李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

1、第一章绪论近似值/的相对误差为6二1.设xO,x的相对误差为求lnx的误差。P *X*解: 而 lnx 的误差为 e(lnx*) = lnx*-lnx =2.设x的相对误差为2%,求疋的相对误差。解：设)“，则函数的条件数为C严鬻IY. J2X斤_又 T f x) = nxnl, C =1:-1= n n又 Er(x*)n) - Cp r(x*)且牛(兀*)为23.下列备数都是经过四舍血入得到的近似数,即误并限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字:x； = LIO21,x；=O.O31, x；= 385.6, x* =56.430,x； = 7x1.0.解：x； = U02l是五

2、位有效数字;x：= 0.031是二位有效数字: jc；= 385.6是四位有效数字;兀=56.430是五位有效数字;x； =7x1.0.是二位有效数字。4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：X；+%；,(2)心;兀；,(3)兀;/.其中x；,x；,x；,x：均为第3题所给的数。解：（） = -X10-4 （X2）= -XlO_3 （x；）=丄xio（x*） = ixlO-3x；） = ixlO-* （1）（X：+X；+X；）= （X*） + （X*） + （X*）= -xi（r4+-xio3+-xio-32 2 2= 1.05x103 （2）心x；k；）=X：X； | （X； ） +

3、|x；x； | （X： ） + 卜:X；卜（X；）x|x10-4+|M021x385.6|x|x10-3=11021x 0.03 l|xixio_l +10.031 x 385.6-0.215 （3）（x；/x；）X； （x*） + |x*|（x*）0.03 lx-xlO-3 + 56.430 x-xlO3= 2 256.430x56.430= I055计算球体积要使相对误养限为I,问度最半径R时允许的相对误茅限毘多少?42解：球体体积为V = -ttR3则何种函数的条件数为 R 4ttRV/. r（V*）7 $（/?*）= 3耳（/?*）Xv （y*）= l故度量半径聊允许的相对误差限为曲p

4、xy6设人=28,按递推公式匕=匕_厂需朋（n=12）计算到匕）0。若取V783 - 27.982 （5位有效数字），试问计算匕磁将有多大误羞?若取 V783 - 27.982, a Yl00 = Y0 - 27.982.%） = （$）+（27.982） = -X10-3.的误差限为-xl07.求方程x2-56x + = 0的两个根，使它至少具有4位有效数字= 27.982）。解：x_ 56x + 1=0,故方稈的根应为札=28V783故 x, =28 + 783 28+ 27.982 = 55.982%,具有5位有效数字无具有5位有效数字8.当N充分大时，怎样求匸勺一/兀？N 1 I Af

5、N+1 1解 r(lx = arctan (A + 1)-arctan N)N 1 + X2设 a = arclan(N + l),0 = arctan N。则 tanflf = y + 1, tan 0 = N.rN+i 1-dx*1 + jr-a-p =arctan(tan(af-/7)=arctantan cr-tan 01 + 伽 a tan 0=arctanN + l N1 + (N + 1)N=arctan ；M + N + l9.正方形的边长人约为了 100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1M?解:正方形的面积函数为A（x） = X2 (A*) = 2A* (X*).当疋=

6、 100时，若（）51,故测量屮边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过cnr10.设S=-r,假定g是准确的，而对t的测量有0秒的误差，证明当t增加时S的 绝对误旁增加，而相对误旁却减少。 F(S*) = gt2 f(/*)当t *增加时，s *的绝对误差增加（S*）汕）=|s* 二押 （/*）当/*增加时,巩卢)保持不变，则S*的相对误差减少。11序列儿满足递推关系儿=10儿_-1 (n=l,2,),若儿=血=1.41 (三位有效数字)，计算到九时误差有多大？这个计算过程稳定吗?解:y0 = /2 1.41(儿*)= *1-2又儿i儿_1一1 x = 1儿 一 1 (必*)

7、 = 10(儿*) f(y2*) = 10(曾) (y2*) = 10(V2 + 1)6解：设y = (x-l)6,若 x = 2 , x = 1.4 ,则 e(x ) = xlO1 o 若通过 一计算y值，则 (V2 +1)6(y0*) (yio*)=lo,Of(yo*) =10限丄 X10-22= -xl082计算到Mo时误差为|xio这个计算过程不稳定。12计算/ = (V2-1)6,取V2-1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?99 - 702。1心)6岛X)= 2.53/e(x )若通过(3- 2血)3计算y值，则 e(y4)= |-3x 2x(3- 2x)2 e(x*)_

