m-1 rr-mP(B) = £ £ E c,笃 x(M-l)壮N-M 卢.N =0 *:=o18、解：有利场合是,先从6双中取双，其两只全取出;再从剩下的5双中取出两双, 从其每双中取出一只。所以欲求的概率为P = C；C；C；C；C； /C： = = 0.48 19、解：（1）勺利场合是，先从n双屮取出2t双，再从每双屮取出一只。P = C：（C；）2/C；：, （2r/0（2）有利场合是，先从

14、n双中取出一双，其两只全取出，再从剩卜的”一1双中取 出2r-2双，从鞭每双中取出一只。p = c：Uc；F（c；）g /C；： fp*： (3)P = 2SQC；：. p = c;(c；y/c；; = c：/c；;.20、解：（1P任意収出两球，号码为1, 2=1/C；.（2）任取3个球无号码1,有利场介是从除去1号球外的”-1个球中任取3个球 的组合数，故P任取3球，无号码1 = C；./C；（3）P任取5球，号码1,2,3中至少出现1个=1 一 P 任取5球，号码1,2,3不出现 = 1 一 C仁/ C；其中任取5球无号码1,2,3,有利场合是从除去12,3号球外的n-3个球中任取5个球

15、的组 合数。21、解：（1）有利场合是,前次从N-1个号中（除1号外）抽了,第k次取到1号球,P = （N-l）w 1/= （N _ l）w / Nk（2）考虎前k次拠球的情况，P =1/N°22、解法一：设A=甲掷出正面数乙掷出正面数, B=甲掷出反面数乙掷出反面数。考 虑刁叫叫甲掷出正面数M乙掷出正面数卜设刁发生，若乙掷出u次正面,则甲至多掷出H 次正而，也就是说乙掷出0次反而，甲至少掷出1次反而，从而甲掷出反面数乙掷出反而 数。若乙掷出畀-1次正面，则甲至多掷出一1次正面，也就是说乙掷出1次反面，甲至少 掷出2次反面，从而也何甲掷出反面数乙掷出反面数，等等。由此可得刁=甲掷出正

16、面数 乙掷出正面数=仰掷出反而数乙掷出反而数 = 3.P(A) + P(B) = P(A) + P(A) = 1 显然A与B是等町能的，因为每人各fl掷出正面与反而的可能性相同，所以P（A） = P（B）, 从而 P（A） = *。解法二 甲掷出 +1个硕币共何2“匕个等可能场合，其中个出现0次正面，有Ch个出现1次正面，C；：；个出现+ 1次正面。乙掷n个锁币共有2"个等可能 场合，其屮有C：个出现0次正面，C,：个出现1次正而，C：个出现11次正面。若甲掷 畀+ 1个硬币，乙掷n个唤币，则共有耳=2吨2”=2"t种等可能场介，其中甲掷出正面 比乙掷出1E面多的有和场合数

17、有厂 C；+Q + 略（C： + C：） + C：/C： +C：） + =C 加（C： + C： + +CT） + C：；（C： + C： + +C；）利用公式c：“ = c： + C7及c：； = c：得“ =（C： + c； ）C： + （C： + C： ）（C： + C：）+（C； + C： ）（C： + c； + C：）+（CT + c;）（c + c： + +CT）+c：（c： + c； + +c；）=（C：）2 + CC： + （C： ）2 + g + C： £ C： + （C： ）2 + c：c： + c辽 c： +.i<2L»<3-c）y 工 c

18、： +Kn+ + （C：苛+ cc； + c：工 c； +Kn-li<n£（C；），+2 工i=0niy>r>0 i=0/所以欲求的概率为 P = m./n.=22a/22nl=2应注意，甲掷出0丄/ +1个正面的 + 2个场介不是等可能的。23、解：事件“一颗投4次至少得到一个六点”的对立事件为“一颗投4次没有一个八点”, 后者仃仃利场介为，除去久点外的剩卜五个点允许重复地排在四个位置上和排列数，故，P颗投4次至少得到一个六点尸1 - 一颗投4次没有一个六点尸1 - 54/64 = 0.5177 投两颗骰子共有36种町能结果，除双六（6, 6）点外，还仃35种结果