8、3-2x*才 E(x )=30yt(F)若通过(3 + 2V2)3计算y值,(/) = -3xe(x)(3 + 2x r=6x!ye(x)(3 + 2x )八= 1.0345/e(/)通过r-7计算后得到的结果最好。(3 + 2V2)3问求对数时误养有多13. /(力=(兀一丁匸1),求/(30)的值。若开平方用6位函数表,人？若改用另一等价公式。ln(x-1) = -ln(x +-1)计算，求对数时误差有多大？解/(x) = n(x-y/x2 -1),/(30) = ln(30-V899)w=V899,y = /(30)则/ = 29.9833.(“ ) = X10-42故(/)130 w0

9、.0167= 3x10-若改用等价公式ln(x-Vx2 -1) = -ln(x + Vx2 -1)则 /(30) =-ln(30 +/899)此时，130+7(/)159.9833咖)= 8x10“第二章插值法1.当x = h-l,2时，/(x) = 0,3,4,求/(x)的二次插值多项式。解:X。= 1，X = 1, x2 = 2， f(X。) = 0,/(xJ = - 3, f (x2) = 4;(x-xl)(x-x2) =_1 t 2(x0-x,)(x0-x2)2/w= (x-x0)(x-x2) =l(x_1)(x_2) (再一兀)(石一花)6z (x)= (x-XoXx-x.) =l(

10、x_1)(x + 1)(x2-x0)(x2-X!)3则二次拉格朗口插值多项式为2厶(x) = m(x)k=0=3/q (x) + 41 (x) = -|(x-l)(x-2) + (x-l)(x+i)232.给出f(x) = nx的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144川线性插值及二次插值计算In 0.54的近似值。 解：由表格知，X。=04,X =0.5/2 =6,3 =0.7,x4 =0.8; f(xQ ) = -0.916291,/(%,) = -0.693147 /(x2) = -0.5108

11、26,/(x3) = -0.356675 /(x4) =-0.223144若采用线性插值法计算In 0.54即/(0.54),则 0.5 0.54 0.6I、(x) = = -10( x - 0.6)X x2厶(兀)= -10(x-0.5)厶(兀)二 /(%!)/)(%) + f(x2)l2(x)=6.93147(x - 0.6)-5.10826(x 一 0.5)厶(0.54) = -0.6202186 = -0.620219若采川二次插值法计算In 0.54时,的=吕賤=50(0.5)(76)(尤_兀)(尤_尤2)-xQ)(x -x2)= -100(x-0.4)(x-0.6)Z2(x)= 5

12、0(x-0.4)(x-0.5)(乂_兀)(/_召)(x2 -xQ)(x2 -x)厶(x) = /(Xoo(x)+ /3 i W + /(x2)Z2(x)=-50x 0.91629 l(x - 0.5)(x - 0.6) + 69.3147(x - 0.4)(x - 0.6) - 0.510826 x50(x - 0.4)( j - 0.5)厶(0.54) = -0.61531984 -0.6153203.给全cosx,0 x 90的函数表，步长/? = f = (l/60)若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos兀近似值时的总误差界。解：求解COSX近似值时，误差可以分为两个部分，一方

13、面，X是近似值，具有5位有效数 字，在此后的计算过稈屮产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似 值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综 合以上两方面的因素。0 X 90 时,令 /(x) = cosxxo=O,/z = () = x= - 0 60 60 180 10800令 Xj = X。+ ih, i = 0,1,.,5400则 X5400 =- = 90当XExk1Xk_时，线性插值等项式为厶(x) = /(兀)+/(g)插值余项为/?(%) = |cosx-厶(x)| =-厂(X -xk)(x -忑+)又在建立函数表时，表中