19、，故P两颗投24次至少得到一个双六=1 一 两颗投24次没有一个双六=1 - 35/36" = 0.4914 .比较知,前者机会较大。24. 解：P = C：、C：C：、C：/C； = 0.012925、解:ClC4C9 CnC13C13 4x C9 p =宀65j = o 0106厂13厂13厂口厂13厂13v.VAW .5239261352或解为，4张A集中在特定一个手中的概率为C：C：/C；,所以4张A集屮在一个人手中 的概率为 P = 4xC：/C； =0.0106.26、解；（1） P = 4/Cg =0.0000015.这里设A只打人头，若认为可打两头AKQJ10及A23

20、45,则答案有变，卜同。（2）取出的一张可民由K, Q,，6八个数屮Z打头，所以P = C：C； f Cl. =0.0000123.（3）取出的四张同点牌为13个点中的某一点，再从剩卜48张牌中取出1张，所 以 P = CC：/C； = 0.00024.（4）取出的3张同点占有13个点中一个点，接着取出的两张同点占冇氏余12个点屮的一个点，所以P = C：QC：Q/C； = 0.00144.（5）5张同花可以是四种花中任种，在同一种花中，5张牌占冇13个点中5个点， 所以 P = C；G； /C；2 = 0.00198.（6）异花顺次五张牌=顺次五张牌一同屁顺次五张牌。顺次五张牌分別以A, K

21、,，6九个数中之一打头，每张可以冇四种不同的花：而同花顺次屮花色只能是四种花 中一种。所以p =戸顺次五张牌一同花顺次五张牌=c；（C：r-C：C； /C： =0.0000294.（7）三张同点牌占有13个点中一个占有剩下12个点中两个点，所以P = C；,C：C 訳=0.0211.（8）Pli张中仃两对尸P五张中两对不同点円五张屮两对同点=dcjc；c /C： + C；、C：C；C/C； = 0.0475.（9）p = C；3C;C（C）3 /Cl2 = 0.423.（10 ）若记（1）事件为A,则人u人,久u人,人u人u人而事件人,，人两两不相容,=1-工卩(4)= 050627、解：设x

22、, V分别为此二船到达码头的时间，则 0<x<24, 0<y <24.两船到达码头的时间与由上述 条件决定的正方形内的点是一一对应的（如图）设A表事件“一船耍等待空出码头”，则A发生意味 着同时满足下列两不等式x-y <3,y-x <4宙几何概率得，事件A的概率，等正方形CDEF中直线x-y<3Ry-x<4 Z间的部分而积，与正方形CDEF的而积之比，即1 1 、"=2牟_（产2。：+产2引/24：= 311/1152 = 0.2728、解：设x, y分别为此二人到达时间，则1 <x< & 7 < y <

23、 8。显然，此二人到达时间（x, y）与市上述条件决定的正方形CDEF内和点是一一对应的（如图）。设A表事件“其中一人必须等另外一人的 时间1/2小时以上“,则A发生意味着满足如F 不等式 x-y>丄或y-x>丄。由儿何概率得, 2 ' 2爭件A的概率等J -AGDH及"MN的血枳Z和与止方形CDEF的面枳Z比，所以p(A)4(rrrl)/(lxl)429、解：StAB = a.AXl =xAX2 = x2 则0 <<a. 0 <x: <a 9（兀,£ ）与由上述条件决定的正方形EFGH内的点是对应的（如图）。仃）设x2 >

24、 AXx = x2 -xly2X、B = a_x“则三线段构成三角形的充要条件是xl + (x2-xl)>a-x2 => x2 > a2< xL + (a-x2) > (x2 -xL)二> X +x2这决定三角形区域 Io(x, 一 兀)+ (a xj£ 二> X < 丄a,(II)设“>兀。X.Xx.-x., X2B = a-x2,则三线段构成三角1xl+(xl-x2)> a-x2 => Xi > a2形的充要条件是这决定区域m« (Xi -x2) + (a-x2)> xL => x2 &