14、数据具有5位有效数字，且cosxe0j,故计算中有误差传播 过程。玖厂(忑)=12E(f (Xk ) -1 + L(/* (和) 母一林+1丨|母+1 一母Wg)(兰二沁林 一 H+1=2 (忑)-(+ _ X + X _ 耳)/?之(八忑)总误并界为R =(x) + R2 (x)=#(一 cosg)(x 旺)(x 电+) +(/(“) 弓 x(r)(D + g) (卯)2+(八无)2 2= 1.06x10+-X1052= 0.50106xl0-54.设为互异节点，求证：(1) x：lj(x)三X*伙=0,!,)；(2) (-x)乜(x)三0( = 0,1,，川);7=0证明(1 )令 /(X

15、)= xkn若插值节点为= 0丄/ ,则函数/(x)的次插值多项式为LnM = XjM o 戶o插值余项为 Rn (x) = y(x)-Ln(x) =( +1)!+】M.严) = 0A/?(%)= 0 xlj(x) = xk(k = 0,1,n)J=o(一兀)勺(力冋=(*;(-沪 x(x)j=0 z=o二工C；(-旷(工也(x)/=0j=0X / 0 z n 由上题结论可知= (x-x)k=0.得证。5 设/(x) g C2 a,b且 f(a) = f (方)=0,求证: mi|y(x)| |(/?-n)2 max|/%)|.解：令x. = a=b,以此为插值节点，则线性插值多项式为厶=门如

16、)上且+ /(召)匚五r/、x_b r/1.x-a= =/() +/)a-bx-a又 vf(a) = f(b) = 0厶(x) = 0插值余项为 R(x) = /(x)-厶(x) = f(x)(x-x)(x-xi)2X v|(x-x0)(x-xl)|蔦g) fM = : fx)(x 一 x0 )(x 一 X,)6.在-4x4上给岀f(x) = ex的等距节点函数表，若用二次插值求/的近似值，要使截断误弄不超过10,问使用函数表的步长h应取多少？ 解：若插值节点为仏卡和兀屮 则分段二次插值多项式的插值余项为R W = / （）（x - 兀-i）（尢一兀）（尤一兀+1）. |/?2 （x）| S

17、彳（X 一 也）（兀一兀）（x 一 兀+J max 1/7-）设步长为 h,即x._! = xj-h,xM =xs+h川3屮唸八睿皿若截断误差不超过10,则|/?2(x)|106eV 1 O627 . h 0.0065.7.若儿=2”,求&儿及,解：根据向前并分算了和屮心并分算了的定义进行求解。4儿=(E 一1儿=（2-1）4 儿=T尸儿=(/-吕)4儿_1=（ 2）4（E-l）4yn=E%4 儿= 228. 如果/(X)是m次多项式，记A/(x) = f(x + h)-f(x),证明/(x)的k阶差分Akf(x)(Okm )是m-k次多项式,并且Am+,/(x) = O (/为正整数)。解：

18、函数/(X)的Taylor展式为(m + I)!f(x + h) = f(x) + fx)h + : fx)h2 + + -!-+2nil其中兵(x,x+h)又 /(x)是次数为加的多项式.严 n = 0=fx)h +1 fx)h2 + + A /(m) (x)hm2ml/. Af(x)为m-1阶多项式A2/(x) = A(Af(x)A2/(x)为加一2阶多项式依此过稈递推，得丁(x)是m-k次多项式/.AVU)是常数 当/为正整数时,AOT+,/(x) = O9. 证明 A(fkgk) = fkAgk + gM/Sfk证明() fklSkl fkSk=尼需如一 fkSi+fkSM fk&k=

19、(+1 一人)+ fk(8k g J =fk8k + g得证HInIio.证明工人乂严一人g一工弘AfkJt=Ot=0证明：由上题结论可知k=0= (&)一*=0二 (&)-如勺；Jt=O*=0fkSkk=0=(fi8 - fo8o)+ (fi82 fiS) + + (九g“ 一九-&-1)工/怂 =JnSn f080 8k-fkk=0t=0得证。11. 证明儿一 GoJ=0证明=(儿+i 一他)冃j=0= (Ay1-Ay0) + (Ay2-Av1) + + (Ayn-Ayn_1)=儿-帆得证。12.若 f(x) = a0 +%+ + a”_XT + anxn 有n 个不同实根旺,花,，俎,证

20、明：0,0 k /7-2;铝 fx.)nk = n-l证明:. /(%)有个不同实根xpx2,%且 fM = a0 + axx + + anxn f(x) = an(x-xl)(x-x2)-x-xn)令 (x) = (x-x1)(x-x2)-(x-xj斤Yn丫则y Xj =y _ 台f(Xj)冃讷()圮恢=0=f11 (l+fx - fx)( fx - fx) - (x - fx) (A)P (,vx- fx)(fx)-(x- yx)(A)zZ0=R = x“ 比u(x- G)(叶X-上)(7*一 k)(农一 G)(/)/0=fM = y吟/ u(I)px.ux4r+ tfr4- -ux6x/

21、 = Mx4- -ux4xj4(x) + (x)J = (x)j鼻(乙)4*oqp = y*0可4砸 =_AvK ui=r =恢“畑叹8ux = (x*(ux Gr)(叫r Gr)(Zr Gr)(乙x fx)(lx- fx) = (x)0 /(lux _ x)(x x)(比 一 x) + +Cx-x)(x-x)(%-x) + (x-x)(x-x)(%-x) = (x) u(o 翌尸（卫）J=o （ -兀）（ - X；- ）（ - S ）（ - ）=y于（0） +月（0）J=0 （ -0）（形9-1）（ +1）（ 兀J=y）爲（x. 一兀o）（ 一 Xj-J（Xj - S）（9 一 Xn）+）;

22、=0（X/ 如）（ - XM）（X. 一 f+i）g 一 Xn）=/心心+ gx,心得证。f2,2.-s28o14. /（x） = x7+x4 + 3x+1,求f2,2,27解：/ /（X）= x1 +x4 + 3x+1若兀：=2z =0,1,-,8则/兀宀心卜/?!.小0，西,.,讣/ 7；G=# = 1fbo,旺，耳=才）=015.证明两点三次埃尔米特插值余项是尺3（兀）=f （X -耳）2（X -和）2 / 4!, w （忑,xk+l）解：若xexk,xk+i,且插值多项式满足条件H 3（xJ = f （忑）,H；（忑）=fg比（和）可（和）,昭（和）二门和）插值余项为R（x） = /（

23、x）一 H3（x）由插值条件可知R（xJ =心和J = 05. Rxk) = Rxk+) = 0R(x)可写成R(x) = g(x)(x_xj(x 忑+)2其中g(x)是关于x的待定函数，现把X看成忑，忑+J上的一个固定点，作函数0(f) = / (/) - H3 (/) - (x)(r - xk )2 (/ - xk+l )2根据余项性质，有0(忑)=0,0(勺+J = 0(x) = /(%)- H3 (x) 一 g (x)(x 一 xk)2 (x - xk+i )2= f(x)-H3(x)-R(x)=00( =g (x) 2(r - xk )(t - xk+i )2 + 2(r - xt+

24、I )(z - )2 . (p (xk) = 00(%)= 0由罗尔定理可知，存在化(母,x)和化(x,忑+),使0 (奇)=0,卩(2)= 0即0(x)在忑,母+J上有四个互异零点。根据罗尔定理，卩(/)在0(/)的两个零点间至少有一个零点，故ea)在(忑，母+i)内至少有三个互异零点，依此类推，04(/)在(忑,无+j内至少有一个零点。记为兵(兀，耳J使04 =严 一比 _伽(兀)=0又. H3(4)(r) = 0f ()g(x)= 上W (母，兀+|)其屮依赖于X R(x)=才2 (x - xk)2 (x - xk+i )2分段三次埃尔米特插值时，若节点为忑伙=0丄/),设步长为力，即x

25、k =Xo + gk = O丄/在小区间%上R(X)= 了(X 一 母 F (无一忑+| )2.|/?(x)| = -|/(4)()|(x-xj,)2(x-xJfc+1)2xk)(xk+i - x)2 max /(x)4!axbmax|/(4)(x)|4! 2“3IaxXhaxbh41384 axhmax /(4)(x)16求一个次数不高于4次的多项式P ( x ),使它满足P(0)=戸(0) = 0, P =P(l) = 0, P(2) = 0解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式勺=0, X = 1儿=,必=1nz0 = 0, ni = IiiH、(x)=工 yjaj (j) +