25、lt;a2X +(67-x2) > xk-x2 => a > 0,(in)当“二兀时，不能构成三角形。由儿何概率知,P三线段构成三角形=(/)面积+矩形()而枳正方形MGH而积12#30、解：设0到三点的三线段长分别为x,y,乙即相应的 右端点坐标为x,y,乙 显然0 W x,y,z<l这三条线O段构成三角形的充耍条件是：兀+y>乙y + z>xo在线段0, 1上任意投三点x,y,z。与立方体OWxSl, OSySl, 0<z< 1 中的点(x,y,z)一一对应,可见所求“构成三角形”的概率,等价于在 边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在 x

26、+y>Z,x+Z>”y+Z>X区域中的概率：这也就是落在图中由AADC, AADB> ABDC.A AOC , A AOB , A BOC所I科成的区域G中的概率。由J： V(T) = 1,V(Q = P-3xlxlxP.z； = v(G)/v(r)=l由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样人。#31、解：设方格边长为当硬币関心落图屮阴影部分 才与边界不相交（图中只取一个方格）。宙几何概率得P硬币与线不相交=阴影部分而积方格面积13#=（«-1）2/a2.令 （d-l）'/宀 0.01因为当时，破币必与线相交（必然事件），故只需考虑a>l.当

27、止式得 一1）/° = 0丄线不相交的概率小r i%o-斗即半方格边长。諾时，才能儆更币与32、解：从（0, 1）中取出的两数分别为x.y,贝ij（x,y）与 正力形ABCD内的点一一对应。（1）直线x+y = l.2与BC交点坐标为（1, 0.2）,与DC点坐标为（0.2, 1）,所以由儿何概率可得P两数之和小于1.2= 叽lx貲）”积一丄x0.8x0.8»l = 0.68止方形向积V 2）（2）双曲线巧=扌与BC交点坐标为卜扌）与DC交点坐标为,所以山几何概率得卩两数z积小丁扌阴影区域（）面积止方形而积=冷=0.6(3)直线x+y = 1.2与曲线巧二丄的交点坐标为(如

28、图)4k = 0.6 + 0.1VT1 = 0.932(x2 = 0.268y, = 0.6 -O.1J1T = 0.26&y2 = 0.932 *p两数之和小r 1.2,两数之积小阴影区域（/）面枳 -正方形而积-0.932 :r 0.263f 0.932 1r 1=0.2x 1 + J。,(_x +1.2皿 + fo：68-dx + fo932(7 + l.2)dx0268+ lll.V 0240 932+0 268一丄 x2 + 1.2x20932=0.2 + 0.0657 + 0.3116+ 0.0160 = 0.59333、证：当n = 2时，AUA： = AU(比一 AAJ

29、,人与A2 - A,A2两者不相容，所以P(A,UA2) = P(A2 -A/2)= P( A J + P( A J A J.此即当n=2时原式成立。设対“-1原式成立，现证対原式也成立。p( A U-U A.-1 U A”)= P A U U At U An=P( A U-U 人一 J + P( A,) - P人 U U At U An=P(A U-U A”. J + P(£) - P人 A, UAAU-U A”. A对前后两项分别应用"j纳假设得mu-uAuAj= <Ep(A)- E P(AA)+(-i)"P(A a”t) + p(a”)n-li j&g

30、t;iilJ-p(A&)_ X p(A44&)+(-1 严pSAS/jW”)>= $p(4)- E P(&£) + (l)ip(AA A)il至此，原式得证。34、解：设人=第j个战七拿到自己的枪,心1、2,N。&Z间相容，现用上题公式解。P(&)=(N_1)!x1/N!=1/N,P(&4)= (N-2)!xlxl/N!=l/N!=l/A：，(心；),P(£儿 如)=1/N!.由公式得P至少有一个战士拿到自己的枪 = P(人U £ UU A”)15=工卩(人)- E p(aa)+(-i)gpw血)r=lN>

31、;j>i>l=c+(_1)弋12V»N16#注：由此可求得,事件“至少有一个战士拿到自己的枪”的对立事件的概率为y(-l/NPN个战士没白一个战七拿到自己的枪 = 1 -工*-135、解：某k个指定的战士京到自己的枪的概率是1 = 1 /。利用上题注（视这里N_k个战土都没右京到门己枪的概率为p2 =g J Mk个战士京到自己的枪，则这k个战士可以是N个战士中任意的k个战士，从N个战士中选出一组k个战士共有C*种选法，所以事件“恰有k个战士拿到自己枪“的概率,是事件”某k个指定战士拿到自己的枪,且其余N-k个战士没有拿到自己的枪“概率的C：倍，可得P恰有k个战士京到己枪