26、工 mjPj (x)j=0j=0陽= (1-2 口M(三亠2兀0 一州勺一為= (l + 2x)(x-l)20(x) = (1 _ 2込二匚)(三二直尸=(3 2x)x2Px) = xx-)20i(x) = (x-l)F/. H 3 (x) = (3 - 2x)f + (x l)x = - 设 P(x)= /3(X)+A(X_Xo)2(X_X)2 其中，A为待定常数. P(2) = 1 P(x) = -x3 + 2x2 + Ax2(x- l)24从而 P（x） = x（兀3）。417设/（x） = l/（l+x2）,在一 5x5取几=10 ,按等距节点求分段线性插值函数人,计算备节点间屮点处的

27、/；,（X）与/（X）值，并估计误并。解：则步长h = 1,xi =x0 + ih. i = 0丄，10/w=1i+7在小区间兀,X刑上，分段线性插值函数为厶（X）=x-xi各节点间屮点处的人（X）与/（X）的值为当*45时，fM = 0.0471,1 h(X)= 0.0486当 x = 3.5 时，f(x) = 0.0755,厶(x) = 0.0794当 x = 2.5 时，/(x) = 0.1379,7,(x) = 0.1500当 x = 1.5 时，f(x) = 0.3077,厶(x) = 03500当 x = 0.5 时,/(x) = 0.8000,厶(x) = 0.7500误差max

28、兀 MMx”11+7又 v fM =6x2-2(1 + x2)324x-24?(l+x2)4令 r（x）=o得厂（X）的驻点为xl 2 = 1和x3 =0广3,2)= 八可)=-2求fx） = x2在Q0上分段线性插值函数厶（X）,并估计谋差。 解：在区间a,b上，x = a.xn = /?,ht =xM -xpf = 0J,h = max /?（MG-l f （x） = F函数f（x）在小区间兀,兀+J上分段线性插值函数为ih M =三玉f （兀）+上九f（xM）兀一兀+兀+1 Xj=兀（兀+ X）+ X/+12（X -兀）h：谋券为max |/(x) -1h (x)| | max |/*(

29、)| h：“g j81v/(x) = x2- fx) = 2x, /*(x) = 2h?/. max|/(x)-/A(x) nv1419.求/(x) = x4在|d,b上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：在a上区间上,x0 = a,xn =b,hj = xM-x.yi = OX-,n-t令 h = max h.(KiSn-1 /(x) = x4,/z(x) = 4x3函数/(x)在区间兀，兀+|l上的分段埃尔米特插值函数为厶(X)=(兰二)2(1 + 2 上3-)/(兀)兀一兀+1兀+1兀+(上丄)2 (I + 2 兰二)/(兀+J兀+1 XiXi 兀+1+(兰二仏一兀心)Xj 一 兀+1+(

30、 % 兀 y(X一XM Xi4= jy(-v-兀+i F (勺 + 2x - 2兀)妇+73(X _ 兀)2 (勺 _ 2x + 2兀+)%+(X -兀+尸(X _ 兀)+-(x-x,.)2(x-x,+1)h误寿为=扣 )|(X -可 F (兀 - XM)24!-max|/ |(纽24 aSd2Xv/(x) = x4 /(切=4!=24max axhmax（曲切一161620.给定数据表如下:Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：(1) Sz(0.25) = 1.0000,570.53) = 0

31、.6868;(2) S(0.25) = S(0.53) = 0.解：hg= xx0= 0.05hy= X2 Xy = 0.09x3x2= 0.06/ij = x4 x3 = 0.08hH - hi5 33= = -= y，A =fx0,x =，(W(Xo)= 0.9540 石一兀0/ xpx2 = 0.8533/x2,x3 = 0.77I7/x3,x4 = 0.7150(l)So)= I .OOgSg = 0.6868do = f(/ 州,花-盒)=-5.5200 %上2feL_4.3157d,=6 止吐企d = _3.2640H + ly心6皿业小血=_2.4300h?+耐4 =f (/：-

32、于花內)=- 2.1150由此得矩阵形式的方程组为1412914r=MoM|=5.520(?-4.315732525m2-3.26403472m3-2.4300V1Jm4L 丿-2.1150J求解此方程组得Mo =-2.0278,=-1.4643M2 =-1.0313, M. = -0.8070, M, = -0.6539S(x) = M jM九2兀6hj三次样条表达式为A/./?.2 x-x. (7 = 0,1,s/7-l) 6hj将代入得-6.7593(0.30 一 x)3-4.8810(x 一 0.25)3 + 10.0169(0.30 一 x) +10.9662(% 一 0.25) x

33、g 0.25,0.30-2.7117(0.39 -x)3-1.9098(x - O.3O)3 + 6.1075(0.39-x) + 6.9544(% - 0.30)S(x) = xg 0.30,0.39-2.8647(0.45 一 x)3 - 2.2422(x 一039)3 + 10.4186(0.45 一 x) +10.9662(%- 0.39)xg 0.39,0.45 1.6817(0.53 x) 1 3623(x 0.45) + &3958(0.53 x) + 9087(x 0.45) xe 0.45,0.53 5(xo) = O,57x4) = Od( 2 /q= 0,/ = -4.3

34、157, d, = 3.2640d3 = -2.4300, d4 = 2 j：= 0A)二角=0由此得矩阵开工的方程组为Mo = M4=O23509142370252(M.A/,厂-4.3157、-3.26401-24300 丿求解此方稈组，得Mo=OM =-18809Mz = -0.8616, M3 = -1.0304, A/4=0又三次样条表达式为(X.-X)3(x-x.)3S(x) = M,+M M扎xM x-x_.hj+(儿-十)十+(加-十)将入得-6.2697(% 一 0.25)3 +10(0.3 一 x) +10.9697(% 一 0.25)xg 0.25,0.30-3.4831

35、(0.39 -x)3-1.5956(% - 0.3)3 + 6.1138(0.39-%) + 6.9518(% - 0.30)S(x)=xe 0.30,0.39-2.3933(0.45 - x)3- 2.8622(x - 0.39)3 + 10.4186(0.45 一 x) +11.1903(x 一 0.39) xg 0.39,0.452.1467(0.53 X) + &3987(0.53 x) + 9. l(x0.45)xg 0.45,0.5321.若f(x)eC2ayb,S(x)是三次样条函数，证明:(1)(门兀)必 -=厂(x) - S(x)dx +S(x)厂(x) 一 S(x)dx若f

36、xj) = S(x,.)(z = 0,1, ,n),式中齐为插值节点,且4 =兀0西 =b,则 b Sx)fx) - Sx)dxJ a=sb)f(b) - Sb)- Sa)fXa) - Sa)证明：=fr2 么+ f SJ)必-fx)Sx)dx= bafxdx-:SO) dx - 2S(x) f(x) - S(x) dx从而有J： S(x) fx) - S(x) clx第三章函数逼近与曲线拟合1. /(x) = sin-x,给出0,1上的伯恩斯坦多项式及耳(几兀)。解：V /(x) = sin,X6OJ们恩斯坦多项式为各kJt=On“一旷坨（幻=rp0(17)片(x) = x目(几对=于(0出

37、(x) + /AS)=(l-x)si n(xO) + xsin (0 丿 2 2=x当幵=3时，卩、x2(1-x) = 3x2(1-x)(x) =召(x) =33X =JC3 kk=o n= 0 + 3x(l x) sin3x(1 x) sin + x3sin 6 32=X(1 x)2 +x2 (1 - X)4-x32 25-3a/3 3 33-6 c 3=X H+ X2 2 21.5x-O.4O2x2-O.O98x32.当 f(x) = x 时，求证 Bn(f,x) = x证明：若fM = x9则xk(-xrknk=0 ,l U如1)g + l)十(_ ki).(m+i伙1)!右(i_ym*

38、(l_x)心xk(-xyk= xx + (l-x)T3.证明函数线性无关证明：若q +4兀 + 02疋 + + anxn =0,Vxg R分别取/伙=0丄2,对上式两端在0,1作带权p(x) = 1的内积,得1 1 / Cla n + 1V0 115+12/7 + 1 (0丿此方程组的系数拒阵为希尔们特矩阵，对称正定非奇异, 只有零解a=0o 函数1必工线性无关。4。计算下列函数/(x)关于C0J的ff、与/ 2：(1)/(x) = (x-1)xg04)(3) fx) = xm(-x) m 与 n 为正整数,/(x) = (x+l)Vx解： 若 /(X)=(X-1)XGOJ,则r(x) = 3