32、= C：-1 导(一1)丿 _ 1 导(-1/ 忒召J! k'2 H36、解：设考签编号为1,2,N,记事件& =第.1号考签未被抽到,则P(A) = (N 1)"/N”，P(4A)= (N-2)”/N”(心刀,P(AlA2-AN) = (N-N)n/N"=Oi诸4相容，利用第33题公式计算得p=至少有一张考签未被抽到 = pg u人2 UU知N=工尸(A ) - 工 P(A,街)+ + (-1)JV_1 尸内 A2-An)i=lN> j>i>l=C -d 1+ (-1严七旷厶+0N"N“Nn(N-Nn=工(-1皿1=1N737、

33、解：这些比赛的可能结果.可以用卜面方法表示：aa> acct acbb> acbaa, acbacc» acbacbb, bb, bcc, bcaat bcabb> bcabcc, bcabcaa, 其中a表甲胜，b表乙胜，c表丙胜.在这些结果中，恰乃包含k个字母的那件发生的概率应为亠，如aa发生的概率为1/4,2kacbb发生的概率为1/16等等。则+2x+2x + 23 26 29p(c) = Pacc) + P(bcc)+ p(acbacc) + P(bcabcc)+ =2x由J：甲，乙两人所处的地位是对称的，所以卩二恥），得125P（a）= P（） = yU

34、-y） = 38、证：设父胜子的概率为几，子胜父的概率为处，父胜母，母胜父，母胜子，子胜母的 概率分别是rum 则诸几间有关系：円+ &"，几<几。仿上题，设首局为父对 母，比赛的 口】能结果为： aal>aiC2C6,aic2b5b4,a3c2b5ai ,b4b5, b4c6c2,加6叱,讣6&上4 ,a表父胜，但父胜母与父胜了的概率不同，为明确起见，比赛结果屮字母附加卜标，卜标中 i对应槪率刃,故Pi（«）= P（a w J + Pazc2h5az ） + 尸（"“5沟）=p、几 + p、p2 p5 p、+ p4 p6 p、P3类似

35、地，第一局若父对子，则可得P：（«）=尸（<：方5“3"） = PlPz + P1P4P6P1 十 PlPsPiPl第一局若子对母，则P3（«）=他6叱,）+ 尸（“5 叱 1）= P6PlPi + PsPjPl = PlPi（P6 + P5）= PlP、易见 3（"）<必（4）。-< P5 t 所以 PlP4P6Pl <P4P6PlPi P-P5P3P1 < P5P2P5PZ » 因此 Pi （a） < Pi M。从iftf Pl （«） >p5（«） 这说明父的决策最优。39、解

36、:P(AB)= P(AjB)-PB) = r-qP(AB) = P(AjB) = l-P(AjB) = l-r.40、证：设 BC = C1,C(A-B) = C2.hC O AB 可得，Cu4U，/ C = Q JC2 ciCcz=(/>(1)又Ct>AB / ACt = A(BC) = AB 再由P(B)ng)得F(ACJ = P(AB) = P(A)P(B) > F(4)P(CJ( 2 )(3)由q u A并利用r(A) < 1得P(AC2) = P(C2) > P(A)P(C2)由(1), (2), (3)可得PAC) = PACl UC2)= P(ACl

37、 UAC2)=尸(AC) + F(4q ) n 尸(4)尸(CJ + P(A)F(C2)=(A)p(CJ+P(C2)= P(A)P(C)41. 证：(1)一由单调性及尸(AUAJSl得P(A) > P(Ak A2)=尸(人)+ 尸(生)-P(Ak U A2)2FG4J+F(去)一 1.(2) 4二人生仏，两次利用(1)的结果得P(A) > P(AXA2)Az) > P(AS) + P(A1 生)-12 F(A3)-1 + 尸(AJ + P(A2)-1 = P + P(A2) + P(A5)一242、解：设N阶彳J：列式屮尤索勺，行列式展开式的毎一项为不同行不同列尤索的乘枳。对