39、(x-l)20/. /(x) = (x-l)3在(0,1)内单调递增ll/IL=l/wl = max|/(0)|,|/(l)| =max0j = 1|/L = max|/(x)|111,00 ESI 11= max|/(0)|,|/(l)|=max 0,1 = 1II几=(J：(1-= -(l-x)77 0_V770,则|/| =max|/(x)| = 8 (KMI I I 2训广加(x)l必fl1= 2jL(x-)djc2/_4|/|2=(p2U)_V3_ 6(3)若f(x) = xm(- x)m与n为正整数 当 xw 0,1 M,/(x) 0f(x)=皿心(1 一 + xmn(- x)z

40、(-1) m77当 xw(O,)时 J(x)0 n + m. /(x)在(0,)内单调递减n 4- mni当XW()时,/(x)v0n + m/(x)在(丄一,1)内单调递减。n + m111XG(J)/(X) 0f(x) = 10(x +1)9 厂 + (x + l),0(-ex) = (x + l)9 厂(9-x)0/(兀)在0,1内单调递减。_ 210dx=T=(x + 1)%J()= -(x + l)e+ f 10(兀 + 1)9幺-也0 Jo =5-12e =(x+l)20e-W=7(|-4)45。证明|/-ghll/ll-kll证明：ll/ll=|(/一幻+创wg阳闇I6o 对 f

41、(x)9g(x)e Cla,b,定义(1) (/, g) = f(x)g(x)clx(2) (/*, &)= J： fx)gXxylx + 问它们是否构成内积。解：(1)令/(x) = C (C 为常数，且CH0) 则 f(x) = 0w(/,/)=7wvJ a这与当且仅当/三o时，(A/)= o矛盾不能构成Ca,b上的内积。若(/,g) = f(x)g(x)dx + f(a)g(a),贝U(gJ) = gx)fx)dx + g(a)f(a) = (/, g),Vw K (af, g) = J：Q/(x)g(xg + (a)g(d)=ff(x)g(x)dx + f(a)g(a)= a(f，g)

42、 /heCla.blM (f + g,h) = f/(x) + g(x)7/(xXv + (a)g(a)/z(a)fx)hx)dx+ g(a)h(a)=C f(x)hx)dx + f(a)ha) + fJ aJ a(/,/)=prM+/2 20若(yj)=o,则CfXx)fdx = 0f2(a) = 0J a.-./，(x) = 0,/(a) = 0A f(x) = 0即当且仅当f = 0时，(/,/) = 0.故可以构成Ca,b的内积。7。令 7；：(x) = 7；(2x-l),xw0,l,试证厂是在0,1上带权p(x) = , 1 的正交 yjx-x1多项式，并求T；(x)J(x)XMX(

43、x)。解：若仆)=7；(2兀一1),0,1,则Ez：(x)E：(x)P(xg=J工(2x - 1 )7； (2x -1) -y=fj；(x)7；：(x)p(xKr 二人几令/ = (2xl),贝Ijre-l,l, Hx = ,故1刁/ + 1k+1 /+|宀 丁-rdt又切比雪夫多项式t；x)在区间0,1上带权P0)=1a/1-x2正交,0, n H mIx 7T_TnMTm(x)d-j= = - yn = m0龙，n = m = 0.7；(x)是在0,1带权p(x) = . 1的正交多项式。yjx-x2Xv7(x) = kxe 一 1,1 /.7；(x) = 7；)(2x-1) = Lxg0

44、J v7(x) = x,xg -1,1 7；(x) = 7；(2x-1) = 2x-1,xg 0J7(x) = 2f 1,jcg 1,1r, (x) = r)(2x-1)= 2(2x-1)= 8x2-8x-I,xg0J 7(x) = 4x3 3x,xe 1,17；(x) = 7；(2x-l) = 4(2x-1)3-3(2x-1)= 32x3-48x2 + l8x-l,xer0J 8。对权函数p(x) = l-x2,E |b-1J,试求首项系数为1的正交多项式03心23孺：dttxx)lx2M冈STL 二h-N 殆 M (g)Hj(x)g(x)p(xxrF (X) (XI * w_ s 10i (X)H壬a- n (x$ (x) CPn u)、($ (x) 0 (X) a H (R(x)$(x)、(0i( wx). R