38、 于每一项中的各个元素,从第一列中取一个元素有N科收法,当从第一列中取的元素取定 后,再从第二列中取一个元素有N-1种取法，接着从第三列中取一个元素有N-2种取法， 等等。毎种取法教都是等可能的，共有N!种取法。设久衣事件N阶行列式的项含£加, "12,N,则Fd(N-l)! 4；=N !1 118#) = -2)!-1- = N AnA2 人川)=至少含一个匸対角线元索的项的概率为N>尸4 kA=l>N二工F(AJ- 工 尸(舛血)+(-1)"7尸(人去人、,)1=1N> j>i>l+(_1产匕：$A"N !"+

39、(-1 严1 丽由此得包倉主对角线元索的项数为N1nW吕 k-l注：不含主対角线元索项的概率为pjV=i-4|Ja,| = (-i/ ±,黒你斗 1=1)k=043、证：设袋中有A个球贰中a个是口球，不还原随机取出，第k次才首次取得白球的概率为伙=1、2,/! 一“ + 1).必-；人：a(4-a)(4-d-l)(4一幺-人 + 2)lr =.='4：A(4_1)(A_2)(A_& + 1)内为袋屮何a个H球，As个黑球.若一开始总是取到黑球.耗到把黑球取完为【匕 则至 迟到第A-d + 1次一定会取到白球：也就是说.第一次或第二次或至迟到第4-° + 1次

40、取得白球事件是必然事件，其概率为1。所以1 =几+处+心-卄1a a(A-a)a(A-“)2 1+十.+A 4(4-1)A(4-l) (« + !)«等式两边同乘以得aAa (A “)(A a 1)(4 a)21A1 + +=.A-l(人一1)(人一 2)(人一1)(a + l)a a44、解：有明显疗效的频率为368/512=71.9%,所以,某胃溃疡病人若服此药,约有71.9% 的可能有明显疗效。45、解：此er-域首先包括0,04诸尤索，然后通过求逆，并交运算逐步产生新的元索， 得共包倉16个元素：证一：现证明它是包含A, E的最小CT-域。苗先它包含A, B；宙丁所

41、仃集均111 A, B 产生，故最小。集是有限个，故只需证它为代数，即按如卜两条验证集系封闭即可： 若CeF，则CeF： ZfCDeF,则CUDeF。能动验证知确为代数。证二：由图知，两个集至多可产生四个部分，可称之为产生集的最小部分，从这四个部分中任取0, 1, 2. 3,4个求并集，共同构成cf+C:+U+U+U =16个集。故若能找到16个由A, E产生的不同的集，则它们一定是由A, B产生的ex-域，为此只须验证如上16个集两两不同就够了。也可在-开始就根据这16个集的构成法依次构造出來，即得欲求的<7-代 数，而不需耍再证明。46、证：记FQ的一切子集(I) Q是Q的子集，所以

42、QeFo(II) Vi AeF ,则A是Q的子集，Q-A也是Q的子集，所以A = Q-AeF .(iii) A& = h2,)eF ,当然有Qz>=。任一血丘|£。必有某一 4，使ia) e A,，所以ca eQ ,从而Q n即U'A也是。的一个子集，故U丘F。iiiAF是CT 一域。47、证：Ff(/eT)是ex-域，记 F 二ter(1) Qw 每 一 F所以 OeQr,即 QeF ier(li) AeF .则Aw每一 F由片是o-域得Ae每一 F所以A ejFt9从而AeF . tCT(iii) Agl,2,)wF,则诸勺必属于每一巧,由于巧是<7域

43、,所以|Ja, 每一歼,即IJa, en7 心I f是域。48、证：一维波雷尔O-域B =加仏乃)是由左闭右开区间灶产生的C7-域，B = A/(-x,.v)是 由形如(-00, X)区间类产生的CT 域。因为“,") = (一oc,方)一 (-co, a)等式左边是丘屮两个集的差，由此知&包含一切形如的集，而B是由一切形如S")的 集类产生的<7-域，所以2b°X又由 J (一8,x) = U x-n.x-n + 1),n»l等式右边是B屮集的可列并，由此知B包倉一切形如(-x,a)的集，与上段同理得BB. B = B 49、解：算术中的

44、计数：以$(£)表集合E包含的尤索的个数。(1) 5(£) 负。(2)对/ = 1,2,若任意两个£；与Ejd)都不包含相同的尤素，则s |Je, =fs(d), k /-I 丿 /-I即和集中包含元索的个数等r每个集所包含元索个数z和，集函数$(£)几仃仃限可加性。(3) 若E = ©是空集，它不包含任何元素，则有5()= 0.儿何度帚:屮的长度：以2)表区间的长度。(1)t(e)非负。(2)対区间=，拧任两个厶与Ej都不相交，则m(E) H有町列町加性。(3)空集0的长度加(0)=0 o当区间改成区域，长度改成面积或体枳时，如上结论也成立。

45、把算数中计数、几何度量中的共同性质非负，可列可加性，空集对应值为抽 象出来,并加以适当地推广,就得到测度的概念。以一维L-测度为例，Ha,b) = b-at区间 讪的L-测度就是区间的长度：利川仃限可加性定义由集系a.b).a.beR1产生的环上 的测度，再利用测度延拓就得到了波雷尔域B上的L测度。50、解：在概率论公理化结构中，定义在事件域F上的集介P直数，若满足(1)非负性：P(A)>0,AeF；规范性：P(G) = 1： (3)可列可加性:若A, wF, 2人2,&列=0,心)则则称P为F上的概率。rtl这三条性质可推得尸(0) = 0。与上题比< /«1J

46、 >«1较可知，定义A F上的概率P实质上就是定义在F上的观范性测度。22概率的占典定义：0 = 叫,®；对AuQ定义具概率为阳）=篇:常阳,。P JV有非负性，冇限可加性，尸（0） = 0。这里的概率P相当丁算术中的计数，所不同的是，P 还具有規范性，即P（Q）=1.这里P实质上是定义在住Q的一切子集上具有规范性的测度儿何概率的定义：GuQ ,Q与G都是波雷尔可测集，对G定义其概率为 P（G）=L（G）/L（Q）,其中L（G）表示区域G的L-测度。显然P貝仃菲负性。由L测度具冇可 列可加性得P也貝冇可列可加性。另外，尸0）=0, P（Q）=lo所以P是定义在F =

47、Qf!B上的 貝有规范性的测度。第二章条件概率与统计独立性1、解：H左往右数，排第1个字母的事件为A，则2 ? 1 P(4J = m 卩(细£)=才'戶(九卜2人1)=亍 P(A4 A3A2A)= P(A5A4AiA2Al) = lo所以题中欲求的概率为p(AA2A3A4A5)= P(A)p2 肉 P血 £巩儿 IAAA 巩人a4a3a2a)2 2 11 1 I 5 4 3 2 302、解：总场合数为23=8o设A=三个孩子中有一女, B=三个孩子屮至少有一男, A的 有利场合数为7, AB的有利场合为6,所以题中欲求的概率P (B|A)为1 P(A) 7/87m-

48、l3、解：(1)M件产品屮有m件废品，M -m件止品。设人=两件有一件是废品, B=两 件都是废品,显然则 P(4) =(C；U+C：)/C； P(B) = C；/C：, 题中欲求的概率为P(B | A) = P(AB)/P(A) = P(B)/P(A) = ©局 ” +C；)/C：(2)设A=两件中有一件不是废品, B=两件中恰有一件废品,显然BuA, 则 P(A) =(C寫” +)/ C； , P(B) = C：C；_m / C；题中欲求的概率为P(B I A) = P(AB)/P(A) = P(B)/P(A)=,。工”5_ = _(£+W/C： M+一 1(3)P取出

49、的两件中至少有一件废品=(以0二加+C；)/C：从煮打1) M(M -1)4、解：A=甲取出一球为白球, B=甲取出一球后，乙取出一球为白球, C=甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球。则 P(A) =-甲取出的球可为白球或黑(d + b)球，利用全概率公式得_P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A)b b-l abb=1=a + h a + b- a + ha + h甲，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得P(C) = P(AB)P(C | AB) + P(AB)P(C | AB)-P(AB)P(C AB) + P(AB)P(C AB)b(b -1)b 2b-lH

50、(a + b)(a + b-l) ci + b-2 (a + b)(a + b -1) a + b - 2 abb-la(a -1)b+ +(a + b)(a + /?-1) a + b-2 (a + b)(a + b-l) a + b-2 b(a + b- l)(a + b-2)_ b(a + b)(a + b- l)(a + b-2) a + b5、解：设B=两数之和大T* 10, A円第一个数取到】,心0,1,9。则P(AJ =君， P(BAq) = P(BA) = Q9 P(B|AJ = (i-1)/9,心 2,3,5;P(B| 舛)= (j-2)/9, j = 6,7,8,9 o由全

51、概率公式得欲求的概率为9167)=为卩S)厂( |A ) = = 0 356.r=o6、解：设A】=从甲袋中収出2只口球, A汽从甲袋中取出一只白球一只黑球,人3=从 甲袋中取出2只黑球, B=从乙袋中取出2只白球。则由全概率公式得P(B) = P(B | AJP(AJ+ P(B I A2)P(A2)+P(fi | A3)P(A3)CA+BCa+fl+2 C；+C：+0+2C；+“C：+0+27、解:A】=从第一袋中取出一球是黑球,，A=从第一袋中取一球放入第二袋中，, 再从笫i-1袋中取一球放入第1袋中，址后从第i袋屮取一球是黑球, i = l,N。则a bP(A) =, P(A) =.i

52、17 a + bi 17 (a + b)a h一般设P(4)=，则P(Ak) =,得(a + b)(a + b)p(也)=% IKA)"(也 I)=為山数学!H纳法得8、解：设机第一部分中两弹, A2=飞机第二部分中两弹, A3= E机第一部分 中一弹,他=其它情况,则AiAj =0 (i 工 y), A】+ A? + 血 + At = °P(AJ = 0.1 x 0.1 = 0.01, P(A?) = 0.2 x 0.2 = 0.04.A3=第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第 三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分

53、且第二弹中第 一部分，P(A3) = O.lx 0.2 + 0.lx0.7 + 0.2x0.1 + 0.7x 0.1 = 0.18 P(A4) = 1- P( A ) + P(A2) + P(A3) = 0.77.设 B=飞机被击落,则 P(B AJ = 1 (/= 1,2,3), P(B | A4) = 0. 由全概率公式得 P(B) = f P(B | 人)P(4) = 0.01 + 0.04 + 0.18 = 0.23.1-19、解：设A】=第1回出止面，记Pj = P(AJ,则由题意利用全概率公式得P(A+J = P(A+i I A)P(Aj) + P(A+i | A)P(&)

54、=PPi + (1 - “)(1 - “)= (2p - 1)A + (1 - P)。己知p” =c,依次令/ = n-l,/-2,-,1可得递推关系式Pn =(2P- DPn-1 + (1 - Pl P-l = (2 - 1)几2 +(1 - P)，P2 =(2卩一1”1 十(1一")= (2卩一1)(7十(1一卩) 解得Pt! =(1-P)1 + (2" -1) + (2 1尸 + + (2 "-1)心+ c(2" - 1)门， 当p H 1时利用等比数列求和公式得 几=(1 P) 1W + c(2p-l)n-l=-2p- 1严 + C (2P-1)

55、心.(*)若 p = ,若 p = 0,若 c = f,2(1)则pn = C, limpn=c；一>oc(2)则当 n = 2k -1 IbJ, p” = c ；当 =2k 时，p” = 1 一 c。则卩”三2 “K2若ch丄1,则chI-c, liinpn不存在。2“Toe(3)若0 vp vl,则由(*)式可得liin Pn = lim| 1 -1(2/9 -1)-1 + c(2p -1)-1 =10、解：令Aj,BjC分别表示第i次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的 事件，则由全概率公式得阳=P（FJ = P（Ajm,+1|AJ+ P（即P（A曲 | 氏）+ P（CJP（A/J+1 | CJn 1 n 1= 0p/t=-（7n,44力严 Pg = P（A”）P（B曲 | 每）+ P（B”）P（B* | B“）+P（C“）P（B比 | Cn）1 . _ 1= lPn +q” +1几=+尹” +乙，汕二尸（C；+J = P（A”）尸（c；+i I 儿）+p（d）p（c”j 6）+ p（c;）p（c“+ IC”）c1C1=°